Esercizi sui Limiti Notevoli
Esercizi sui Limiti Notevoli
Esercizi sui Limiti Notevoli
Versione italiana
Esercizi sui Limiti Notevoli
Concetti Chiave
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Limiti Notevoli:
I limiti notevoli sono limiti che hanno valori specifici e possono essere calcolati facilmente. Alcuni dei limiti notevoli più comuni includono:
- \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1limx→0​xsin(x)​=1
- \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1limx→0​xtan(x)​=1
- \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}limx→0​x21−cos(x)​=21​
- \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = elimx→∞​(1+x1​)x=e
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Indeterminatezza:
Alcuni limiti possono presentarsi in forme indeterminate, come \frac{0}{0}00​ o \frac{\infty}{\infty}∞∞​. In questi casi, è necessario applicare tecniche come la fattorizzazione, la razionalizzazione o l'uso di regole di L'Hôpital.
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Regola di L'Hôpital:
Se un limite si presenta in forma indeterminata \frac{0}{0}00​ o \frac{\infty}{\infty}∞∞​, si può calcolare il limite derivando il numeratore e il denominatore:
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}
x→clim​g(x)f(x)​=x→clim​g′(x)f′(x)​
Esercizi
Esercizio 1: Limite Notevole di Seno
Problema: Calcola il limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}limx→0​xsin(x)​.
Soluzione:
- Utilizza il limite notevole:
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
x→0lim​xsin(x)​=1
Esercizio 2: Limite Notevole di Tangente
Problema: Calcola il limite \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}limx→0​xtan(x)​.
Soluzione:
- Utilizza il limite notevole:
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1
x→0lim​xtan(x)​=1
Esercizio 3: Limite Notevole di Coseno
Problema: Calcola il limite \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}limx→0​x21−cos(x)​.
Soluzione:
- Utilizza il limite notevole:
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}
x→0lim​x21−cos(x)​=21​
Esercizio 4: Limite con Indeterminatezza
Problema: Calcola il limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}limx→0​xsin(2x)​.
Soluzione:
- Riscrivi il limite:
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2
x→0lim​xsin(2x)​=x→0lim​2xsin(2x)​⋅2
- Utilizza il limite notevole:
= 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2
=2⋅x→0lim​2xsin(2x)​=2⋅1=2
Esercizio 5: Limite Esponenziale
Problema: Calcola il limite \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^xlimx→∞​(1+x1​)x.
Soluzione:
- Utilizza il limite notevole:
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
x→∞lim​(1+x1​)x=e
English version
Key Concepts
- Remarkable Limits:
Remarkable limits are limits that have specific values ​​and can be computed easily. Some of the more common remarkable limits include:
- \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1limx→0​xsin(x)​=1
- \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1limx→0​xtan(x)​=1
- \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}limx→0​x21−cos(x)​=21​
- \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = elimx→∞​(1+x1​)x=e
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Indeterminacy:
Some limits can occur in indeterminate forms, such as \frac{0}{0}00​ or \frac{\infty}{\infty}∞∞​. In these cases, it is necessary to apply techniques such as factorization, rationalization or the use of L'Hôpital's rules.
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L'Hôpital's Rule:
If a limit is in the indeterminate form \frac{0}{0}00​ or \frac{\infty}{\infty}∞∞​, the limit can be computed by deriving the numerator and the denominator:
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}
x→clim​g(x)f(x)​=x→clim​g′(x)f′(x)​
Exercises
Problem: Compute the limit \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}limx→0​xsin(x)​.
Solution:
- Use the remarkable limit:
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
x→0lim​xsin(x)​=1
Problem: Calculate the limit \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}limx→0​xtan(x)​.
Solution:
- Use the remarkable limit:
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1
x→0lim​xtan(x)​=1
Problem: Calculate the limit \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}limx→0​x21−cos(x)​.
Solution:
- Use the notable limit:
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}
x→0lim​x21−cos(x)​=21​
Exercise 4: Limit with Indeterminacy
Problem: Compute the limit \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}limx→0​xsin(2x)​.
Solution:
- Rewrite the limit:
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2
x→0lim​xsin(2x)​=x→0lim​2xsin(2x)​⋅2
- Use the notable limit:
= 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2
=2⋅x→0lim​2xsin(2x)​=2⋅1=2
Exercise 5: Exponential Limit
Problem: Calculate the limit \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^xlimx→∞​(1+x1​)x.
Solution:
- Use the notable limit:
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
x→∞lim​(1+x1​)x=e
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