Esercizi sul Teorema dell'Energia Cinetica

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Esercizi sul Teorema dell'Energia Cinetica

Versione italiana

Esercizi sul Teorema dell'Energia Cinetica

Concetti Chiave

Il teorema dell'energia cinetica afferma che il lavoro totale WWW compiuto su un corpo è uguale alla variazione dell'energia cinetica \Delta KΔK\Delta K del corpo. La formula è espressa come:

W = \Delta K = K_f - K_i W=ΔK=Kf−Ki W = \Delta K = K_f - K_i

dove:

  • WWW è il lavoro totale (in joule, J),
  • K_fKfK_f è l'energia cinetica finale (in joule, J),
  • K_iKiK_i è l'energia cinetica iniziale (in joule, J).

L'energia cinetica KKK di un corpo di massa mmm che si muove con velocità vvv è data da:

K = \frac{1}{2} m v^2 K=12mv2 K = \frac{1}{2} m v^2

Esercizio 1: Calcolo della Variazione dell'Energia Cinetica

Dati

Un oggetto di massa m = 2 \, \text{kg}m=2 kgm = 2 \, \text{kg} passa da una velocità iniziale v_i = 3 \, \text{m/s}vi=3 m/sv_i = 3 \, \text{m/s} a una velocità finale v_f = 5 \, \text{m/s}vf=5 m/sv_f = 5 \, \text{m/s}.

Obiettivo

Calcola il lavoro WWW compiuto sull'oggetto.

Soluzione

Calcoliamo l'energia cinetica iniziale K_iKiK_i:

K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot (3 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9 \, \text{J} Ki=12mvi2=12⋅2 kg⋅(3 m/s)2=12⋅2⋅9=9 J K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot (3 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9 \, \text{J}

Calcoliamo l'energia cinetica finale K_fKfK_f:

K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot (5 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 = 25 \, \text{J} Kf=12mvf2=12⋅2 kg⋅(5 m/s)2=12⋅2⋅25=25 J K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot (5 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 = 25 \, \text{J}

Ora calcoliamo la variazione dell'energia cinetica:

\Delta K = K_f - K_i = 25 \, \text{J} - 9 \, \text{J} = 16 \, \text{J} ΔK=Kf−Ki=25 J−9 J=16 J \Delta K = K_f - K_i = 25 \, \text{J} - 9 \, \text{J} = 16 \, \text{J}

Quindi, il lavoro compiuto sull'oggetto è W = 16 \, \text{J}W=16 JW = 16 \, \text{J}.

Esercizio 2: Calcolo della Velocità Finale

Dati

Un oggetto di massa m = 4 \, \text{kg}m=4 kgm = 4 \, \text{kg} riceve un lavoro di W = 32 \, \text{J}W=32 JW = 32 \, \text{J} e parte da una velocità iniziale v_i = 2 \, \text{m/s}vi=2 m/sv_i = 2 \, \text{m/s}.

Obiettivo

Calcola la velocità finale v_fvfv_f dell'oggetto.

Soluzione

Calcoliamo l'energia cinetica iniziale K_iKiK_i:

K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \, \text{J} Ki=12mvi2=12⋅4 kg⋅(2 m/s)2=12⋅4⋅4=8 J K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \, \text{J}

Utilizziamo il teorema dell'energia cinetica:

W = \Delta K = K_f - K_i W=ΔK=Kf−Ki W = \Delta K = K_f - K_i

Sostituendo i valori:

32 \, \text{J} = K_f - 8 \, \text{J} \implies K_f = 32 \, \text{J} + 8 \, \text{J} = 40 \, \text{J} 32 J=Kf−8 J  ⟹  Kf=32 J+8 J=40 J 32 \, \text{J} = K_f - 8 \, \text{J} \implies K_f = 32 \, \text{J} + 8 \, \text{J} = 40 \, \text{J}

Ora calcoliamo la velocità finale v_fvfv_f:

K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 \implies 40 \, \text{J} = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{kg} \cdot v_f^2 Kf=12mvf2  ⟹  40 J=12⋅4 kg⋅vf2 K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 \implies 40 \, \text{J} = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{kg} \cdot v_f^2

Moltiplichiamo entrambi i lati per 2 per eliminare il frazionamento:

80 \, \text{J} = 4 \, \text{kg} \cdot v_f^2 80 J=4 kg⋅vf2 80 \, \text{J} = 4 \, \text{kg} \cdot v_f^2

Dividiamo entrambi i lati per 4 \, \text{kg}4 kg4 \, \text{kg}:

v_f^2 = \frac{80 \, \text{J}}{4 \, \text{kg}} = 20 \, \text{m}^2/\text{s}^2 vf2=80 J4 kg=20 m2/s2 v_f^2 = \frac{80 \, \text{J}}{4 \, \text{kg}} = 20 \, \text{m}^2/\text{s}^2

Ora prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati per trovare v_fvfv_f:

v_f = \sqrt{20 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \approx 4.47 \, \text{m/s} vf=20 m2/s2≈4.47 m/s v_f = \sqrt{20 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \approx 4.47 \, \text{m/s}

Quindi, la velocità finale dell'oggetto è v_f \approx 4.47 \, \text{m/s}vf≈4.47 m/sv_f \approx 4.47 \, \text{m/s}.

