Esercizi sul Teorema dei Lavori Virtuali

Esercizi sul Teorema dei Lavori Virtuali

Esercizi sul Teorema dei Lavori Virtuali

Versione italiana

Esercizi sul Teorema dei Lavori Virtuali

Concetti Chiave

Il teorema dei lavori virtuali afferma che, in un sistema meccanico in equilibrio, il lavoro virtuale compiuto da tutte le forze attive durante una piccola deformazione virtuale è uguale a zero. Questo teorema è utile per analizzare sistemi meccanici e determinare le condizioni di equilibrio.

Formula del Lavoro Virtuale

Il lavoro virtuale \delta W$\delta W$ compiuto da una forza F$F$ durante uno spostamento virtuale \delta x$\delta x$ è dato da:

\delta W = F \cdot \delta x $\delta W = F \cdot \delta x$

In un sistema in equilibrio, la somma dei lavori virtuali delle forze attive è zero:

\sum \delta W = 0 $\sum \delta W = 0$

Esercizio 1: Lavoro Virtuale di una Forza

Dati

Un blocco di massa m = 5 \, \text{kg}$m = 5 \, \text{kg}$ è soggetto a una forza F = 20 \, \text{N}$F = 20 \, \text{N}$ che agisce orizzontalmente. Si considera uno spostamento virtuale \delta x = 0.1 \, \text{m}$\delta x = 0.1 \, \text{m}$.

Obiettivo

Calcola il lavoro virtuale \delta W$\delta W$ compiuto dalla forza F$F$.

Soluzione

Utilizziamo la formula del lavoro virtuale:

\delta W = F \cdot \delta x $\delta W = F \cdot \delta x$

Sostituendo i valori:

\delta W = 20 \, \text{N} \cdot 0.1 \, \text{m} = 2 \, \text{J} $\delta W = 20 \, \text{N} \cdot 0.1 \, \text{m} = 2 \, \text{J}$

Quindi, il lavoro virtuale compiuto dalla forza è \delta W = 2 \, \text{J}$\delta W = 2 \, \text{J}$.

Esercizio 2: Equilibrio di un Sistema

Dati

Un sistema è composto da due masse m_1 = 3 \, \text{kg}$m_1 = 3 \, \text{kg}$ e m_2 = 2 \, \text{kg}$m_2 = 2 \, \text{kg}$ collegate da una corda. La massa m_1$m_1$ è appesa verticalmente e la massa m_2$m_2$ si trova su un piano orizzontale. Si considera uno spostamento virtuale \delta x = 0.05 \, \text{m}$\delta x = 0.05 \, \text{m}$ per m_2$m_2$.

Obiettivo

Calcola il lavoro virtuale totale \delta W$\delta W$ sul sistema.

Soluzione

Il lavoro virtuale compiuto dalla forza peso m_1$m_1$ è dato da:

\delta W_1 = m_1 \cdot g \cdot \delta h $\delta W_1 = m_1 \cdot g \cdot \delta h$

dove \delta h = \delta x$\delta h = \delta x$ (poiché il sistema è in equilibrio e il movimento di m_1$m_1$ è uguale a quello di m_2$m_2$).

Calcoliamo \delta W_1$\delta W_1$:

\delta W_1 = 3 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.05 \, \text{m} = 1.4715 \, \text{J} $\delta W_1 = 3 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.05 \, \text{m} = 1.4715 \, \text{J}$

Il lavoro virtuale compiuto dalla forza di attrito F_a$F_a$ su m_2$m_2$ è:

\delta W_2 = -F_a \cdot \delta x $\delta W_2 = -F_a \cdot \delta x$

Assumiamo che la forza di attrito sia F_a = 1 \, \text{N}$F_a = 1 \, \text{N}$:

\delta W_2 = -1 \, \text{N} \cdot 0.05 \, \text{m} = -0.05 \, \text{J} $\delta W_2 = -1 \, \text{N} \cdot 0.05 \, \text{m} = -0.05 \, \text{J}$

Ora calcoliamo il lavoro virtuale totale:

\delta W_{totale} = \delta W_1 + \delta W_2 = 1.4715 \, \text{J} - 0.05 \, \text{J} = 1.4215 \, \text{J} $\delta W_{totale} = \delta W_1 + \delta W_2 = 1.4715 \, \text{J} - 0.05 \, \text{J} = 1.4215 \, \text{J}$

Quindi, il lavoro virtuale totale sul sistema è \delta W_{totale} = 1.4215 \, \text{J}$\delta W_{totale} = 1.4215 \, \text{J}$.

