Esercizi sul Lavoro di un Sistema Rigido

Esercizi sul Lavoro di un Sistema Rigido

Esercizi sul Lavoro di un Sistema Rigido

Versione italiana

Esercizi sul Lavoro di un Sistema Rigido

Concetti Chiave

1. Lavoro: Il lavoro (W$W$) è definito come l'energia trasferita da una forza che agisce su un corpo mentre questo si sposta. È calcolato come il prodotto della forza applicata e la distanza percorsa nella direzione della forza:

   W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos(\theta) $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos(\theta)$

   dove:

   • W$W$ è il lavoro,
   • \vec{F}$\vec{F}$ è la forza applicata,
   • \vec{d}$\vec{d}$ è lo spostamento,
   • \theta$\theta$ è l'angolo tra la forza e la direzione dello spostamento.

2. Lavoro di una Forza Costante: Se la forza è costante e agisce lungo la direzione dello spostamento, il lavoro può essere semplificato a:

   W = F d $W = F d$

3. Lavoro e Energia: Il lavoro compiuto su un sistema rigido è uguale alla variazione dell'energia cinetica del sistema, secondo il teorema del lavoro e dell'energia:

   W = \Delta K = K_f - K_i $W = \Delta K = K_f - K_i$

   dove K_f$K_f$ è l'energia cinetica finale e K_i$K_i$ è l'energia cinetica iniziale.

Esercizio 1: Calcolo del Lavoro Eseguito da una Forza Costante

Problema: Una forza di F = 50 \, \text{N}$F = 50 \, \text{N}$ viene applicata a un corpo che si sposta di d = 3 \, \text{m}$d = 3 \, \text{m}$ nella direzione della forza. Calcola il lavoro eseguito dalla forza.

Soluzione:

1. Poiché la forza è costante e agisce nella direzione dello spostamento, possiamo usare la formula semplificata:

   W = F d $W = F d$

2. Sostituendo i valori:

   W = 50 \, \text{N} \cdot 3 \, \text{m} = 150 \, \text{J} $W = 50 \, \text{N} \cdot 3 \, \text{m} = 150 \, \text{J}$

Quindi, il lavoro eseguito dalla forza è 150 \, \text{J}$150 \, \text{J}$.

Esercizio 2: Calcolo del Lavoro con Angolo

Problema: Una forza di F = 100 \, \text{N}$F = 100 \, \text{N}$ viene applicata a un corpo che si sposta di d = 4 \, \text{m}$d = 4 \, \text{m}$ formando un angolo di \theta = 30^\circ$\theta = 30^\circ$ con la direzione dello spostamento. Calcola il lavoro eseguito dalla forza.

Soluzione:

1. Utilizziamo la formula generale per il lavoro:

   W = F d \cos(\theta) $W = F d \cos(\theta)$

2. Sostituendo i valori:

   W = 100 \, \text{N} \cdot 4 \, \text{m} \cdot \cos(30^\circ) $W = 100 \, \text{N} \cdot 4 \, \text{m} \cdot \cos(30^\circ)$

3. Calcoliamo \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

   W = 100 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3} \, \text{J} \approx 346.41 \, \text{J} $W = 100 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3} \, \text{J} \approx 346.41 \, \text{J}$

Quindi, il lavoro eseguito dalla forza è circa 346.41 \, \text{J}$346.41 \, \text{J}$.

Esercizio 3: Lavoro e Variazione dell'Energia Cinetica

Problema: Un corpo rigido di massa m = 10 \, \text{kg}$m = 10 \, \text{kg}$ passa da una velocità iniziale di v_i = 2 \, \text{m/s}$v_i = 2 \, \text{m/s}$ a una velocità finale di v_f = 6 \, \text{m/s}$v_f = 6 \, \text{m/s}$. Calcola il lavoro eseguito sul corpo.

Soluzione:

1. Calcoliamo l'energia cinetica iniziale e finale:

   • Energia cinetica iniziale:

   K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot 4 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 20 \, \text{J}

   $$K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot 4 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 20 \, \text{J}$$
   • Energia cinetica finale:

   K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (6 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot 36 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 180 \, \text{J}

   $$K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (6 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot 36 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 180 \, \text{J}$$

2. Calcoliamo la variazione dell'energia cinetica:

   \Delta K = K_f - K_i = 180 \, \text{J} - 20 \, \text{J} = 160 \, \text{J}

   $$\Delta K = K_f - K_i = 180 \, \text{J} - 20 \, \text{J} = 160 \, \text{J}$$

3. Il lavoro eseguito sul corpo è uguale alla variazione dell'energia cinetica:

   W = \Delta K = 160 \, \text{J}

   $$W = \Delta K = 160 \, \text{J}$$

Risultato: Il lavoro eseguito sul corpo è W = 160 \, \text{J}$W = 160 \, \text{J}$.