Esercizio 3: Calcolo della Massa da Lavoro e Variazione di Velocità

Dati

Un oggetto riceve un lavoro di W = 50 \, \text{J}W=50 JW = 50 \, \text{J} e la sua velocità aumenta da v_i = 1 \, \text{m/s}vi=1 m/sv_i = 1 \, \text{m/s} a v_f = 3 \, \text{m/s}vf=3 m/sv_f = 3 \, \text{m/s}.

Obiettivo

Calcola la massa mmm dell'oggetto.

Soluzione

Calcoliamo l'energia cinetica iniziale K_iKiK_i:

K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (1 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} m \cdot 1 = \frac{1}{2} m \, \text{J} Ki=12mvi2=12m(1 m/s)2=12m⋅1=12m J K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (1 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} m \cdot 1 = \frac{1}{2} m \, \text{J}

Calcoliamo l'energia cinetica finale K_fKfK_f:

K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (3 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} m \cdot 9 = \frac{9}{2} m \, \text{J} Kf=12mvf2=12m(3 m/s)2=12m⋅9=92m J K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (3 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} m \cdot 9 = \frac{9}{2} m \, \text{J}

Utilizziamo il teorema dell'energia cinetica:

W = \Delta K = K_f - K_i W=ΔK=Kf−Ki W = \Delta K = K_f - K_i

Sostituendo i valori:

50 \, \text{J} = \frac{9}{2} m - \frac{1}{2} m 50 J=92m−12m 50 \, \text{J} = \frac{9}{2} m - \frac{1}{2} m

Semplificando l'equazione:

50 \, \text{J} = \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) m = \frac{8}{2} m = 4m 50 J=(92−12)m=82m=4m 50 \, \text{J} = \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) m = \frac{8}{2} m = 4m

Ora risolviamo per mmm:

m = \frac{50 \, \text{J}}{4} = 12.5 \, \text{kg} m=50 J4=12.5 kg m = \frac{50 \, \text{J}}{4} = 12.5 \, \text{kg}

Quindi, la massa dell'oggetto è m = 12.5 \, \text{kg}m=12.5 kgm = 12.5 \, \text{kg}.

English version

Kinetic Energy Theorem Exercises

Key Concepts

The kinetic energy theorem states that the total work WWW done on a body is equal to the change in the kinetic energy \Delta KΔK\Delta K of the body. The formula is expressed as:

W = \Delta K = K_f - K_i W=ΔK=Kf−Ki W = \Delta K = K_f - K_i

where:

  • WWW is the total work (in joules, J),
  • K_fKfK_f is the final kinetic energy (in joules, J),
  • K_iKiK_i is the initial kinetic energy (in joules, J).

The kinetic energy KKK of a body of mass mmm moving with velocity vvv is given by:

K = \frac{1}{2} m v^2 K=12mv2 K = \frac{1}{2} m v^2

Exercise 1: Calculating the Change in Kinetic Energy

Data

An object of mass m = 2 \, \text{kg}m=2 kgm = 2 \, \text{kg} goes from an initial velocity v_i = 3 \, \text{m/s}vi=3 m/sv_i = 3 \, \text{m/s} to a final velocity v_f = 5 \, \text{m/s}vf=5 m/sv_f = 5 \, \text{m/s}.

Objective

Calculate the work WWW done on the object.

Solution

We calculate the initial kinetic energy K_iKiK_i:
K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot (3 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9 \, \text{J}Ki=12mvi2=12⋅2 kg⋅(3 m/s)2=12⋅2⋅9=9 JK_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot (3 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9 \, \text{J}
We calculate the final kinetic energy K_fKfK_f:
K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot (5 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 = 25 \, \text{J}Kf=12mvf2=12⋅2 kg⋅(5 m/s)2=12⋅2⋅25=25 JK_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot (5 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 = 25 \, \text{J}
Now let's calculate the change in kinetic energy:

\Delta K = K_f - K_i = 25 \, \text{J} - 9 \, \text{J} = 16 \, \text{J} ΔK=Kf−Ki=25 J−9 J=16 J \Delta K = K_f - K_i = 25 \, \text{J} - 9 \, \text{J} = 16 \, \text{J}

Therefore, the work done on the object is W = 16 \, \text{J}W=16 JW = 16 \, \text{J}.

