Esercizi sul Modulo di Young

Esercizi sul Modulo di Young

Esercizi sul Modulo di Young

Versione italiana

Esercizi sul Modulo di Young

Il modulo di Young è una misura della rigidità di un materiale. Esso rappresenta il rapporto tra stress (tensione) e strain (deformazione) in un materiale elastico, ed è fondamentale per comprendere il comportamento meccanico dei materiali sotto carico.

Concetti Chiave

• Definizione: Il modulo di Young E$E$ è definito come:

  E = \frac{\sigma}{\epsilon}

  $$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

  dove:

  • \sigma$\sigma$ è lo stress, calcolato come forza per unità di area (\sigma = \frac{F}{A}$\sigma = \frac{F}{A}$).
  • \epsilon$\epsilon$ è lo strain, che rappresenta la deformazione relativa (\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$), con \Delta L$\Delta L$ che è la variazione di lunghezza e L_0$L_0$ la lunghezza originale.

• Unità di misura: Il modulo di Young si misura in Pascal (Pa) nel Sistema Internazionale, ma può anche essere espresso in N/m² o GPa (gigapascal).

• Materiali elastici: Il modulo di Young è applicabile a materiali che seguono la legge di Hooke, ovvero che si deformano in modo elastico fino a un certo limite.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo del Modulo di Young

Problema: Un'asta di acciaio di lunghezza originale L_0 = 2 \, \text{m}$L_0 = 2 \, \text{m}$ e area della sezione trasversale A = 0.01 \, \text{m}^2$A = 0.01 \, \text{m}^2$ viene sottoposta a una forza F = 10,000 \, \text{N}$F = 10,000 \, \text{N}$. Se l'asta si allunga di \Delta L = 0.002 \, \text{m}$\Delta L = 0.002 \, \text{m}$, calcola il modulo di Young dell'acciaio.

Soluzione:

1. Calcola lo stress:

   \sigma = \frac{F}{A} = \frac{10,000 \, \text{N}}{0.01 \, \text{m}^2} = 1,000,000 \, \text{Pa}

   $$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{10,000 \, \text{N}}{0.01 \, \text{m}^2} = 1,000,000 \, \text{Pa}$$

2. Calcola lo strain:

   \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{0.002 \, \text{m}}{2 \, \text{m}} = 0.001

   $$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{0.002 \, \text{m}}{2 \, \text{m}} = 0.001$$

3. Calcola il modulo di Young:

   E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{1,000,000 \, \text{Pa}}{0.001} = 1,000,000,000 \, \text{Pa} = 1 \, \text{GPa}

   $$E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{1,000,000 \, \text{Pa}}{0.001} = 1,000,000,000 \, \text{Pa} = 1 \, \text{GPa}$$

Esercizio 2: Deformazione di un Materiale

Problema: Un filo di rame con un modulo di Young di E = 110 \, \text{GPa}$E = 110 \, \text{GPa}$ ha una lunghezza originale di 3 \, \text{m}$3 \, \text{m}$ e un'area della sezione trasversale di 0.005 \, \text{m}^2$0.005 \, \text{m}^2$. Se viene applicata una forza di 15,000 \, \text{N}$15,000 \, \text{N}$, calcola l'allungamento \Delta L$\Delta L$ del filo.

Soluzione:

1. Calcola lo stress:

   \sigma = \frac{F}{A} = \frac{15,000 \, \text{N}}{0.005 \, \text{m}^2} = 3,000,000,000 \, \text{Pa} = 3 \, \text{GPa}

   $$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{15,000 \, \text{N}}{0.005 \, \text{m}^2} = 3,000,000,000 \, \text{Pa} = 3 \, \text{GPa}$$

2. Calcola lo strain usando il modulo di Young:

   \epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{3 \, \text{GPa}}{110 \, \text{GPa}} = 0.02727

   $$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{3 \, \text{GPa}}{110 \, \text{GPa}} = 0.02727$$

3. Calcola l'allungamento \Delta L$\Delta L$:

   \Delta L = \epsilon \cdot L_0 = 0.02727 \cdot 3 \, \text{m} = 0.08181 \, \text{m} \approx 0.082 \, \text{m}

   $$\Delta L = \epsilon \cdot L_0 = 0.02727 \cdot 3 \, \text{m} = 0.08181 \, \text{m} \approx 0.082 \, \text{m}$$

English version

Young's Modulus Exercises

Young's modulus is a measure of the stiffness of a material. It represents the ratio of stress (tension) to strain (deformation) in an elastic material, and is fundamental to understanding the mechanical behavior of materials under load.