English version

Virtual Work Theorem Exercises

Key Concepts

The virtual work theorem states that, in a mechanical system in equilibrium, the virtual work done by all the active forces during a small virtual deformation is equal to zero. This theorem is useful for analyzing mechanical systems and determining equilibrium conditions.

Virtual Work Formula

The virtual work \delta W$\delta W$ done by a force F$F$ during a virtual displacement \delta x$\delta x$ is given by:

\delta W = F \cdot \delta x $\delta W = F \cdot \delta x$

In a system in equilibrium, the sum of the virtual work done by the active forces is zero:

\sum \delta W = 0 $\sum \delta W = 0$

Exercise 1: Virtual Work of a Force

Data

A block of mass m = 5 \, \text{kg}$m = 5 \, \text{kg}$ is subjected to a force F = 20 \, \text{N}$F = 20 \, \text{N}$ that acts horizontally. Consider a virtual displacement \delta x = 0.1 \, \text{m}$\delta x = 0.1 \, \text{m}$.

Objective

Calculate the virtual work \delta W$\delta W$ done by the force F$F$.

Solution

We use the formula for virtual work:

\delta W = F \cdot \delta x $\delta W = F \cdot \delta x$

Substituting the values:

\delta W = 20 \, \text{N} \cdot 0.1 \, \text{m} = 2 \, \text{J} $\delta W = 20 \, \text{N} \cdot 0.1 \, \text{m} = 2 \, \text{J}$

Therefore, the virtual work done by the force is \delta W = 2 \, \text{J}$\delta W = 2 \, \text{J}$.

Exercise 2: Equilibrium of a System

Data

A system is composed of two masses m_1 = 3 \, \text{kg}$m_1 = 3 \, \text{kg}$ and m_2 = 2 \, \text{kg}$m_2 = 2 \, \text{kg}$ connected by a string. The mass m_1$m_1$ is hanging vertically and the mass m_2$m_2$ is on a horizontal plane. A virtual displacement \delta x = 0.05 \, \text{m}$\delta x = 0.05 \, \text{m}$ is considered for m_2$m_2$.

Objective

Calculate the total virtual work \delta W$\delta W$ on the system.

Solution

The virtual work done by the weight force m_1$m_1$ is given by:

\delta W_1 = m_1 \cdot g \cdot \delta h $\delta W_1 = m_1 \cdot g \cdot \delta h$

where \delta h = \delta x$\delta h = \delta x$ (since the system is in equilibrium and the motion of m_1$m_1$ is equal to that of m_2$m_2$).

Let's calculate \delta W_1$\delta W_1$:

\delta W_1 = 3 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.05 \, \text{m} = 1.4715 \, \text{J} $\delta W_1 = 3 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.05 \, \text{m} = 1.4715 \, \text{J}$

The virtual work done by the friction force F_a$F_a$ on m_2$m_2$ is:

\delta W_2 = -F_a \cdot \delta x $\delta W_2 = -F_a \cdot \delta x$

Let's assume that the friction force is F_a = 1 \, \text{N}$F_a = 1 \, \text{N}$:

\delta W_2 = -1 \, \text{N} \cdot 0.05 \, \text{m} = -0.05 \, \text{J} $\delta W_2 = -1 \, \text{N} \cdot 0.05 \, \text{m} = -0.05 \, \text{J}$

Now let's calculate the total virtual work:

\delta W_{total} = \delta W_1 + \delta W_2 = 1.4715 \, \text{J} - 0.05 \, \text{J} = 1.4215 \, \text{J} $\delta W_{total} = \delta W_1 + \delta W_2 = 1.4715 \, \text{J} - 0.05 \, \text{J} = 1.4215 \, \text{J}$

So, the total virtual work on the system is \delta W_{total} = 1.4215 \, \text{J}$\delta W_{total} = 1.4215 \, \text{J}$.