English version

Exercises on the Work of a Rigid System

Key Concepts

1. Work: Work (W$W$) is defined as the energy transferred by a force acting on a body as it moves. It is calculated as the product of the applied force and the distance traveled in the direction of the force:

W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos(\theta) $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos(\theta)$

where:

• W$W$ is the work,
• \vec{F}$\vec{F}$ is the applied force,
• \vec{d}$\vec{d}$ is the displacement,
• \theta$\theta$ is the angle between the force and the direction of the displacement.

2. Work of a Constant Force: If the force is constant and acts along the direction of the displacement, the work can be simplified to:

W = F d $W = F d$

3. Work and Energy: The work done on a rigid system is equal to the change in the kinetic energy of the system, according to the work and energy theorem:

W = \Delta K = K_f - K_i $W = \Delta K = K_f - K_i$

where K_f$K_f$ is the final kinetic energy and K_i$K_i$ is the initial kinetic energy.

Exercise 1: Calculating the Work Done by a Constant Force

Problem: A force of F = 50 \, \text{N}$F = 50 \, \text{N}$ is applied to a body that moves d = 3 \, \text{m}$d = 3 \, \text{m}$ in the direction of the force. Calculate the work done by the force.

Solution:

1. Since the force is constant and acts in the direction of the displacement, we can use the simplified formula:

W = F d $W = F d$

2. Substituting the values:

W = 50 \, \text{N} \cdot 3 \, \text{m} = 150 \, \text{J} $W = 50 \, \text{N} \cdot 3 \, \text{m} = 150 \, \text{J}$

Therefore, the work done by the force is 150 \, \text{J}$150 \, \text{J}$.

Exercise 2: Calculating Work with an Angle

Problem: A force of F = 100 \, \text{N}$F = 100 \, \text{N}$ is applied to a body that moves d = 4 \, \text{m}$d = 4 \, \text{m}$ forming an angle of \theta = 30^\circ$\theta = 30^\circ$ with the direction of the displacement. Calculate the work done by the force.

Solution:

1. We use the general formula for work:

W = F d \cos(\theta) $W = F d \cos(\theta)$

2. Substituting the values:

W = 100 \, \text{N} \cdot 4 \, \text{m} \cdot \cos(30^\circ) $W = 100 \, \text{N} \cdot 4 \, \text{m} \cdot \cos(30^\circ)$

3. We calculate \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

W = 100 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3} \, \text{J} \approx 346.41 \, \text{J} $W = 100 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3} \, \text{J} \approx 346.41 \, \text{J}$

So, the work done by the force is approximately 346.41 \, \text{J}$346.41 \, \text{J}$.

Exercise 3: Work and Change in Kinetic Energy

Problem: A rigid body of mass m = 10 \, \text{kg}$m = 10 \, \text{kg}$ goes from an initial velocity of v_i = 2 \, \text{m/s}$v_i = 2 \, \text{m/s}$ to a final velocity of v_f = 6 \, \text{m/s}$v_f = 6 \, \text{m/s}$. Calculate the work done on the body.

Solution:

1. Calculate the initial and final kinetic energy:

• Initial kinetic energy:

K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot 4 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 20 \, \text{J}

$$K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot 4 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 20 \, \text{J}$$

• Final kinetic energy:

K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (6 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot 36 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 180 \, \text{J}

$$K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (6 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot 36 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 180 \, \text{J}$$

2. Let's calculate the change in kinetic energy:

\Delta K = K_f - K_i = 180 \, \text{J} - 20 \, \text{J} = 160 \, \text{J}

$$\Delta K = K_f - K_i = 180 \, \text{J} - 20 \, \text{J} = 160 \, \text{J}$$

3. The work done on the body is equal to the change in kinetic energy:

W = \Delta K = 160 \, \text{J}

$$W = \Delta K = 160 \, \text{J}$$

Result: The work done on the body is W = 160 \, \text{J}$W = 160 \, \text{J}$.