Esercizi sulla trigonometria

Esercizi sulla trigonometria

Esercizi sulla trigonometria

Versione italiana

Esercizi sulla trigonometria

La trigonometria è una branca della matematica che studia le relazioni tra gli angoli e i lati dei triangoli, in particolare i triangoli rettangoli. I concetti chiave includono le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente) e le loro relazioni.

Concetti chiave della trigonometria

1. Triangolo rettangolo: Un triangolo con un angolo di 90 gradi.
2. Seno (sin): In un triangolo rettangolo, il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa.

   \sin(\theta) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}

   $$\sin(\theta) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}$$
3. Coseno (cos): Il coseno di un angolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.

   \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}

   $$\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}$$
4. Tangente (tan): La tangente di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente.

   \tan(\theta) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}

   $$\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

Esercizi di trigonometria

Esercizio 1: Calcolo del seno

Problema: In un triangolo rettangolo, l'angolo A è di 30 gradi e il cateto opposto a A misura 5 cm. Qual è la lunghezza dell'ipotenusa?

Soluzione:
Utilizziamo la definizione del seno:

\sin(30^\circ) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}

$$\sin(30^\circ) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}$$

Sappiamo che \sin(30^\circ) = 0,5$\sin(30^\circ) = 0,5$. Quindi:

0,5 = \frac{5}{\text{ipotenusa}}

$$0,5 = \frac{5}{\text{ipotenusa}}$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per l'ipotenusa:

0,5 \cdot \text{ipotenusa} = 5

$$0,5 \cdot \text{ipotenusa} = 5$$

Dividiamo per 0,5:

\text{ipotenusa} = \frac{5}{0,5} = 10 \, \text{cm}

$$\text{ipotenusa} = \frac{5}{0,5} = 10 \, \text{cm}$$

Esercizio 2: Calcolo del cateto adiacente

Problema: In un triangolo rettangolo, l'angolo B è di 45 gradi e l'ipotenusa misura 10 cm. Qual è la lunghezza del cateto adiacente a B?

Soluzione:
Utilizziamo la definizione del coseno:

\cos(45^\circ) = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}

$$\cos(45^\circ) = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}$$

Sappiamo che \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Quindi:

\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\text{cateto adiacente}}{10}

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\text{cateto adiacente}}{10}$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per 10:

\text{cateto adiacente} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \, \text{cm}

$$\text{cateto adiacente} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \, \text{cm}$$

Esercizio 3: Calcolo della tangente

Problema: In un triangolo rettangolo, l'angolo C è di 60 gradi e il cateto opposto a C misura 8 cm. Qual è la lunghezza del cateto adiacente a C?

Soluzione:
Utilizziamo la definizione della tangente:

\tan(60^\circ) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}

$$\tan(60^\circ) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}$$

Sappiamo che \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$. Quindi:

\sqrt{3} = \frac{8}{\text{cateto adiacente}}

$$\sqrt{3} = \frac{8}{\text{cateto adiacente}}$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per il cateto adiacente:

\sqrt{3} \cdot \text{cateto adiacente} = 8

$$\sqrt{3} \cdot \text{cateto adiacente} = 8$$

Dividiamo per \sqrt{3}$\sqrt{3}$:

\text{cateto adiacente} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4,62 \, \text{cm}

$$\text{cateto adiacente} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4,62 \, \text{cm}$$

Esercizio 4: Teorema di Pitagora

Problema: In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 6 cm e 8 cm. Qual è la lunghezza dell'ipotenusa?

Soluzione:
Utilizziamo il teorema di Pitagora, che afferma che:

c^2 = a^2 + b^2

$$c^2 = a^2 + b^2$$

dove c$c$ è l'ipotenusa e a$a$ e b$b$ sono i cateti. Sostituiamo i valori:

c^2 = 6^2 + 8^2

$$c^2 = 6^2 + 8^2$$

c^2 = 36 + 64

$$c^2 = 36 + 64$$

c^2 = 100

$$c^2 = 100$$

Ora, prendiamo la radice quadrata:

c = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}

$$c = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}$$

Esercizio 5: Angolo in un triangolo rettangolo

Problema: In un triangolo rettangolo, il cateto opposto a un angolo D misura 4 cm e il cateto adiacente misura 3 cm. Qual è l'angolo D?

Soluzione:
Utilizziamo la funzione tangente:

\tan(D) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{4}{3}

$$\tan(D) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{4}{3}$$

Per trovare l'angolo D, utilizziamo la funzione inversa della tangente:

D = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)

$$D = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$$

Calcolando con una calcolatrice:

D \approx 53,13^\circ

$$D \approx 53,13^\circ$$

Esercizio 6: Applicazione delle funzioni trigonometriche

Problema: Un albero di altezza h proietta un'ombra di 10 m. Se l'angolo di elevazione del sole è di 30 gradi, qual è l'altezza dell'albero?

