Esercizi sui condensatori

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Esercizi sui condensatori

Versione italiana

Esercizi sui condensatori

I condensatori sono componenti elettrici che immagazzinano energia elettrica in un campo elettrico. Sono utilizzati in molte applicazioni, come nei circuiti di filtraggio, nei circuiti di temporizzazione e in molte altre applicazioni elettroniche. Ecco alcuni concetti chiave e alcuni esercizi pratici sui condensatori.

Concetti Fondamentali

1. Capacità (C): La capacità di un condensatore è la quantità di carica Q che può immagazzinare per ogni volt di tensione V applicata. È espressa in farad (F) e si calcola con la formula:

   C = \frac{Q}{V}

   $$C = \frac{Q}{V}$$

2. Energia immagazzinata (U): L'energia immagazzinata in un condensatore è data dalla formula:

   U = \frac{1}{2} C V^2

   $$U = \frac{1}{2} C V^2$$

3. Condensatori in serie e in parallelo:

   • Serie: La capacità totale C_{tot}$C_{tot}$ di condensatori in serie è data da:

     \frac{1}{C_{tot}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots + \frac{1}{C_n}

     $$\frac{1}{C_{tot}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots + \frac{1}{C_n}$$
   • Parallelo: La capacità totale C_{tot}$C_{tot}$ di condensatori in parallelo è data da:

     C_{tot} = C_1 + C_2 + \ldots + C_n

     $$C_{tot} = C_1 + C_2 + \ldots + C_n$$

Esercizi

1. Esercizio 1: Calcolo della Capacità

   • Un condensatore immagazzina 12 μC di carica quando è collegato a una tensione di 6 V. Calcola la capacità del condensatore.
   • Soluzione:

     C = \frac{Q}{V} = \frac{12 \times 10^{-6}}{6} = 2 \times 10^{-6} \, F = 2 \, \mu F.

     $$C = \frac{Q}{V} = \frac{12 \times 10^{-6}}{6} = 2 \times 10^{-6} \, F = 2 \, \mu F.$$

2. Esercizio 2: Energia immagazzinata

   • Un condensatore ha una capacità di 4 μF e viene caricato a una tensione di 10 V. Calcola l'energia immagazzinata nel condensatore.
   • Soluzione:

     U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-6} \cdot (10)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-6} \cdot 100 = 2 \times 10^{-4} \, J = 0.2 \, mJ.

     $$U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-6} \cdot (10)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-6} \cdot 100 = 2 \times 10^{-4} \, J = 0.2 \, mJ.$$

3. Esercizio 3: Condensatori in Serie

   • Due condensatori, uno da 6 μF e l'altro da 3 μF, sono collegati in serie. Calcola la capacità totale del circuito.
   • Soluzione:

     \frac{1}{C_{tot}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies C_{tot} = 2 \, \mu F.

     $$\frac{1}{C_{tot}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies C_{tot} = 2 \, \mu F.$$

4. Esercizio 4: Condensatori in Parallelo

   • Tre condensatori, uno da 2 μF, uno da 4 μF e uno da 6 μF, sono collegati in parallelo. Calcola la capacità totale del circuito.
   • Soluzione:

     C_{tot} = C_1 + C_2 + C_3 = 2 + 4 + 6 = 12 \, \mu F.

     $$C_{tot} = C_1 + C_2 + C_3 = 2 + 4 + 6 = 12 \, \mu F.$$

5. Esercizio 5: Tensione e Carica

   • Un condensatore da 5 μF è caricato a una tensione di 20 V. Se la tensione viene ridotta a 10 V, qual è la nuova carica sul condensatore?

   • Soluzione:

     • La carica iniziale Q_1$Q_1$ è:

     Q_1 = C \cdot V_1 = 5 \times 10^{-6} \cdot 20 = 1 \times 10^{-4} \, C = 100 \, \mu C

     $$Q_1 = C \cdot V_1 = 5 \times 10^{-6} \cdot 20 = 1 \times 10^{-4} \, C = 100 \, \mu C$$
     • Ora, calcoliamo la nuova carica Q_2$Q_2$ quando la tensione viene ridotta a 10 V:

Q_2 = C \cdot V_2 = 5 \times 10^{-6} \cdot 10 = 5 \times 10^{-5} \, C = 50 \, \mu C

$$Q_2 = C \cdot V_2 = 5 \times 10^{-6} \cdot 10 = 5 \times 10^{-5} \, C = 50 \, \mu C$$

• Quindi, la nuova carica sul condensatore è di 50 μC.

