Esercizi sul Momento Torcente

Esercizi sul Momento Torcente

Esercizi sul Momento Torcente

Versione italiana

Esercizi sul Momento Torcente

Concetti Chiave

1. Momento Torcente: Il momento torcente (o momento torcentale) è una misura della tendenza di una forza a far ruotare un corpo attorno a un punto o a un asse. È definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la forza applicata:

   \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$

   dove:

   • \vec{M}$\vec{M}$ è il momento torcente,
   • \vec{r}$\vec{r}$ è il vettore posizione dal punto di rotazione alla linea d'azione della forza,
   • \vec{F}$\vec{F}$ è la forza applicata.

2. Unità di Misura: L'unità di misura del momento torcente nel Sistema Internazionale è il newton-metro (N·m).

3. Direzione del Momento Torcente: La direzione del momento torcente è determinata dalla regola della mano destra: se le dita della mano destra seguono la direzione della forza, il pollice indica la direzione del momento torcente.

4. Condizione di Equilibrio: Un corpo è in equilibrio rotazionale se la somma dei momenti torcentali che agiscono su di esso è zero:

   \sum \vec{M} = 0 $\sum \vec{M} = 0$

Esercizio 1: Calcolo del Momento Torcente

Problema: Una forza di F = 10 \, \text{N}$F = 10 \, \text{N}$ è applicata a una distanza di d = 0.4 \, \text{m}$d = 0.4 \, \text{m}$ dal punto di rotazione. Calcola il momento torcente.

Soluzione:

1. Il momento torcente è dato dalla formula:

   M = F \cdot d $M = F \cdot d$

2. Sostituendo i valori:

   M = 10 \, \text{N} \cdot 0.4 \, \text{m} = 4 \, \text{N} \cdot \text{m} $M = 10 \, \text{N} \cdot 0.4 \, \text{m} = 4 \, \text{N} \cdot \text{m}$

Quindi, il momento torcente è 4 \, \text{N} \cdot \text{m}$4 \, \text{N} \cdot \text{m}$.

Esercizio 2: Momento Torcente con Vettori

Problema: Un corpo rigido ha un vettore posizione \vec{r} = (2, 3, 0) \, \text{m}$\vec{r} = (2, 3, 0) \, \text{m}$ e una forza applicata \vec{F} = (4, -1, 0) \, \text{N}$\vec{F} = (4, -1, 0) \, \text{N}$. Calcola il momento torcente.

Soluzione:

1. Calcoliamo il momento torcente usando il prodotto vettoriale:

   \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \end{vmatrix} $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

2. Calcoliamo il determinante:

   \vec{M} = \hat{i}(3 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) - \hat{j}(2 \cdot 0 - 0 \cdot 4) + \hat{k}(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 4) $\vec{M} = \hat{i}(3 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) - \hat{j}(2 \cdot 0 - 0 \cdot 4) + \hat{k}(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 4)$

   Semplificando:

   \vec{M} = 0\hat{i} - 0\hat{j} + \hat{k}(-2 - 12) = -14\hat{k} \, \text{N} \cdot \text{m} $\vec{M} = 0\hat{i} - 0\hat{j} + \hat{k}(-2 - 12) = -14\hat{k} \, \text{N} \cdot \text{m}$

Quindi, il momento torcente è \vec{M} = -14 \hat{k} \, \text{N} \cdot \text{m}$\vec{M} = -14 \hat{k} \, \text{N} \cdot \text{m}$.

Esercizio 3: Equilibrio Rotazionale

Problema: Un trave orizzontale di lunghezza L = 3 \, \text{m}$L = 3 \, \text{m}$ ha un carico di P = 30 \, \text{N}$P = 30 \, \text{N}$ posizionato a 1 \, \text{m}$1 \, \text{m}$ da un'estremità. Calcola la reazione nel supporto opposto se il trave è in equilibrio.

Soluzione:

1. Denotiamo la reazione nel supporto opposto come R$R$.

2. Calcoliamo il momento torcentale rispetto al supporto più vicino al carico. La somma dei momenti torcentali deve essere zero per il corpo in equilibrio:

\sum M = 0 $\sum M = 0$

3. Calcoliamo il momento torcentale generato dal carico P$P$ rispetto al supporto:

M_P = P \cdot d = 30 \, \text{N} \cdot 1 \, \text{m} = 30 \, \text{N} \cdot \text{m} $M_P = P \cdot d = 30 \, \text{N} \cdot 1 \, \text{m} = 30 \, \text{N} \cdot \text{m}$

4. Il momento torcentale generato dalla reazione R$R$ rispetto al supporto è:

M_R = R \cdot L = R \cdot 3 \, \text{m} $M_R = R \cdot L = R \cdot 3 \, \text{m}$

5. Poiché il trave è in equilibrio, abbiamo:

M_R - M_P = 0 \implies R \cdot 3 - 30 = 0 $M_R - M_P = 0 \implies R \cdot 3 - 30 = 0$

6. Risolvendo per R$R$:

R \cdot 3 = 30 \implies R = \frac{30}{3} = 10 \, \text{N} $R \cdot 3 = 30 \implies R = \frac{30}{3} = 10 \, \text{N}$

Quindi, la reazione nel supporto opposto è R = 10 \, \text{N}$R = 10 \, \text{N}$.