Key Concepts

• Definition: Young's modulus E$E$ is defined as:

E = \frac{\sigma}{\epsilon}

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

where:

• \sigma$\sigma$ is the stress, calculated as force per unit area (\sigma = \frac{F}{A}$\sigma = \frac{F}{A}$).

• \epsilon$\epsilon$ is the strain, which represents the relative deformation (\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$), with \Delta L$\Delta L$ being the change in length and L_0$L_0$ being the original length.

• Units: Young's modulus is measured in Pascal (Pa) in the International System, but can also be expressed in N/m² or GPa (gigapascals).

• Elastic materials: Young's modulus is applicable to materials that follow Hooke's law, that is, that deform elastically up to a certain limit.

Exercises

Exercise 1: Calculating Young's Modulus

Problem: A steel rod of original length L_0 = 2 \, \text{m}$L_0 = 2 \, \text{m}$ and cross-sectional area A = 0.01 \, \text{m}^2$A = 0.01 \, \text{m}^2$ is subjected to a force F = 10,000 \, \text{N}$F = 10,000 \, \text{N}$. If the rod is lengthened by \Delta L = 0.002 \, \text{m}$\Delta L = 0.002 \, \text{m}$, calculate the Young's modulus of the steel.

Solution:

1. Calculate the stress:

\sigma = \frac{F}{A} = \frac{10,000 \, \text{N}}{0.01 \, \text{m}^2} = 1,000,000 \, \text{Pa}

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{10,000 \, \text{N}}{0.01 \, \text{m}^2} = 1,000,000 \, \text{Pa}$$

2. Calculate the strain:

\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{0.002 \, \text{m}}{2 \, \text{m}} = 0.001

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{0.002 \, \text{m}}{2 \, \text{m}} = 0.001$$

3. Calculate the Young's modulus:

E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{1,000,000 \, \text{Pa}}{0.001} = 1,000,000,000 \, \text{Pa} = 1 \, \text{GPa}

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{1,000,000 \, \text{Pa}}{0.001} = 1,000,000,000 \, \text{Pa} = 1 \, \text{GPa}$$

Exercise 2: Deformation of a Material

Problem: A copper wire with a Young's modulus of E = 110 \, \text{GPa}$E = 110 \, \text{GPa}$ has an original length of 3 \, \text{m}$3 \, \text{m}$ and a cross-sectional area of ​​0.005 \, \text{m}^2$0.005 \, \text{m}^2$. If a force of 15,000 \, \text{N}$15,000 \, \text{N}$ is applied, calculate the elongation \Delta L$\Delta L$ of the wire.

Solution:

1. Calculate the stress:

\sigma = \frac{F}{A} = \frac{15,000 \, \text{N}}{0.005 \, \text{m}^2} = 3,000,000,000 \, \text{Pa} = 3 \, \text{GPa}

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{15,000 \, \text{N}}{0.005 \, \text{m}^2} = 3,000,000,000 \, \text{Pa} = 3 \, \text{GPa}$$

2. Calculate the strain using Young's modulus:

\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{3 \, \text{GPa}}{110 \, \text{GPa}} = 0.02727

$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{3 \, \text{GPa}}{110 \, \text{GPa}} = 0.02727$$

3. Calculate the elongation \Delta L$\Delta L$:

\Delta L = \epsilon \cdot L_0 = 0.02727 \cdot 3 \, \text{m} = 0.08181 \, \text{m} \approx 0.082 \, \text{m}

$$\Delta L = \epsilon \cdot L_0 = 0.02727 \cdot 3 \, \text{m} = 0.08181 \, \text{m} \approx 0.082 \, \text{m}$$