Esercizi sulla Norma di un Vettore e di un Versore

Esercizi sulla Norma di un Vettore e di un Versore

Esercizi sulla Norma di un Vettore e di un Versore

Versione italiana

Esercizi sulla Norma di un Vettore e di un Versore

Introduzione

La norma di un vettore è una misura della sua lunghezza o grandezza. In uno spazio euclideo, la norma di un vettore \vec{v} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$\vec{v} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ è calcolata con la seguente formula:

\|\vec{v}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}

$$\|\vec{v}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}$$

Un versore è un vettore di norma 1. Per ottenere un versore da un vettore \vec{v}$\vec{v}$, si divide il vettore per la sua norma:

\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}

$$\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$$

Esercizio 1: Calcolo della Norma di un Vettore

Problema: Calcola la norma del vettore \vec{v} = (3, 4)$\vec{v} = (3, 4)$.

Soluzione:

1. Utilizziamo la formula della norma:

   \|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

   $$\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Quindi, la norma del vettore \vec{v}$\vec{v}$ è 5$5$.

Esercizio 2: Calcolo della Norma di un Vettore in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$

Problema: Calcola la norma del vettore \vec{u} = (1, -2, 2)$\vec{u} = (1, -2, 2)$.

Soluzione:

1. Utilizziamo la formula della norma:

   \|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

   $$\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

Quindi, la norma del vettore \vec{u}$\vec{u}$ è 3$3$.

Esercizio 3: Calcolo del Versore di un Vettore

Problema: Trova il versore del vettore \vec{v} = (6, 8)$\vec{v} = (6, 8)$.

Soluzione:

1. Calcoliamo prima la norma di \vec{v}$\vec{v}$:

   \|\vec{v}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

   $$\|\vec{v}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

2. Ora calcoliamo il versore:

   \hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \frac{(6, 8)}{10} = \left( \frac{6}{10}, \frac{8}{10} \right) = \left( 0.6, 0.8 \right)

   $$\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \frac{(6, 8)}{10} = \left( \frac{6}{10}, \frac{8}{10} \right) = \left( 0.6, 0.8 \right)$$

Quindi, il versore del vettore \vec{v}$\vec{v}$ è \hat{u} = (0.6, 0.8)$\hat{u} = (0.6, 0.8)$.

Esercizio 4: Calcolo del Versore di un Vettore in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$

Problema: Trova il versore del vettore \vec{u} = (2, -2, 1)$\vec{u} = (2, -2, 1)$.

Soluzione:

1. Calcoliamo prima la norma di \vec{u}$\vec{u}$:

   \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3

   $$\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$

2. Ora calcoliamo il versore:

   \hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \frac{(2, -2, 1)}{3} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)

   $$\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \frac{(2, -2, 1)}{3} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$$

Quindi, il versore del vettore \vec{u}$\vec{u}$ è \hat{u} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$\hat{u} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$.

English version

Exercises on the Norm of a Vector and a Versor

Introduction

The norm of a vector is a measure of its length or magnitude. In a Euclidean space, the norm of a vector \vec{v} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$\vec{v} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ is calculated with the following formula:

\|\vec{v}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}

$$\|\vec{v}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}$$

A versor is a vector with norm 1. To obtain a versor from a vector \vec{v}$\vec{v}$, divide the vector by its norm:

\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}

$$\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$$

Exercise 1: Calculating the Norm of a Vector

Problem: Calculate the norm of the vector \vec{v} = (3, 4)$\vec{v} = (3, 4)$.

Solution:

1. We use the formula for the norm:

\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

$$\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

So, the norm of the vector \vec{v}$\vec{v}$ is 5$5$.

Exercise 2: Calculating the Norm of a Vector in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$

Problem: Calculate the norm of the vector \vec{u} = (1, -2, 2)$\vec{u} = (1, -2, 2)$.

Solution:

1. We use the norm formula:

\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

$$\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

So, the norm of the vector \vec{u}$\vec{u}$ is 3$3$.

Exercise 3: Calculating the Versor of a Vector

Problem: Find the versor of the vector \vec{v} = (6, 8)$\vec{v} = (6, 8)$.

Solution:

1. First, let's calculate the norm of \vec{v}$\vec{v}$:

\|\vec{v}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

$$\|\vec{v}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

2. Now let's calculate the versor:

\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \frac{(6, 8)}{10} = \left( \frac{6}{10}, \frac{8}{10} \right) = \left( 0.6, 0.8 \right)

$$\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \frac{(6, 8)}{10} = \left( \frac{6}{10}, \frac{8}{10} \right) = \left( 0.6, 0.8 \right)$$

So, the versor of the vector \vec{v}$\vec{v}$ is \hat{u} = (0.6, 0.8)$\hat{u} = (0.6, 0.8)$.

Exercise 4: Calculating the Versor of a Vector in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$

Problem: Find the versor of the vector \vec{u} = (2, -2, 1)$\vec{u} = (2, -2, 1)$.

Solution:

1. First, let's calculate the norm of \vec{u}$\vec{u}$:

\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3

$$\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$

2. Now let's calculate the unit vector:

\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \frac{(2, -2, 1)}{3} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{ 2}{3}, \frac{1}{3} \right)

$$\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \frac{(2, -2, 1)}{3} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{ 2}{3}, \frac{1}{3} \right)$$

Therefore, the unit vector \vec{u}$\vec{u}$ is \hat{u} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$\hat{u} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$.