Esercizi sulla conservazione dell'energia meccanica

Esercizi sulla conservazione dell'energia meccanica

Esercizi sulla conservazione dell'energia meccanica

Versione italiana

Esercizi sulla conservazione dell'energia meccanica

La conservazione dell'energia meccanica è un principio fondamentale della fisica che afferma che, in assenza di forze non conservative (come l'attrito), l'energia meccanica totale di un sistema rimane costante. L'energia meccanica totale è la somma dell'energia cinetica (energia del movimento) e dell'energia potenziale (energia immagazzinata a causa della posizione).

Concetti Fondamentali

1. Energia Cinetica (EC): L'energia cinetica di un oggetto di massa m che si muove con velocità v è data dalla formula:

   EC = \frac{1}{2} m v^2

   $$EC = \frac{1}{2} m v^2$$

2. Energia Potenziale (EP): L'energia potenziale gravitazionale di un oggetto di massa m a un'altezza h è data da:

   EP = mgh

   $$EP = mgh$$

   dove g è l'accelerazione di gravità (circa 9.81 \, \text{m/s}^2$9.81 \, \text{m/s}^2$ sulla superficie terrestre).

3. Conservazione dell'Energia Meccanica: In assenza di forze non conservative, l'energia meccanica totale E di un sistema rimane costante:

   E_{\text{iniziale}} = E_{\text{finale}} \implies EC_i + EP_i = EC_f + EP_f

   $$E_{\text{iniziale}} = E_{\text{finale}} \implies EC_i + EP_i = EC_f + EP_f$$

Esercizi Esempio

Esercizio 1

Un oggetto di massa 2 \, \text{kg}$2 \, \text{kg}$ viene lasciato cadere da un'altezza di 10 \, \text{m}$10 \, \text{m}$. Calcola l'energia potenziale iniziale e l'energia cinetica quando l'oggetto raggiunge il suolo.

Soluzione:

• Energia potenziale iniziale:

  EP_i = mgh = 2 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 10 \, \text{m} = 196.2 \, \text{J}

  $$EP_i = mgh = 2 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 10 \, \text{m} = 196.2 \, \text{J}$$
• Energia cinetica finale (quando l'oggetto raggiunge il suolo, h = 0$h = 0$):

  EP_f = 0 \quad \text{(poiché l'altezza è zero)}

  $$EP_f = 0 \quad \text{(poiché l'altezza è zero)}$$
  Dalla conservazione dell'energia meccanica:

  E_{\text{iniziale}} = E_{\text{finale}} \implies 196.2 \, \text{J} = EC_f + 0 \implies EC_f = 196.2 \, \text{J}

  $$E_{\text{iniziale}} = E_{\text{finale}} \implies 196.2 \, \text{J} = EC_f + 0 \implies EC_f = 196.2 \, \text{J}$$
• Calcolo della velocità finale:

  EC_f = \frac{1}{2} m v^2 \implies 196.2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 \implies v^2 = 196.2 \implies v \approx 14.0 \, \text{m/s}

  $$EC_f = \frac{1}{2} m v^2 \implies 196.2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 \implies v^2 = 196.2 \implies v \approx 14.0 \, \text{m/s}$$

Esercizio 2

Un pendolo di massa 1 \, \text{kg}$1 \, \text{kg}$ è sollevato a un'altezza di 2 \, \text{m}$2 \, \text{m}$ e poi rilasciato. Calcola l'energia potenziale iniziale e l'energia cinetica quando il pendolo passa attraverso la posizione più bassa.

Soluzione:

• Energia potenziale iniziale:

  EP_i = mgh = 1 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 2 \, \text{m} = 19.62 \, \text{J}

  $$EP_i = mgh = 1 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 2 \, \text{m} = 19.62 \, \text{J}$$
• Energia cinetica finale (quando il pendolo è nella posizione più bassa):

  EP_f = 0 \quad \text{(poiché l'altezza è zero)}

  $$EP_f = 0 \quad \text{(poiché l'altezza è zero)}$$
  Dalla conservazione dell'energia meccanica:

  E_{\text{iniziale}} = E_{\text{finale}} \implies 19.62 \, \text{J} = EC_f + 0 \implies EC_f = 19.62 \, \text{J}

  $$E_{\text{iniziale}} = E_{\text{finale}} \implies 19.62 \, \text{J} = EC_f + 0 \implies EC_f = 19.62 \, \text{J}$$
• Calcolo della velocità finale:

EC_f = \frac{1}{2} m v^2

$$EC_f = \frac{1}{2} m v^2$$

Sappiamo che EC_f = 19.62 \text{J}$EC_f = 19.62 \text{J}$ e m = 1 \text{kg}$m = 1 \text{kg}$.
Possiamo sostituire questi valori nella formula:

19.62 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v^2

$$19.62 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v^2$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per 2:

39.24 = v^2

$$39.24 = v^2$$

Ora, prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati per trovare v:

v = \sqrt{39.24} \approx 6.26 \, \text{m/s}

$$v = \sqrt{39.24} \approx 6.26 \, \text{m/s}$$

Esercizio 3

Un proiettile di massa 0.5 \, \text{kg}$0.5 \, \text{kg}$ viene lanciato verticalmente verso l'alto con una velocità iniziale di 20 \, \text{m/s}$20 \, \text{m/s}$. Calcola l'altezza massima raggiunta dal proiettile e l'energia meccanica totale all'inizio e all'altezza massima.

Soluzione:

1. Energia cinetica iniziale:

   EC_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (20)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 400 = 100 \, \text{J}

   $$EC_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (20)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 400 = 100 \, \text{J}$$

2. Energia potenziale iniziale:

   EP_i = 0 \quad \text{(poiché consideriamo l'altezza iniziale come zero)}

   $$EP_i = 0 \quad \text{(poiché consideriamo l'altezza iniziale come zero)}$$

3. Energia meccanica totale iniziale:

   E_{\text{totale}} = EC_i + EP_i = 100 \, \text{J} + 0 = 100 \, \text{J}

   $$E_{\text{totale}} = EC_i + EP_i = 100 \, \text{J} + 0 = 100 \, \text{J}$$

4. Energia meccanica totale all'altezza massima:
   Quando il proiettile raggiunge l'altezza massima, la sua velocità è zero, quindi l'energia cinetica è zero e tutta l'energia meccanica è convertita in energia potenziale:

   EP_f = E_{\text{totale}} = 100 \, \text{J}

   $$EP_f = E_{\text{totale}} = 100 \, \text{J}$$

5. Calcolo dell'altezza massima:
   Utilizziamo la formula per l'energia potenziale:

   EP_f = mgh \implies 100 = 0.5 \cdot 9.81 \cdot h

   $$EP_f = mgh \implies 100 = 0.5 \cdot 9.81 \cdot h$$

   Risolvendo per h:

   100 = 4.905h \implies h = \frac{100}{4.905} \approx 20.4 \, \text{m}

   $$100 = 4.905h \implies h = \frac{100}{4.905} \approx 20.4 \, \text{m}$$

English version

Exercises on Conservation of Mechanical Energy

Conservation of mechanical energy is a fundamental principle of physics that states that, in the absence of non-conservative forces (such as friction), the total mechanical energy of a system remains constant. Total mechanical energy is the sum of kinetic energy (energy of motion) and potential energy (energy stored due to position).

Fundamental Concepts

1. Kinetic Energy (CE): The kinetic energy of an object of mass m moving with velocity v is given by the formula:

CE = \frac{1}{2} m v^2

$$CE = \frac{1}{2} m v^2$$

2. Potential Energy (PE): The gravitational potential energy of an object of mass m at a height h is given by:

EP = mgh

$$EP = mgh$$

where g is the acceleration of gravity (about 9.81 \, \text{m/s}^2$9.81 \, \text{m/s}^2$ on the Earth's surface).

3. Conservation of Mechanical Energy: In the absence of non-conservative forces, the total mechanical energy E of a system remains constant:

E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} \implies EC_i + EP_i = EC_f + EP_f

$$E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} \implies EC_i + EP_i = EC_f + EP_f$$

Exercises Example

Exercise 1

An object of mass 2 \, \text{kg}$2 \, \text{kg}$ is dropped from a height of 10 \, \text{m}$10 \, \text{m}$. Calculate the initial potential energy and the kinetic energy when the object reaches the ground.

