Esercizi sull'analisi della deformazione

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Versione italiana

Esercizi sull'analisi della deformazione

Concetti Principali

1. Deformazione Normale (\epsilon$\epsilon$):

   • La deformazione normale è la variazione di lunghezza per unità di lunghezza originale in direzione della forza applicata. Può essere positiva (allungamento) o negativa (compressione).

2. Deformazione di Taglio (\gamma$\gamma$):

   • La deformazione di taglio è la variazione di angolo tra due linee originariamente perpendicolari a causa di forze tangenziali.

3. Tensore delle Deformazioni:

   • Il tensore delle deformazioni è una matrice che rappresenta le deformazioni in un materiale in tre dimensioni. Per un materiale isotropo, il tensore delle deformazioni è dato da:

   \mathbf{E} = \begin{bmatrix}
   \epsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{zx} \\
   \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\
   \frac{1}{2} \gamma_{zx} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \epsilon_z
   \end{bmatrix}

   $$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} \epsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{zx} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{zx} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \epsilon_z \end{bmatrix}$$

4. Invarianti di Deformazione:

   • Gli invarianti di deformazione sono quantità scalari che forniscono informazioni sullo stato di deformazione del materiale. Gli invarianti di deformazione possono essere calcolati a partire dal tensore delle deformazioni.

Calcolo degli Invarianti di Deformazione

1. Primo Invariante (J_1$J_1$):

   J_1 = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z

   $$J_1 = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z$$

   Questo rappresenta la somma delle deformazioni normali.

2. Secondo Invariante (J_2$J_2$):

   J_2 = \frac{1}{2} \left( \epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2 \right) + \frac{1}{4} \left( \gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2 \right) - \frac{1}{2} \left( \epsilon_x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_z \epsilon_x \right)

   $$J_2 = \frac{1}{2} \left( \epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2 \right) + \frac{1}{4} \left( \gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2 \right) - \frac{1}{2} \left( \epsilon_x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_z \epsilon_x \right)$$

3. Terzo Invariante (J_3$J_3$):

   J_3 = \text{det}(\mathbf{E})

   $$J_3 = \text{det}(\mathbf{E})$$

   Questo rappresenta il determinante del tensore delle deformazioni.

Classificazione dello stato di deformazione

1. Stato Piano:

   • Per essere considerato piano, J_3$J_3$ deve essere zero.

2. Stato Puramente Tangenziale:

   • Per essere considerato puramente tangenziale, J_1$J_1$ deve essere zero e J_2$J_2$ deve essere positivo.

3. Stato Monoassiale:

   • Per essere considerato monoassiale, ci deve essere una sola deformazione normale significativa e le altre devono essere nulle o trascurabili.

Esempio di Analisi della Deformazione

Supponiamo di avere un materiale sottoposto a deformazioni normali e di taglio con i seguenti valori:

• \epsilon_x = 0.01$\epsilon_x = 0.01$ (1% di allungamento)
• \epsilon_y = 0.005$\epsilon_y = 0.005$ (0.5% di allungamento)
• \epsilon_z = 0.002$\epsilon_z = 0.002$ (0.2% di allungamento)
• \gamma_{xy} = 0.004$\gamma_{xy} = 0.004$ (deformazione di taglio)

Costruzione del Tensore delle Deformazioni

\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
0.01 & 0.002 & 0.002 \\
0.002 & 0.005 & 0.002 \\
0.002 & 0.002 & 0.002
\end{bmatrix}

$$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} 0.01 & 0.002 & 0.002 \\ 0.002 & 0.005 & 0.002 \\ 0.002 & 0.002 & 0.002 \end{bmatrix}$$

Calcolo degli Invarianti di Deformazione

1. Primo Invariante (J_1$J_1$):

   J_1 = 0.01 + 0.005 + 0.002 = 0.017

   $$J_1 = 0.01 + 0.005 + 0.002 = 0.017$$

2. Secondo Invariante (J_2$J_2$):

• \epsilon_x = 0.01$\epsilon_x = 0.01$
• \epsilon_y = 0.005$\epsilon_y = 0.005$
• \epsilon_z = 0.002$\epsilon_z = 0.002$
• \gamma_{xy} = 0.004$\gamma_{xy} = 0.004$

Ora calcoliamo J_2$J_2$:

J_2 = \frac{1}{2} \left( \epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2 \right) + \frac{1}{4} \left( \gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2 \right) - \frac{1}{2} \left( \epsilon_x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_z \epsilon_x \right)

$$J_2 = \frac{1}{2} \left( \epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2 \right) + \frac{1}{4} \left( \gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2 \right) - \frac{1}{2} \left( \epsilon_x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_z \epsilon_x \right)$$

Assumiamo che \gamma_{yz} = 0$\gamma_{yz} = 0$ e \gamma_{zx} = 0$\gamma_{zx} = 0$ (se non specificato, possiamo considerare che non ci siano deformazioni di taglio in queste direzioni).

