Esercizi sull'analisi della tensione

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Esercizi sull'analisi della tensione

Versione italiana

Esercizi sull'analisi della tensione

Concetti Fondamentali

1. Tensore delle Tensioni: Il tensore delle tensioni è una matrice 3 \times 3$3 \times 3$ che rappresenta le tensioni in un materiale in tre dimensioni. La forma generale del tensore delle tensioni è:

   \mathbf{T} = \begin{bmatrix}
   \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{zx} \\
   \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
   \tau_{zx} & \tau_{yz} & \sigma_z
   \end{bmatrix}

   $$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{zx} \\ \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix}$$

   dove:

   • \sigma_x$\sigma_x$, \sigma_y$\sigma_y$, \sigma_z$\sigma_z$ sono le tensioni normali,
   • \tau_{xy}$\tau_{xy}$, \tau_{yz}$\tau_{yz}$, \tau_{zx}$\tau_{zx}$ sono le tensioni di taglio.

2. Invarianti di Tensione: Gli invarianti di tensione possono essere calcolati utilizzando il tensore delle tensioni. Gli invarianti sono definiti come segue:

   • Primo Invariante (I_1$I_1$):

     I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z

     $$I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z$$
   • Secondo Invariante (I_2$I_2$):

     I_2 = \frac{1}{2} \left( (\sigma_x + \sigma_y)^2 + (\sigma_y + \sigma_z)^2 + (\sigma_z + \sigma_x)^2 \right) - \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)

     $$I_2 = \frac{1}{2} \left( (\sigma_x + \sigma_y)^2 + (\sigma_y + \sigma_z)^2 + (\sigma_z + \sigma_x)^2 \right) - \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)$$
   • Terzo Invariante (I_3)$(I_3)$:

     I_3 = \text{det}(\mathbf{T})

     $$I_3 = \text{det}(\mathbf{T})$$

Classificazione dello Stato Tensionale

Utilizzando gli invarianti di tensione, possiamo classificare lo stato tensionale come segue:

1. Stato Piano:

   • Per essere considerato piano, I_3$I_3$ deve essere zero.

2. Stato Puramente Tangenziale:

   • Per essere considerato puramente tangenziale, I_1$I_1$ deve essere zero e I_2$I_2$ deve essere positivo.

3. Stato Monoassiale:

   • Per essere considerato monoassiale, una sola tensione normale deve essere significativa e le altre tensioni normali devono essere nulle o trascurabili.

Esercizio

Problema: Considera un elemento sottoposto a tensioni normali e di taglio. Le tensioni sono:

• \sigma_x = 50 \, MPa$\sigma_x = 50 \, MPa$
• \sigma_y = 30 \, MPa$\sigma_y = 30 \, MPa$
• \sigma_z = 10 \, MPa$\sigma_z = 10 \, MPa$
• \tau_{xy} = 5 \, MPa$\tau_{xy} = 5 \, MPa$
• \tau_{yz} = 3 \, MPa$\tau_{yz} = 3 \, MPa$
• \tau_{zx} = 2 \, MPa$\tau_{zx} = 2 \, MPa$

Trovare gli invarianti di tensione e classificare lo stato tensionale.

1. Costruzione del Tensore delle Tensioni:

   \mathbf{T} = \begin{bmatrix}
   50 & 5 & 2 \\
   5 & 30 & 3 \\
   2 & 3 & 10
   \end{bmatrix}

   $$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 50 & 5 & 2 \\ 5 & 30 & 3 \\ 2 & 3 & 10 \end{bmatrix}$$

2. Calcolo del Primo Invariante:

   I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z = 50 + 30 + 10 = 90 \, MPa

   $$I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z = 50 + 30 + 10 = 90 \, MPa$$

3. Calcolo del Secondo Invariante:

   I_2 = \frac{1}{2} \left( (\sigma_x + \sigma_y)^2 + (\sigma_y + \sigma_z)^2 + (\sigma_z + \sigma_x)^2 \right) - \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)

   $$I_2 = \frac{1}{2} \left( (\sigma_x + \sigma_y)^2 + (\sigma_y + \sigma_z)^2 + (\sigma_z + \sigma_x)^2 \right) - \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)$$