Soluzione:
Utilizziamo la funzione tangente:

\tan(30^\circ) = \frac{h}{10}

$$\tan(30^\circ) = \frac{h}{10}$$

Sappiamo che \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Quindi:

\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{10}

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{10}$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per 10:

h = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5,77 \, \text{m}

$$h = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5,77 \, \text{m}$$

English version

Trigonometry Exercises

Trigonometry is a branch of mathematics that studies the relationships between angles and sides of triangles, especially right triangles. Key concepts include trigonometric functions (sine, cosine, tangent) and their relationships.

Key concepts in trigonometry

1. Right-angled triangle: A triangle with a 90-degree angle.
2. Sine (sin): In a right-angled triangle, the sine of an angle is the ratio of the opposite side to the hypotenuse.

\sin(\theta) = \frac{\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}

$$\sin(\theta) = \frac{\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}$$

3. Cosine (cos): The cosine of an angle is the ratio of the adjacent side to the hypotenuse.

\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}

$$\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}$$

4. Tangent (tan): The tangent of an angle is the ratio of the opposite side to the adjacent side.

\tan(\theta) = \frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}

$$\tan(\theta) = \frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

Trigonometry Exercises

Exercise 1: Calculating the sine

Problem: In a right-angled triangle, angle A is 30 degrees and the side opposite A is 5 cm. What is the length of the hypotenuse?

Solution:
We use the definition of sine:

\sin(30^\circ) = \frac{\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}

$$\sin(30^\circ) = \frac{\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}$$

We know that \sin(30^\circ) = 0.5$\sin(30^\circ) = 0.5$. So:

0.5 = \frac{5}{\text{hypotenuse}}

$$0.5 = \frac{5}{\text{hypotenuse}}$$

We multiply both sides by the hypotenuse:

0.5 \cdot \text{hypotenuse} = 5

$$0.5 \cdot \text{hypotenuse} = 5$$

We divide by 0.5:

\text{hypotenuse} = \frac{5}{0.5} = 10 \, \text{cm}

$$\text{hypotenuse} = \frac{5}{0.5} = 10 \, \text{cm}$$

Exercise 2: Calculating the adjacent side

Problem: In a right-angled triangle, angle B is 45 degrees and the hypotenuse measures 10 cm. What is the length of the leg adjacent to B?

Solution:
We use the definition of cosine:

\cos(45^\circ) = \frac{\text{adjacent leg}}{\text{hypotenuse}}

$$\cos(45^\circ) = \frac{\text{adjacent leg}}{\text{hypotenuse}}$$

We know that \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. So:

\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\text{adjacent side}}{10}

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\text{adjacent side}}{10}$$

We multiply both sides by 10:

\text{adjacent side} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \, \text{cm}

$$\text{adjacent side} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \, \text{cm}$$

Exercise 3: Calculating the tangent

Problem: In a right-angled triangle, angle C is 60 degrees and the side opposite C measures 8 cm. What is the length of the side adjacent to C?

Solution:
We use the definition of the tangent:

\tan(60^\circ) = \frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}

$$\tan(60^\circ) = \frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}$$

We know that \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$. So:

\sqrt{3} = \frac{8}{\text{adjacent side}}

$$\sqrt{3} = \frac{8}{\text{adjacent side}}$$

We multiply both sides by the adjacent side:

\sqrt{3} \cdot \text{adjacent side} = 8

$$\sqrt{3} \cdot \text{adjacent side} = 8$$

We divide by \sqrt{3}$\sqrt{3}$:

\text{adjacent side} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62 \, \text{cm}

$$\text{adjacent side} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62 \, \text{cm}$$

Exercise 4: Pythagorean Theorem

Problem: In a right-angled triangle, the legs measure 6 cm and 8 cm. What is the length of the hypotenuse?

Solution:
We use the Pythagorean theorem, which states that:

c^2 = a^2 + b^2

$$c^2 = a^2 + b^2$$

where c$c$ is the hypotenuse and a$a$ and b$b$ are the legs. We substitute the values:

c^2 = 6^2 + 8^2

$$c^2 = 6^2 + 8^2$$

c^2 = 36 + 64

$$c^2 = 36 + 64$$

c^2 = 100

$$c^2 = 100$$

Now, we take the square root:

c = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}

$$c = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}$$

Exercise 5: Angle in a Right Triangle

Problem: In a right triangle, the side opposite an angle D measures 4 cm and the adjacent side measures 3 cm. What is angle D?

Solution:
We use the tangent function:

\tan(D) = \frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}} = \frac{4}{3}

$$\tan(D) = \frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}} = \frac{4}{3}$$

To find the angle D, we use the inverse function of the tangent:

D = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)

$$D = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$$

Calculating with a calculator:

D \approx 53.13^\circ

$$D \approx 53.13^\circ$$

Exercise 6: Application of trigonometric functions

Problem: A tree of height h casts a shadow of 10 m. If the angle of elevation of the sun is 30 degrees, what is the height of the tree?

Solution:
We use the tangent function:

\tan(30^\circ) = \frac{h}{10}

$$\tan(30^\circ) = \frac{h}{10}$$

We know that \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. So:

\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{10}

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{10}$$

We multiply both sides by 10:

h = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.77 \, \text{m}

$$h = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.77 \, \text{m}$$