English version

Torque Exercises

Key Concepts

1. Torque: Torque (or torque) is a measure of the tendency of a force to rotate a body about a point or axis. It is defined as the vector product of the position vector and the applied force:

\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$

where:

• \vec{M}$\vec{M}$ is the torque,
• \vec{r}$\vec{r}$ is the position vector from the point of rotation to the line of action of the force,
• \vec{F}$\vec{F}$ is the applied force.

2. Units of Measurement: The SI unit of torque is the newton-meter (N m).

3. Direction of Torque: The direction of torque is determined by the right-hand rule: if the fingers of the right hand follow the direction of the force, the thumb indicates the direction of the torque.

4. Equilibrium Condition: A body is in rotational equilibrium if the sum of the torques acting on it is zero:

\sum \vec{M} = 0 $\sum \vec{M} = 0$

Exercise 1: Calculating Torque

Problem: A force of F = 10 \, \text{N}$F = 10 \, \text{N}$ is applied at a distance of d = 0.4 \, \text{m}$d = 0.4 \, \text{m}$ from the point of rotation. Calculate the torque.

Solution:

1. The torque is given by the formula:

M = F \cdot d $M = F \cdot d$

2. Substituting the values:

M = 10 \, \text{N} \cdot 0.4 \, \text{m} = 4 \, \text{N} \cdot \text{m} $M = 10 \, \text{N} \cdot 0.4 \, \text{m} = 4 \, \text{N} \cdot \text{m}$

So, the torque is 4 \, \text{N} \cdot \text{m}$4 \, \text{N} \cdot \text{m}$.

Exercise 2: Torque with Vectors

Problem: A rigid body has a position vector \vec{r} = (2, 3, 0) \, \text{m}$\vec{r} = (2, 3, 0) \, \text{m}$ and an applied force \vec{F} = (4, -1, 0) \, \text{N}$\vec{F} = (4, -1, 0) \, \text{N}$. Calculate the torque.

Solution:

1. Let's calculate the torque using the vector product:

\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \end{vmatrix} $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

2. Let's calculate the determinant:

\vec{M} = \hat{i}(3 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) - \hat{j}(2 \cdot 0 - 0 \cdot 4) + \hat{k}(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 4) $\vec{M} = \hat{i}(3 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) - \hat{j}(2 \cdot 0 - 0 \cdot 4) + \hat{k}(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 4)$

Simplifying:

\vec{M} = 0\hat{i} - 0\hat{j} + \hat{k}(-2 - 12) = -14\hat{k} \, \text{N} \cdot \text{m} $\vec{M} = 0\hat{i} - 0\hat{j} + \hat{k}(-2 - 12) = -14\hat{k} \, \text{N} \cdot \text{m}$

So, the torque is \vec{M} = -14 \hat{k} \, \text{N} \cdot \text{m}$\vec{M} = -14 \hat{k} \, \text{N} \cdot \text{m}$.

Exercise 3: Rotational Equilibrium

Problem: A horizontal beam of length L = 3 \, \text{m}$L = 3 \, \text{m}$ has a load of P = 30 \, \text{N}$P = 30 \, \text{N}$ positioned 1 \, \text{m}$1 \, \text{m}$ from one end. Find the reaction at the opposite support if the beam is in equilibrium.

Solution:

1. Denote the reaction at the opposite support as R$R$.

2. Find the torque about the support closest to the load. The sum of the torques must be zero for the body in equilibrium:

\sum M = 0 $\sum M = 0$

3. Let's calculate the torque generated by the load P$P$ with respect to the support:

M_P = P \cdot d = 30 \, \text{N} \cdot 1 \, \text{m} = 30 \, \text{N} \cdot \text{m} $M_P = P \cdot d = 30 \, \text{N} \cdot 1 \, \text{m} = 30 \, \text{N} \cdot \text{m}$

4. The torque generated by the reaction R$R$ with respect to the support is:

M_R = R \cdot L = R \cdot 3 \, \text{m} $M_R = R \cdot L = R \cdot 3 \, \text{m}$

5. Since the beam is in equilibrium, we have:

M_R - M_P = 0 \implies R \cdot 3 - 30 = 0 $M_R - M_P = 0 \implies R \cdot 3 - 30 = 0$

6. Solving for R$R$:

R \cdot 3 = 30 \implies R = \frac{30}{3} = 10 \, \text{N} $R \cdot 3 = 30 \implies R = \frac{30}{3} = 10 \, \text{N}$

So, the reaction in the opposite support is R = 10 \, \text{N}$R = 10 \, \text{N}$.