Solution:

• Initial potential energy:

EP_i = mgh = 2 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 10 \, \text{m} = 196.2 \, \text{J}

$$EP_i = mgh = 2 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 10 \, \text{m} = 196.2 \, \text{J}$$

• Final kinetic energy (when the object reaches the ground, h = 0$h = 0$):

EP_f = 0 \quad \text{(since the height is zero)}

$$EP_f = 0 \quad \text{(since the height is zero)}$$

From conservation of mechanical energy:

E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} \implies 196.2 \, \text{J} = EC_f + 0 \implies EC_f = 196.2 \, \text{J}

$$E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} \implies 196.2 \, \text{J} = EC_f + 0 \implies EC_f = 196.2 \, \text{J}$$

• Final velocity calculation:

EC_f = \frac{1}{2} m v^2 \implies 196.2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 \implies v^2 = 196.2 \implies v \approx 14.0 \, \text{m/s}

$$EC_f = \frac{1}{2} m v^2 \implies 196.2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 \implies v^2 = 196.2 \implies v \approx 14.0 \, \text{m/s}$$

Exercise 2

A pendulum of mass 1 \, \text{kg}$1 \, \text{kg}$ is raised to a height of 2 \, \text{m}$2 \, \text{m}$ and then released. Calculate the initial potential energy and the kinetic energy when the pendulum passes through the lowest position.

Solution:

• Initial potential energy:

EP_i = mgh = 1 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 2 \, \text{m} = 19.62 \, \text{J}

$$EP_i = mgh = 1 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 2 \, \text{m} = 19.62 \, \text{J}$$

• Final kinetic energy (when the pendulum is in the lowest position):

EP_f = 0 \quad \text{(since the height is zero)}

$$EP_f = 0 \quad \text{(since the height is zero)}$$

From conservation of mechanical energy:

E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} \implies 19.62 \, \text{J} = EC_f + 0 \implies EC_f = 19.62 \, \text{J}

$$E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} \implies 19.62 \, \text{J} = EC_f + 0 \implies EC_f = 19.62 \, \text{J}$$

• Final velocity calculation:

EC_f = \frac{1}{2} m v^2

$$EC_f = \frac{1}{2} m v^2$$

We know that EC_f = 19.62 \text{J}$EC_f = 19.62 \text{J}$ and m = 1 \text{kg}$m = 1 \text{kg}$.
We can substitute these values ​​into the formula:

19.62 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v^2

$$19.62 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v^2$$

We multiply both sides by 2:

39.24 = v^2

$$39.24 = v^2$$

Now, we take the square root of both sides to find v:

v = \sqrt{39.24} \approx 6.26 \, \text{m/s}

$$v = \sqrt{39.24} \approx 6.26 \, \text{m/s}$$

Exercise 3

A projectile of mass 0.5 \, \text{kg}$0.5 \, \text{kg}$ is launched vertically upward with an initial velocity of 20 \, \text{m/s}$20 \, \text{m/s}$. Find the maximum height reached by the projectile and the total mechanical energy at the start and at the maximum height.

Solution:

1. Initial kinetic energy:

EC_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (20)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 400 = 100 \, \text{J}

$$EC_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (20)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 400 = 100 \, \text{J}$$

2. Initial potential energy:

EP_i = 0 \quad \text{(since we consider the initial height to be zero)}

$$EP_i = 0 \quad \text{(since we consider the initial height to be zero)}$$

3. Initial total mechanical energy:

E_{\text{total}} = EC_i + EP_i = 100 \, \text{J} + 0 = 100 \, \text{J}

$$E_{\text{total}} = EC_i + EP_i = 100 \, \text{J} + 0 = 100 \, \text{J}$$

4. Total mechanical energy at maximum height:
   When the projectile reaches the maximum height, its speed is zero, so the kinetic energy is zero and all the mechanical energy is converted into potential energy:

EP_f = E_{\text{total}} = 100 \, \text{J}

$$EP_f = E_{\text{total}} = 100 \, \text{J}$$

5. Calculating the maximum height:
   We use the formula for potential energy:

EP_f = mgh \implies 100 = 0.5 \cdot 9.81 \cdot h

$$EP_f = mgh \implies 100 = 0.5 \cdot 9.81 \cdot h$$

Solving for h:

100 = 4.905h \implies h = \frac{100}{4.905} \approx 20.4 \, \text{m}

$$100 = 4.905h \implies h = \frac{100}{4.905} \approx 20.4 \, \text{m}$$