Esercizi sulle Serie Polari

Esercizi sulle Serie Polari

Esercizi sulle Serie Polari

Versione italiana

Esercizi sulle Serie Polari

Introduzione

Le serie polari sono una rappresentazione di funzioni complesse in forma di serie di potenze. Sono particolarmente utili in analisi complessa e in applicazioni fisiche.

Concetti Chiave

1. Forma Polare: Una funzione complessa può essere espressa in forma polare come:

   z = re^{i\theta}

   $$z = re^{i\theta}$$

   dove r$r$ è il modulo e \theta$\theta$ è l'argomento.

2. Serie di Potenze: Una serie di potenze è una somma della forma:

   f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n

   $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$

   dove a_n$a_n$ sono i coefficienti della serie.

3. Raggio di Convergenza: Il raggio di convergenza R$R$ di una serie di potenze è dato da:

   \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}

   $$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$$

Esercizi

Esercizio 1: Espansione in Serie di Potenze

Obiettivo: Trovare l'espansione in serie di potenze della funzione f(z) = \frac{1}{1 - z}$f(z) = \frac{1}{1 - z}$.

Soluzione:

1. Riconosci che la funzione è della forma \frac{1}{1 - z}$\frac{1}{1 - z}$.
2. Usa la formula della serie geometrica:

   f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \quad \text{per } |z| < 1

   $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \quad \text{per } |z| < 1$$

Esercizio 2: Calcolo del Raggio di Convergenza

Obiettivo: Determinare il raggio di convergenza della serie \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$.

Soluzione:

1. Calcola il limite:

   \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \left|\frac{1}{n!}\right|^{1/n} = 0

   $$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \left|\frac{1}{n!}\right|^{1/n} = 0$$
2. Quindi, R = \infty$R = \infty$. La serie converge per ogni z$z$.

Esercizio 3: Serie di Taylor

Obiettivo: Trovare la serie di Taylor della funzione f(z) = e^z$f(z) = e^z$ attorno a z = 0$z = 0$.

Soluzione:

1. La derivata di f(z)$f(z)$ è f^{(n)}(0) = 1$f^{(n)}(0) = 1$ per ogni n$n$.
2. La serie di Taylor è:

   f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}

   $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$$

English version

Polar Series Exercises

Introduction

Polar series are a representation of complex functions in the form of power series. They are particularly useful in complex analysis and physics applications.

Key Concepts

1. Polar Form: A complex function can be expressed in polar form as:

z = re^{i\theta}

$$z = re^{i\theta}$$

where r$r$ is the magnitude and \theta$\theta$ is the argument.

2. Power Series: A power series is a sum of the form:

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$

where a_n$a_n$ are the coefficients of the series.

3. Radius of Convergence: The radius of convergence R$R$ of a power series is given by:

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}

$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$$

Exercises

Exercise 1: Power Series Expansion

Objective: Find the power series expansion of the function f(z) = \frac{1}{1 - z}$f(z) = \frac{1}{1 - z}$.

Solution:

1. Recognize that the function is of the form \frac{1}{1 - z}$\frac{1}{1 - z}$.
2. Use the geometric series formula:

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \quad \text{per } |z| < 1

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \quad \text{per } |z| < 1$$

Exercise 2: Calculating the Radius of Convergence

Objective: Find the radius of convergence of the series \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$.

Solution:

1. Calculate the limit:

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \left|\frac{1}{n!}\right|^{1/n} = 0

$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \left|\frac{1}{n!}\right|^{1/n} = 0$$

2. Therefore, R = \infty$R = \infty$. The series converges for every z$z$.

Exercise 3: Taylor Series

Objective: Find the Taylor series of the function f(z) = e^z$f(z) = e^z$ around z = 0$z = 0$.

Solution: 1. The derivative of f(z)$f(z)$ is f^{(n)}(0) = 1$f^{(n)}(0) = 1$ for all n$n$.
2. The Taylor series is:

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$$