Exercise 2: Calculating the Final Velocity

Data

An object of mass m = 4 \, \text{kg}m=4 kgm = 4 \, \text{kg} receives a work of W = 32 \, \text{J}W=32 JW = 32 \, \text{J} and starts from an initial velocity v_i = 2 \, \text{m/s}vi=2 m/sv_i = 2 \, \text{m/s}.

Objective

Calculate the final velocity v_fvfv_f of the object.

Solution

Let's calculate the initial kinetic energy K_iKiK_i:

K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \, \text{J} Ki=12mvi2=12⋅4 kg⋅(2 m/s)2=12⋅4⋅4=8 J K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \, \text{J}

Let's use the kinetic energy theorem:

W = \Delta K = K_f - K_i W=ΔK=Kf−Ki W = \Delta K = K_f - K_i

Substituting the values:

32 \, \text{J} = K_f - 8 \, \text{J} \implies K_f = 32 \, \text{J} + 8 \, \text{J} = 40 \, \text{J} 32 J=Kf−8 J  ⟹  Kf=32 J+8 J=40 J 32 \, \text{J} = K_f - 8 \, \text{J} \implies K_f = 32 \, \text{J} + 8 \, \text{J} = 40 \, \text{J}

Now let's calculate the final velocity v_fvfv_f:

K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 \implies 40 \, \text{J} = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{kg} \cdot v_f^2 Kf=12mvf2  ⟹  40 J=12⋅4 kg⋅vf2 K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 \implies 40 \, \text{J} = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{kg} \cdot v_f^2

We multiply both sides by 2 to eliminate the fractionation:

80 \, \text{J} = 4 \, \text{kg} \cdot v_f^2 80 J=4 kg⋅vf2 80 \, \text{J} = 4 \, \text{kg} \cdot v_f^2

We divide both sides by 4 \, \text{kg}4 kg4 \, \text{kg}:

v_f^2 = \frac{80 \, \text{J}}{4 \, \text{kg}} = 20 \, \text{m}^2/\text{s}^2 vf2=80 J4 kg=20 m2/s2 v_f^2 = \frac{80 \, \text{J}}{4 \, \text{kg}} = 20 \, \text{m}^2/\text{s}^2

Now we take the square root of both sides to find v_fvfv_f:

v_f = \sqrt{20 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \approx 4.47 \, \text{m/s} vf=20 m2/s2≈4.47 m/s v_f = \sqrt{20 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \approx 4.47 \, \text{m/s}

So, the final velocity of the object is v_f \approx 4.47 \, \text{m/s}vf≈4.47 m/sv_f \approx 4.47 \, \text{m/s}.

Exercise 3: Calculating the Work Mass and Velocity Change

Data

An object receives a work of W = 50 \, \text{J}W=50 JW = 50 \, \text{J} and its velocity increases from v_i = 1 \, \text{m/s}vi=1 m/sv_i = 1 \, \text{m/s} to v_f = 3 \, \text{m/s}vf=3 m/sv_f = 3 \, \text{m/s}.

Objective

Calculate the mass mmm of the object.

Solution

Let's calculate the initial kinetic energy K_iKiK_i:

K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (1 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} m \cdot 1 = \frac{1}{2} m \, \text{J} Ki=12mvi2=12m(1 m/s)2=12m⋅1=12m J K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (1 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} m \cdot 1 = \frac{1}{2} m \, \text{J}

Let's calculate the final kinetic energy K_fKfK_f:

K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (3 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} m \cdot 9 = \frac{9}{2} m \, \text{J} Kf=12mvf2=12m(3 m/s)2=12m⋅9=92m J K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (3 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} m \cdot 9 = \frac{9}{2} m \, \text{J}

Let's use the kinetic energy theorem:

W = \Delta K = K_f - K_i W=ΔK=Kf−Ki W = \Delta K = K_f - K_i

Substituting the values:

50 \, \text{J} = \frac{9}{2} m - \frac{1}{2} m 50 J=92m−12m 50 \, \text{J} = \frac{9}{2} m - \frac{1}{2} m

Simplifying the equation:

50 \, \text{J} = \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) m = \frac{8}{2} m = 4m 50 J=(92−12)m=82m=4m 50 \, \text{J} = \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) m = \frac{8}{2} m = 4m

Now let's solve for mmm:

m = \frac{50 \, \text{J}}{4} = 12.5 \, \text{kg} m=50 J4=12.5 kg m = \frac{50 \, \text{J}}{4} = 12.5 \, \text{kg}

So, the mass of the object is m = 12.5 \, \text{kg}m=12.5 kgm = 12.5 \, \text{kg}.

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