   I_2 = \frac{1}{2} \left( (50 + 30)^2 + (30 + 10)^2 + (10 + 50)^2 \right) - (5^2 + 3^2 + 2^2)

   $$I_2 = \frac{1}{2} \left( (50 + 30)^2 + (30 + 10)^2 + (10 + 50)^2 \right) - (5^2 + 3^2 + 2^2)$$

   I_2 = \frac{1}{2} \left( 6400 + 1600 + 3600 \right) - (25 + 9 + 4)

   $$I_2 = \frac{1}{2} \left( 6400 + 1600 + 3600 \right) - (25 + 9 + 4)$$

   I_2 = \frac{1}{2} \cdot 11600 - 38 = 5800 - 38 = 5762 \, MPa^2

   $$I_2 = \frac{1}{2} \cdot 11600 - 38 = 5800 - 38 = 5762 \, MPa^2$$

4. Calcolo del Terzo Invariante (I_3)$(I_3)$:
   Il terzo invariante può essere calcolato come il determinante del tensore delle tensioni \mathbf{T}$\mathbf{T}$. Il determinante di una matrice 3 \times 3$3 \times 3$ è dato dalla formula:

   \text{det}(\mathbf{T}) = \sigma_x \left( \sigma_y \sigma_z - \tau_{yz}^2 \right) - \tau_{xy} \left( \tau_{xy} \sigma_z - \tau_{yz} \cdot \tau_{zx} \right) + \tau_{zx} \left( \tau_{xy} \cdot \tau_{yz} - \sigma_y \tau_{zx} \right)

   $$\text{det}(\mathbf{T}) = \sigma_x \left( \sigma_y \sigma_z - \tau_{yz}^2 \right) - \tau_{xy} \left( \tau_{xy} \sigma_z - \tau_{yz} \cdot \tau_{zx} \right) + \tau_{zx} \left( \tau_{xy} \cdot \tau_{yz} - \sigma_y \tau_{zx} \right)$$

   Sostituendo i valori delle tensioni:

   I_3 = \text{det}(\mathbf{T}) = 50 \left( 30 \cdot 10 - 3^2 \right) - 5 \left( 5 \cdot 10 - 3 \cdot 2 \right) + 2 \left( 5 \cdot 3 - 30 \cdot 2 \right)

   $$I_3 = \text{det}(\mathbf{T}) = 50 \left( 30 \cdot 10 - 3^2 \right) - 5 \left( 5 \cdot 10 - 3 \cdot 2 \right) + 2 \left( 5 \cdot 3 - 30 \cdot 2 \right)$$

   Calcoliamo ciascun termine:

   • Primo termine:

     50 \left( 300 - 9 \right) = 50 \cdot 291 = 14550

     $$50 \left( 300 - 9 \right) = 50 \cdot 291 = 14550$$
   • Secondo termine:

     -5 \left( 50 - 6 \right) = -5 \cdot 44 = -220

     $$-5 \left( 50 - 6 \right) = -5 \cdot 44 = -220$$
   • Terzo termine:

     2 \left( 15 - 60 \right) = 2 \cdot (-45) = -90

     $$2 \left( 15 - 60 \right) = 2 \cdot (-45) = -90$$

   Ora sommiamo i risultati:

   I_3 = 14550 - 220 - 90 = 14340 \, MPa^3

   $$I_3 = 14550 - 220 - 90 = 14340 \, MPa^3$$

5. Per classificare lo stato tensionale dell'elemento utilizziamo gli invarianti di tensione.

• Primo Invariante (I_1)$(I_1)$:

  I_1 = 90 \, MPa

  $$I_1 = 90 \, MPa$$
  Questo valore rappresenta la somma delle tensioni normali. Un valore positivo indica che ci sono tensioni normali complessive.
• Secondo Invariante (I_2)$(I_2)$:

  I_2 = 5762 \, MPa^2

  $$I_2 = 5762 \, MPa^2$$
  Questo valore è positivo e indica che ci sono tensioni di taglio significative. Un I_2$I_2$ positivo suggerisce che l'elemento è soggetto a uno stato di tensione non puramente idrostatico.
• Terzo Invariante (I_3)$(I_3)$:

  I_3 = 14340 \, MPa^3

  $$I_3 = 14340 \, MPa^3$$
  Anche questo valore è positivo, il che implica che il sistema di tensioni non è degenerato e che ci sono interazioni tra le tensioni normali e di taglio.