Calcoliamo i singoli termini:

1. Deformazioni Normali:

   \epsilon_x^2 = (0.01)^2 = 0.0001

   $$\epsilon_x^2 = (0.01)^2 = 0.0001$$

   \epsilon_y^2 = (0.005)^2 = 0.000025

   $$\epsilon_y^2 = (0.005)^2 = 0.000025$$

   \epsilon_z^2 = (0.002)^2 = 0.000004

   $$\epsilon_z^2 = (0.002)^2 = 0.000004$$

2. Deformazioni di Taglio:

   \gamma_{xy}^2 = (0.004)^2 = 0.000016

   $$\gamma_{xy}^2 = (0.004)^2 = 0.000016$$

   \gamma_{yz}^2 = 0

   $$\gamma_{yz}^2 = 0$$

   \gamma_{zx}^2 = 0

   $$\gamma_{zx}^2 = 0$$

3. Prodotti delle Deformazioni Normali:

   \epsilon_x \epsilon_y = 0.01 \cdot 0.005 = 0.00005

   $$\epsilon_x \epsilon_y = 0.01 \cdot 0.005 = 0.00005$$

   \epsilon_y \epsilon_z = 0.005 \cdot 0.002 = 0.00001

   $$\epsilon_y \epsilon_z = 0.005 \cdot 0.002 = 0.00001$$

   \epsilon_z \epsilon_x = 0.002 \cdot 0.01 = 0.00002

   $$\epsilon_z \epsilon_x = 0.002 \cdot 0.01 = 0.00002$$

Ora possiamo sostituire i valori nel calcolo di J_2$J_2$:

J_2 = \frac{1}{2} \left( 0.0001 + 0.000025 + 0.000004 \right) + \frac{1}{4} \left( 0.000016 \right) - \frac{1}{2} \left( 0.00005 + 0.00001 + 0.00002 \right)

$$J_2 = \frac{1}{2} \left( 0.0001 + 0.000025 + 0.000004 \right) + \frac{1}{4} \left( 0.000016 \right) - \frac{1}{2} \left( 0.00005 + 0.00001 + 0.00002 \right)$$

Calcoliamo i singoli termini:

• Somma delle deformazioni normali:

  0.0001 + 0.000025 + 0.000004 = 0.000129

  $$0.0001 + 0.000025 + 0.000004 = 0.000129$$

  \frac{1}{2} \cdot 0.000129 = 0.0000645

  $$\frac{1}{2} \cdot 0.000129 = 0.0000645$$

• Deformazione di taglio:

  \frac{1}{4} \cdot 0.000016 = 0.000004

  $$\frac{1}{4} \cdot 0.000016 = 0.000004$$

• Prodotti delle deformazioni normali:

  0.00005 + 0.00001 + 0.00002 = 0.00008

  $$0.00005 + 0.00001 + 0.00002 = 0.00008$$

  -\frac{1}{2} \cdot 0.00008 = -0.00004

  $$-\frac{1}{2} \cdot 0.00008 = -0.00004$$

Ora sommiamo tutto:

J_2 = 0.0000645 + 0.000004 - 0.00004 = 0.0000285

$$J_2 = 0.0000645 + 0.000004 - 0.00004 = 0.0000285$$

3. Terzo invariante
   Il tensore delle deformazioni è dato da:

\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
\epsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{zx} \\
\frac{1}{2} \gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\
\frac{1}{2} \gamma_{zx} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \epsilon_z
\end{bmatrix}

$$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} \epsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{zx} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{zx} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \epsilon_z \end{bmatrix}$$

Sostituendo i valori:

\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
0.01 & 0.002 & 0 \\
0.002 & 0.005 & 0 \\
0 & 0 & 0.002
\end{bmatrix}

$$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} 0.01 & 0.002 & 0 \\ 0.002 & 0.005 & 0 \\ 0 & 0 & 0.002 \end{bmatrix}$$

Per calcolare il determinante di questa matrice 3 \times 3$3 \times 3$, possiamo usare la formula:

\text{det}(\mathbf{E}) = \epsilon_x \left( \epsilon_y \epsilon_z - \left(\frac{1}{2} \gamma_{yz}\right)^2 \right) - \frac{1}{2} \gamma_{xy} \left( \frac{1}{2} \gamma_{xy} \epsilon_z - \frac{1}{2} \gamma_{yz} \cdot 0 \right) + 0

$$\text{det}(\mathbf{E}) = \epsilon_x \left( \epsilon_y \epsilon_z - \left(\frac{1}{2} \gamma_{yz}\right)^2 \right) - \frac{1}{2} \gamma_{xy} \left( \frac{1}{2} \gamma_{xy} \epsilon_z - \frac{1}{2} \gamma_{yz} \cdot 0 \right) + 0$$

Sostituendo i valori:

1. Primo termine:

   \epsilon_x \left( \epsilon_y \epsilon_z - \left(\frac{1}{2} \gamma_{yz}\right)^2 \right) = 0.01 \left( 0.005 \cdot 0.002 - 0 \right) = 0.01 \cdot 0.00001 = 0.0000001

   $$\epsilon_x \left( \epsilon_y \epsilon_z - \left(\frac{1}{2} \gamma_{yz}\right)^2 \right) = 0.01 \left( 0.005 \cdot 0.002 - 0 \right) = 0.01 \cdot 0.00001 = 0.0000001$$

2. Secondo termine:

   -\frac{1}{2} \gamma_{xy} \left( \frac{1}{2} \gamma_{xy} \epsilon_z \right) = -\frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot 0.002 \right) = -\frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot 0.000004 = -0.000000008

   $$-\frac{1}{2} \gamma_{xy} \left( \frac{1}{2} \gamma_{xy} \epsilon_z \right) = -\frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot 0.002 \right) = -\frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot 0.000004 = -0.000000008$$

3. Terzo termine: Non contribuisce poiché \gamma_{yz} = 0$\gamma_{yz} = 0$.
   Ora sommiamo i risultati:

J_3 = 0.0000001 - 0.000000008 = 0.000000092

$$J_3 = 0.0000001 - 0.000000008 = 0.000000092$$

Classificazione dello Stato di Deformazione

Ora che abbiamo calcolato gli invarianti di deformazione:

• J_1 = 0.017$J_1 = 0.017$
• J_2 = 0.0000285$J_2 = 0.0000285$
• J_3 = 0.000000092$J_3 = 0.000000092$

Possiamo classificare lo stato di deformazione:

1. Stato Piano:

   • Per essere considerato piano, J_3$J_3$ dovrebbe essere zero. In questo caso, J_3$J_3$ è positivo, quindi non possiamo classificare lo stato come piano.

2. Stato Puramente Tangenziale:

   • Per essere considerato puramente tangenziale, J_1$J_1$ dovrebbe essere zero e J_2$J_2$ dovrebbe essere positivo. Qui, J_1$J_1$ è positivo, quindi non possiamo classificare lo stato come puramente tangenziale.

3. Stato Monoassiale:

   • Per essere considerato monoassiale, ci dovrebbe essere una sola deformazione normale significativa e le altre dovrebbero essere nulle o trascurabili. In questo caso, abbiamo tre deformazioni normali non nulle, quindi non possiamo classificare lo stato come monoassiale.

English version

Strain Analysis Exercises

Key Concepts

1. Normal Strain (\epsilon$\epsilon$):

• Normal strain is the change in length per unit of original length in the direction of the applied force. It can be positive (elongation) or negative (compression).

2. Shear Strain (\gamma$\gamma$):

• Shear strain is the change in angle between two originally perpendicular lines due to tangential forces.

3. Strain Tensor:

• The strain tensor is a matrix that represents the deformations in a material in three dimensions. For an isotropic material, the strain tensor is given by:

\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
\epsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{zx} \\
\frac{1}{2} \gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \epsilon_z
\end{bmatrix}

$$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} \epsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{zx} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \epsilon_z \end{bmatrix}$$

4. Deformation Invariants:

• Deformation invariants are scalar quantities that provide information about the state of deformation of the material. Deformation invariants can be calculated from the strain tensor.

Calculating Deformation Invariants

1. First Invariant (J_1$J_1$):

J_1 = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z

$$J_1 = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z$$

This represents the sum of the normal deformations.

2. Second Invariant (J_2$J_2$):

J_2 = \frac{1}{2} \left( \epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2 \right) + \frac{1}{4} \left( \gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2 \right) - \frac{1}{2} \left( x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_z \epsilon_x \right) 

$$J_2 = \frac{1}{2} \left( \epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2 \right) + \frac{1}{4} \left( \gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2 \right) - \frac{1}{2} \left( x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_z \epsilon_x \right)$$

3. Third Invariant (J_3$J_3$):

J_3 = \text{det}(\mathbf{E}) 

$$J_3 = \text{det}(\mathbf{E})$$

This represents the determinant of the strain tensor.

