Esercizi sui Limiti

Esercizi sui Limiti

Esercizi sui Limiti

Versione italiana

Esercizi sui Limiti

Concetti Chiave

1. Definizione di Limite:
   Il limite di una funzione f(x)$f(x)$ quando x$x$ si avvicina a un valore c$c$ è il valore che f(x)$f(x)$ tende a raggiungere quando x$x$ si avvicina a c$c$. Si scrive come:

   \lim_{x \to c} f(x) = L

   $$\lim_{x \to c} f(x) = L$$

2. Limiti Laterali:

   • Limite sinistro: \lim_{x \to c^-} f(x)$\lim_{x \to c^-} f(x)$ è il limite di f(x)$f(x)$ quando x$x$ si avvicina a c$c$ da sinistra.
   • Limite destro: \lim_{x \to c^+} f(x)$\lim_{x \to c^+} f(x)$ è il limite di f(x)$f(x)$ quando x$x$ si avvicina a c$c$ da destra.
   • Un limite esiste se i limiti laterali sono uguali.

3. Limiti Infiniti:
   Se f(x)$f(x)$ cresce senza limiti quando x$x$ si avvicina a c$c$, si scrive:

   \lim_{x \to c} f(x) = \infty

   $$\lim_{x \to c} f(x) = \infty$$

4. Limiti all'Infinito:
   Si considera il comportamento di f(x)$f(x)$ quando x$x$ tende a \infty$\infty$ o -\infty$-\infty$:

   \lim_{x \to \infty} f(x) = L

   $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$

5. Regole di Calcolo dei Limiti:

   • Somma: \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$
   • Prodotto: \lim_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$\lim_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$
   • Quoziente: \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$ (se \lim_{x \to c} g(x) \neq 0$\lim_{x \to c} g(x) \neq 0$)

Esercizi

Esercizio 1: Calcolare un Limite Semplice

Problema: Calcola il limite \lim_{x \to 2} (3x + 1)$\lim_{x \to 2} (3x + 1)$.

Soluzione:

1. Sostituisci x$x$ con 2:

   \lim_{x \to 2} (3x + 1) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7

   $$\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7$$

Esercizio 2: Limite con Indeterminatezza

Problema: Calcola il limite \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Soluzione:

1. Sostituisci x$x$ con 1:

   \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminatezza)}

   $$\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminatezza)}$$
2. Fattorizza il numeratore:

   \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}

   $$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$$
3. Cancella il termine comune:

   \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2

   $$\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$

English version

Limit Exercises

Key Concepts

1. Definition of Limit:
   The limit of a function f(x)$f(x)$ as x$x$ approaches a value c$c$ is the value that f(x)$f(x)$ tends to reach as x$x$ approaches c$c$. It is written as:

\lim_{x \to c} f(x) = L

$$\lim_{x \to c} f(x) = L$$

2. Lateral Limits:

• Left Limit: \lim_{x \to c^-} f(x)$\lim_{x \to c^-} f(x)$ is the limit of f(x)$f(x)$ as x$x$ approaches c$c$ from the left.
• Right Limit: \lim_{x \to c^+} f(x)$\lim_{x \to c^+} f(x)$ is the limit of f(x)$f(x)$ as x$x$ approaches c$c$ from the right.
• A limit exists if the lateral limits are equal.

3. Infinite Limits:
   If f(x)$f(x)$ grows without bound as x$x$ approaches c$c$, we write:

\lim_{x \to c} f(x) = \infty

$$\lim_{x \to c} f(x) = \infty$$

4. Limits at Infinity:
   We consider the behavior of f(x)$f(x)$ when x$x$ tends to \infty$\infty$ or -\infty$-\infty$:

\lim_{x \to \infty} f(x) = L

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$

5. Rules of Calculation of Limits:

• Sum: \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$
• Product: \lim_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$\lim_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$ - Quotient: \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$ (if \lim_{x \to c} g(x) \neq 0$\lim_{x \to c} g(x) \neq 0$) ## Exercises ### Exercise 1: Cal cast a Simple Limit Problem: Compute the limit \lim_{x \to 2} (3x + 1)$\lim_{x \to 2} (3x + 1)$.

Solution:

1. Replace x$x$ with 2:

\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7

$$\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7$$

Exercise 2: Limit with Indeterminacy

Problem: Calculate the limit \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Solution:

1. Replace x$x$ with 1:

\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminacy)}

$$\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminacy)}$$

2. Factor the numerator:

\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}

$$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$$

3. Delete the common term:

\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2

$$\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$