Conclusione

In base agli invarianti di tensione:

• Lo stato tensionale dell'elemento è tridimensionale. Non è classificabile come piano, puramente tangenziale o monoassiale, poiché presenta tensioni normali e di taglio significative in tutte e tre le direzioni.

English version

Stress Analysis Exercises

Fundamental Concepts

1. Stress Tensor: The stress tensor is a 3 \times 3$3 \times 3$ matrix that represents the stresses in a material in three dimensions. The general form of the stress tensor is:

\mathbf{T} = \begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{zx} \\
\tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{yz} & \sigma_z
\end{bmatrix}

$$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{zx} \\ \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix}$$

where:

• \sigma_x$\sigma_x$, \sigma_y$\sigma_y$, \sigma_z$\sigma_z$ are the normal stresses,
• \tau_{xy}$\tau_{xy}$, \tau_{yz}$\tau_{yz}$, \tau_{zx}$\tau_{zx}$ are the shear stresses.

2. Stress Invariants: Stress invariants can be calculated using the stress tensor. The invariants are defined as follows:

• First Invariant (I_1$I_1$):

I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z

$$I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z$$

• Second Invariant (I_2$I_2$):

I_2 = \frac{1}{2} \left( (\sigma_x + \sigma_y)^2 + (\sigma_y + \sigma_z)^2 + (\sigma_z + \sigma_x)^2 \right) - \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)

$$I_2 = \frac{1}{2} \left( (\sigma_x + \sigma_y)^2 + (\sigma_y + \sigma_z)^2 + (\sigma_z + \sigma_x)^2 \right) - \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)$$

• Third Invariant (I_3)$(I_3)$:

I_3 = \text{det}(\mathbf{T})

$$I_3 = \text{det}(\mathbf{T})$$

Classification of Stress State

Using the stress invariants, we can classify the stress state as follows:

1. Plane State:

• To be considered planar, I_3$I_3$ must be zero.

2. Purely Tangential State:

• To be considered purely tangential, I_1$I_1$ must be zero and I_2$I_2$ must be positive.

3. Uniaxial State:

• To be considered uniaxial, only one normal stress must be significant and the other normal stresses must be zero or negligible.

Exercise

Problem: Consider an element subjected to normal and shear stresses. The stresses are:

• \sigma_x = 50 \, MPa$\sigma_x = 50 \, MPa$
• \sigma_y = 30 \, MPa$\sigma_y = 30 \, MPa$
• \sigma_z = 10 \, MPa$\sigma_z = 10 \, MPa$
• \tau_{xy} = 5 \, MPa$\tau_{xy} = 5 \, MPa$
• \tau_{yz} = 3 \, MPa$\tau_{yz} = 3 \, MPa$
• \tau_{zx} = 2 \, MPa$\tau_{zx} = 2 \, MPa$

Find the stress invariants and classify the stress state.

1. Construction of the Stress Tensor:

\mathbf{T} = \begin{bmatrix}
50 & 5 & 2 \\
5 & 30 & 3 \\
2 & 3 & 10
\end{bmatrix}

$$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 50 & 5 & 2 \\ 5 & 30 & 3 \\ 2 & 3 & 10 \end{bmatrix}$$

2. Calculation of the First Invariant:

I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z = 50 + 30 + 10 = 90 \, MPa

$$I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z = 50 + 30 + 10 = 90 \, MPa$$

3. Calculation of the Second Invariant:

I_2 = \frac{1}{2} \left( (\sigma_x + \sigma_y)^2 + (\sigma_y + \sigma_z)^2 + (\sigma_z + \sigma_x)^2 \right) - \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)

$$I_2 = \frac{1}{2} \left( (\sigma_x + \sigma_y)^2 + (\sigma_y + \sigma_z)^2 + (\sigma_z + \sigma_x)^2 \right) - \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)$$