Classification of the state of deformation

1. Plane State:

• To be considered planar, J_3$J_3$ must be zero.

2. Purely Tangential State:

• To be considered purely tangential, J_1$J_1$ must be zero and J_2$J_2$ must be positive.

3. Uniaxial State:

• To be considered uniaxial, there must be only one significant normal strain and the others must be zero or negligible.

Strain Analysis Example

Suppose we have a material subjected to normal and shear strains with the following values:

• \epsilon_x = 0.01$\epsilon_x = 0.01$ (1% elongation)
• \epsilon_y = 0.005$\epsilon_y = 0.005$ (0.5% elongation)
• \epsilon_z = 0.002$\epsilon_z = 0.002$ (0.2% elongation)
• \gamma_{xy} = 0.004$\gamma_{xy} = 0.004$ (shear strain)

Construction of the Strain Tensor

\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
0.01 & 0.002 & 0.002 \\
0.002 & 0.005 & 0.002 \\
0.002 & 0.002 & 0.002
\end{bmatrix}

$$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} 0.01 & 0.002 & 0.002 \\ 0.002 & 0.005 & 0.002 \\ 0.002 & 0.002 & 0.002 \end{bmatrix}$$

Computing Deformation Invariants

1. First Invariant (J_1$J_1$):

J_1 = 0.01 + 0.005 + 0.002 = 0.017

$$J_1 = 0.01 + 0.005 + 0.002 = 0.017$$

2. Second Invariant (J_2$J_2$):

• \epsilon_x = 0.01$\epsilon_x = 0.01$
• \epsilon_y = 0.005$\epsilon_y = 0.005$
• \epsilon_z = 0.002$\epsilon_z = 0.002$
• \gamma_{xy} = 0.004$\gamma_{xy} = 0.004$

Now we compute J_2$J_2$:

J_2 = \frac{1}{2} \left( \epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2 \right) + \frac{1}{4} \left( \gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2 \right) - \frac{1}{2} \left( \epsilon_x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_z \epsilon_x \right)

$$J_2 = \frac{1}{2} \left( \epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2 \right) + \frac{1}{4} \left( \gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2 \right) - \frac{1}{2} \left( \epsilon_x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_z \epsilon_x \right)$$

Assume that \gamma_{yz} = 0$\gamma_{yz} = 0$ and \gamma_{zx} = 0$\gamma_{zx} = 0$ (if not specified, we can assume that there are no shear deformations in these directions).

Let's calculate the individual terms:

1. Normal Strains:

\epsilon_x^2 = (0.01)^2 = 0.0001

$$\epsilon_x^2 = (0.01)^2 = 0.0001$$

\epsilon_y^2 = (0.005)^2 = 0.000025

$$\epsilon_y^2 = (0.005)^2 = 0.000025$$

\epsilon_z^2 = (0.002)^2 = 0.000004

$$\epsilon_z^2 = (0.002)^2 = 0.000004$$

2. Shear Strains:

\gamma_{xy}^2 = (0.004)^2 = 0.000016

$$\gamma_{xy}^2 = (0.004)^2 = 0.000016$$

\gamma_{yz}^2 = 0

$$\gamma_{yz}^2 = 0$$

\gamma_{zx}^2 = 0

$$\gamma_{zx}^2 = 0$$

3. Products of Normal Strains:

\epsilon_x \epsilon_y = 0.01 \cdot 0.005 = 0.00005 

$$\epsilon_x \epsilon_y = 0.01 \cdot 0.005 = 0.00005$$

\epsilon_y \epsilon_z = 0.005 \cdot 0.002 = 0.00001 

$$\epsilon_y \epsilon_z = 0.005 \cdot 0.002 = 0.00001$$

\epsilon_z \epsilon_x = 0.002 \cdot 0.01 = 0.00002 

$$\epsilon_z \epsilon_x = 0.002 \cdot 0.01 = 0.00002$$

Now we can substitute the values ​​in the calculation of J_2$J_2$:

 J_2 = \frac{1}{2} \left( 0.0001 + 0.000025 + 0.000004 \right) + \frac{1}{4} \left( 0.000016 \right) - \frac{1}{2} \left( 0.00005 + 0.00001 + 0.00002 \right)

$$J_2 = \frac{1}{2} \left( 0.0001 + 0.000025 + 0.000004 \right) + \frac{1}{4} \left( 0.000016 \right) - \frac{1}{2} \left( 0.00005 + 0.00001 + 0.00002 \right)$$

Let's calculate the individual terms:

• Sum of normal deformations:

0.0001 + 0.000025 + 0.000004 = 0.000129

$$0.0001 + 0.000025 + 0.000004 = 0.000129$$

\frac{1}{2} \cdot 0.000129 = 0.0000645

$$\frac{1}{2} \cdot 0.000129 = 0.0000645$$

• Shear deformation:

\frac{1}{4} \cdot 0.000016 = 0.000004

$$\frac{1}{4} \cdot 0.000016 = 0.000004$$

• Products of normal deformations:

0.00005 + 0.00001 + 0.00002 = 0.00008

$$0.00005 + 0.00001 + 0.00002 = 0.00008$$

-\frac{1}{2} \cdot 0.00008 = -0.00004

$$-\frac{1}{2} \cdot 0.00008 = -0.00004$$

Now let's add it all up:

J_2 = 0.0000645 + 0.000004 - 0.00004 = 0.0000285

$$J_2 = 0.0000645 + 0.000004 - 0.00004 = 0.0000285$$

3. Third invariant
   The deformation tensor is given by:

\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
\epsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{zx} \\
\frac{1}{2} \gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\
\frac{1}{2} \gamma_{zx} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \epsilon_z
\end{bmatrix}

$$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} \epsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{zx} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{zx} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \epsilon_z \end{bmatrix}$$

Substituting the values:

\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
0.01 & 0.002 & 0 \\
0.002 & 0.005 & 0 \\
0 & 0 & 0.002
\end{bmatrix}

$$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} 0.01 & 0.002 & 0 \\ 0.002 & 0.005 & 0 \\ 0 & 0 & 0.002 \end{bmatrix}$$

To calculate the determinant of this matrix 3 \times 3$3 \times 3$, we can use the formula:

\text{det}(\mathbf{E}) = \epsilon_x \left( \epsilon_y \epsilon_z - \left(\frac{1}{2} \gamma_{yz}\right)^2 \right) - \frac{1}{2} \gamma_{xy} \left( \frac{1}{2} \gamma_{xy} \epsilon_z - \frac{1}{2} \gamma_{yz} \cdot 0 \right) + 0

$$\text{det}(\mathbf{E}) = \epsilon_x \left( \epsilon_y \epsilon_z - \left(\frac{1}{2} \gamma_{yz}\right)^2 \right) - \frac{1}{2} \gamma_{xy} \left( \frac{1}{2} \gamma_{xy} \epsilon_z - \frac{1}{2} \gamma_{yz} \cdot 0 \right) + 0$$

Substituting the values:

1. First term:

\epsilon_x \left( \epsilon_y \epsilon_z - \left(\frac{1}{2} \gamma_{yz}\right)^2 \right) = 0.01 \left( 0.005 \cdot 0.002 - 0 \right) = 0.01 \cdot 0.00001 = 0.0000001

$$\epsilon_x \left( \epsilon_y \epsilon_z - \left(\frac{1}{2} \gamma_{yz}\right)^2 \right) = 0.01 \left( 0.005 \cdot 0.002 - 0 \right) = 0.01 \cdot 0.00001 = 0.0000001$$

2. Second term:

 -\frac{1}{2} \gamma_{xy} \left({2} \gamma_{xy} \epsilon_z \right) = -\frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot 0.002 \right) = -\frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot 0.000004 = -0.000000008

$$-\frac{1}{2} \gamma_{xy} \left({2} \gamma_{xy} \epsilon_z \right) = -\frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot 0.002 \right) = -\frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot 0.000004 = -0.000000008$$

3. Third term: Does not contribute since \gamma_{yz} = 0$\gamma_{yz} = 0$.
   Now we add the results:

J_3 = 0.0000001 - 0.000000008 = 0.000000092

$$J_3 = 0.0000001 - 0.000000008 = 0.000000092$$

Classification of the Deformation State

Now that we have calculated the deformation invariants:

• J_1 = 0.017$J_1 = 0.017$
• J_2 = 0.0000285$J_2 = 0.0000285$
• J_3 = 0.000000092$J_3 = 0.000000092$

We can classify the deformation state:

1. Flat State:

• To be considered flat, J_3$J_3$ should be zero. In this case, J_3$J_3$ is positive, so we cannot classify the state as flat.

2. Purely Tangential State:

• To be considered purely tangential, J_1$J_1$ should be zero and J_2$J_2$ should be positive. Here, J_1$J_1$ is positive, so we cannot classify the state as purely tangential.

3. Uniaxial State:

• To be considered uniaxial, there should be only one significant normal strain and the others should be zero or negligible. In this case, we have three non-zero normal strains, so we cannot classify the state as uniaxial.