I_2 = \frac{1}{2} \left( (50 + 30)^2 + (30 + 10)^2 + (10 + 50)^2 \right) - (5^2 + 3^2 + 2^2)

$$I_2 = \frac{1}{2} \left( (50 + 30)^2 + (30 + 10)^2 + (10 + 50)^2 \right) - (5^2 + 3^2 + 2^2)$$

I_2 = \frac{1}{2} \left( 6400 + 1600 + 3600 \right) - (25 + 9 + 4)

$$I_2 = \frac{1}{2} \left( 6400 + 1600 + 3600 \right) - (25 + 9 + 4)$$

I_2 = \frac{1}{2} \cdot 11600 - 38 = 5800 - 38 = 5762 \, MPa^2

$$I_2 = \frac{1}{2} \cdot 11600 - 38 = 5800 - 38 = 5762 \, MPa^2$$

4. Calculation of the Third Invariant (I_3)$(I_3)$:
   The third invariant can be calculated as the determinant of the stress tensor \mathbf{T}$\mathbf{T}$. The determinant of a matrix 3 \times 3$3 \times 3$ is given by the formula:

\text{det}(\mathbf{T}) = \sigma_x \left( \sigma_y \sigma_z - \tau_{yz}^2 \right) - \tau_{xy} \left( \tau_{xy} \sigma_z - \tau_{yz} \cdot \tau_{zx} \right) + \left( \tau_{xy} \cdot \tau_{yz} - \sigma_y \tau_{zx} \right) 

$$\text{det}(\mathbf{T}) = \sigma_x \left( \sigma_y \sigma_z - \tau_{yz}^2 \right) - \tau_{xy} \left( \tau_{xy} \sigma_z - \tau_{yz} \cdot \tau_{zx} \right) + \left( \tau_{xy} \cdot \tau_{yz} - \sigma_y \tau_{zx} \right)$$

Substituting the voltage values:

 I_3 = \text{det}(\mathbf{T}) = 50 \left( 30 \cdot 10 - 3^2 \right) - 5 \left( 5 \cdot 10 - 3 \cdot 2 \right) + 2 \left( 5 \cdot 3 - 30 \cdot 2 \right)

$$I_3 = \text{det}(\mathbf{T}) = 50 \left( 30 \cdot 10 - 3^2 \right) - 5 \left( 5 \cdot 10 - 3 \cdot 2 \right) + 2 \left( 5 \cdot 3 - 30 \cdot 2 \right)$$

Let's calculate each term:

• First term:

50 \left( 300 - 9 \right) = 50 \cdot 291 = 14550

$$50 \left( 300 - 9 \right) = 50 \cdot 291 = 14550$$

• Second term:

-5 \left( 50 - 6 \right) = -5 \cdot 44 = -220

$$-5 \left( 50 - 6 \right) = -5 \cdot 44 = -220$$

• Third term:

2 \left( 15 - 60 \right) = 2 \cdot (-45) = -90

$$2 \left( 15 - 60 \right) = 2 \cdot (-45) = -90$$

Now let's add the results:

I_3 = 14550 - 220 - 90 = 14340 \, MPa^3

$$I_3 = 14550 - 220 - 90 = 14340 \, MPa^3$$

5. To classify the stress state of the element we use the stress invariants.

• First Invariant (I_1)$(I_1)$:

I_1 = 90 \, MPa

$$I_1 = 90 \, MPa$$

This value represents the sum of the normal stresses. A positive value indicates that there are overall normal stresses.

• Second Invariant (I_2)$(I_2)$:

I_2 = 5762 \, MPa^2

$$I_2 = 5762 \, MPa^2$$

This value is positive and indicates that there are significant shear stresses. A positive I_2$I_2$ suggests that the element is subject to a stress state that is not purely hydrostatic.

• Third Invariant (I_3)$(I_3)$:

I_3 = 14340 \, MPa^3

$$I_3 = 14340 \, MPa^3$$

This value is also positive, which implies that the stress system is not degenerate and that there are interactions between the normal and shear stresses.

Conclusion

According to the stress invariants:

• The stress state of the element is three-dimensional. It cannot be classified as planar, purely tangential or uniaxial, as it presents significant normal and shear stresses in all three directions.