Esercizio 6: Tempo di Carica di un Condensatore

• Un condensatore da 10 μF è caricato attraverso una resistenza di 1 kΩ. Calcola il tempo necessario per caricare il condensatore al 63% della sua carica massima.
• Soluzione:
  • La costante di tempo \tau$\tau$ è data da:

  \tau = R \cdot C = 1000 \, \Omega \cdot 10 \times 10^{-6} \, F = 0.01 \, s = 10 \, ms.

  $$\tau = R \cdot C = 1000 \, \Omega \cdot 10 \times 10^{-6} \, F = 0.01 \, s = 10 \, ms.$$
  • Il 63% della carica massima viene raggiunto dopo un tempo pari a \tau$\tau$, quindi il tempo necessario è di 10 ms.

Esercizio 7: Condensatore Scarico

• Un condensatore da 20 μF è carico a 50 V. Se viene scaricato attraverso una resistenza di 2 kΩ, calcola la carica rimasta sul condensatore dopo 0.1 s.
• Soluzione:
  • La carica iniziale Q_0$Q_0$ è:

  Q_0 = C \cdot V = 20 \times 10^{-6} \cdot 50 = 1 \times 10^{-3} \, C = 1000 \, \mu C.

  $$Q_0 = C \cdot V = 20 \times 10^{-6} \cdot 50 = 1 \times 10^{-3} \, C = 1000 \, \mu C.$$
  • La costante di tempo \tau$\tau$ è:

  \tau = R \cdot C = 2000 \cdot 20 \times 10^{-6} = 0.04 \, s = 40 \, ms.

  $$\tau = R \cdot C = 2000 \cdot 20 \times 10^{-6} = 0.04 \, s = 40 \, ms.$$
  • La carica rimanente Q(t) dopo un tempo t è data da:

  Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{\tau}}.

  $$Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{\tau}}.$$
  • Sostituendo i valori:

  Q(0.1) = 1000 \cdot e^{-\frac{0.1}{0.04}} = 1000 \cdot e^{-2.5} \approx 1000 \cdot 0.0821 \approx 82.1 \, \mu C.

  $$Q(0.1) = 1000 \cdot e^{-\frac{0.1}{0.04}} = 1000 \cdot e^{-2.5} \approx 1000 \cdot 0.0821 \approx 82.1 \, \mu C.$$

Esercizio 8: Capacità di un Condensatore Piatto

• Un condensatore piano ha una superficie di 0.01 m² e una distanza tra le piastre di 0.001 m. Se il materiale tra le piastre ha una costante dielettrica \varepsilon_r = 2.5$\varepsilon_r = 2.5$, calcola la capacità del condensatore.
• Soluzione:
  • La capacità di un condensatore piano è data da:

  C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}

  $$C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}$$
  dove \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$ è la permittività del vuoto, A è l'area delle piastre e d è la distanza tra di esse.
  • Sostituendo i valori:

  C = \frac{(8.85 \times 10^{-12}) \cdot 2.5 \cdot 0.01}{0.001} = \frac{2.2125 \times 10^{-13}}{0.001} = 2.2125 \times 10^{-10} \, F = 221.25 \, pF.

  $$C = \frac{(8.85 \times 10^{-12}) \cdot 2.5 \cdot 0.01}{0.001} = \frac{2.2125 \times 10^{-13}}{0.001} = 2.2125 \times 10^{-10} \, F = 221.25 \, pF.$$

English version

Capacitor Exercises

Capacitors are electrical components that store electrical energy in an electric field. They are used in many applications, such as filter circuits, timing circuits, and many other electronic applications. Here are some key concepts and practical exercises on capacitors.

Fundamental Concepts

1. Capacitance (C): The capacitance of a capacitor is the amount of charge Q that it can store for each volt of voltage V applied. It is expressed in farads (F) and is calculated with the formula:

C = \frac{Q}{V}

$$C = \frac{Q}{V}$$

2. Stored energy (U): The energy stored in a capacitor is given by the formula:

U = \frac{1}{2} C V^2

$$U = \frac{1}{2} C V^2$$

3. Capacitors in series and in parallel:

• Series: The total capacity C_{tot}$C_{tot}$ of capacitors in series is given by:

\frac{1}{C_{tot}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots + \frac{1}{C_n}

$$\frac{1}{C_{tot}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots + \frac{1}{C_n}$$

• Parallel: The total capacity C_{tot}$C_{tot}$ of capacitors in parallel is given by:

C_{tot} = C_1 + C_2 + \ldots + C_n

$$C_{tot} = C_1 + C_2 + \ldots + C_n$$

Exercises

1. Exercise 1: Calculating the Capacitance

• A capacitor stores 12 μC of charge when connected to a voltage of 6 V. Calculate the capacitance of the capacitor.
• Solution:

C = \frac{Q}{V} = \frac{12 \times 10^{-6}}{6} = 2 \times 10^{-6} \, F = 2 \, \mu F.

$$C = \frac{Q}{V} = \frac{12 \times 10^{-6}}{6} = 2 \times 10^{-6} \, F = 2 \, \mu F.$$

2. Exercise 2: Energy Stored

• A capacitor has a capacitance of 4 μF and is charged to a voltage of 10 V. Calculate the energy stored in the capacitor.
• Solution:

U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-6} \cdot (10)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-6} \cdot 100 = 2 \times 10^{-4} \, J = 0.2 \, mJ.

$$U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-6} \cdot (10)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-6} \cdot 100 = 2 \times 10^{-4} \, J = 0.2 \, mJ.$$

3. Exercise 3: Capacitors in Series

• Two capacitors, one 6 μF and the other 3 μF, are connected in series. Calculate the total capacitance of the circuit.
• Solution:

\frac{1}{C_{tot}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies C_{tot} = 2 \, \mu F.

$$\frac{1}{C_{tot}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies C_{tot} = 2 \, \mu F.$$

4. Exercise 4: Capacitors in Parallel

• Three capacitors, one 2 μF, one 4 μF, and one 6 μF, are connected in parallel. Calculate the total capacitance of the circuit.
• Solution:

C_{tot} = C_1 + C_2 + C_3 = 2 + 4 + 6 = 12 \, \mu F.

$$C_{tot} = C_1 + C_2 + C_3 = 2 + 4 + 6 = 12 \, \mu F.$$

5. Exercise 5: Voltage and Charge

• A 5 μF capacitor is charged to a voltage of 20 V. If the voltage is reduced to 10 V, what is the new charge on the capacitor?
• Solution:
• The initial charge Q_1$Q_1$ is:

Q_1 = C \cdot V_1 = 5 \times 10^{-6} \cdot 20 = 1 \times 10^{-4} \, C = 100 \, \mu C

$$Q_1 = C \cdot V_1 = 5 \times 10^{-6} \cdot 20 = 1 \times 10^{-4} \, C = 100 \, \mu C$$

• Now, let's calculate the new charge Q_2$Q_2$ when the voltage is reduced to 10 V:

Q_2 = C \cdot V_2 = 5 \times 10^{-6} \cdot 10 = 5 \times 10^{-5} \, C = 50 \, \mu C

$$Q_2 = C \cdot V_2 = 5 \times 10^{-6} \cdot 10 = 5 \times 10^{-5} \, C = 50 \, \mu C$$

• So, the new charge on the capacitor is 50 μC.

Exercise 6: Charging Time of a Capacitor

• A 10 μF capacitor is charged through a 1 kΩ resistor. Find the time required to charge the capacitor to 63% of its maximum charge.
• Solution:
• The time constant \tau$\tau$ is given by:

\tau = R \cdot C = 1000 \, \Omega \cdot 10 \times 10^{-6} \, F = 0.01 \, s = 10 \, ms.

$$\tau = R \cdot C = 1000 \, \Omega \cdot 10 \times 10^{-6} \, F = 0.01 \, s = 10 \, ms.$$

• 63% of the maximum charge is reached after a time equal to \tau$\tau$, so the time required is 10 ms.

Exercise 7: Uncharged Capacitor

• A 20 μF capacitor is charged to 50 V. If it is discharged through a 2 kΩ resistor, find the charge remaining on the capacitor after 0.1 s.
• Solution:
• The initial charge Q_0$Q_0$ is:

Q_0 = C \cdot V = 20 \times 10^{-6} \cdot 50 = 1 \times 10^{-3} \, C = 1000 \, \mu C.

$$Q_0 = C \cdot V = 20 \times 10^{-6} \cdot 50 = 1 \times 10^{-3} \, C = 1000 \, \mu C.$$

• The time constant \tau$\tau$ is:

\tau = R \cdot C = 2000 \cdot 20 \times 10^{-6} = 0.04 \, s = 40 \, ms.

$$\tau = R \cdot C = 2000 \cdot 20 \times 10^{-6} = 0.04 \, s = 40 \, ms.$$

• The remaining charge Q(t) after a time t is given by:

Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{\tau}}.

$$Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{\tau}}.$$

• Substituting the values:

Q(0.1) = 1000 \cdot e^{-\frac{0.1}{0.04}} = 1000 \cdot e^{-2.5} \approx 1000 \cdot 0.0821 \approx 82.1 \, \mu C.

$$Q(0.1) = 1000 \cdot e^{-\frac{0.1}{0.04}} = 1000 \cdot e^{-2.5} \approx 1000 \cdot 0.0821 \approx 82.1 \, \mu C.$$

Exercise 8: Capacitance of a Flat Capacitor

• A flat capacitor has a surface area of ​​0.01 m² and a distance between the plates of 0.001 m. If the material between the plates has a dielectric constant \varepsilon_r = 2.5$\varepsilon_r = 2.5$, calculate the capacitance of the capacitor.
• Solution:
• The capacitance of a flat plate capacitor is given by:

C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}

$$C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}$$

where \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$ is the permittivity of the vacuum, A is the area of ​​the plates and d is the distance between them.

• Substituting the values:

C = \frac{(8.85 \times 10^{-12}) \cdot 2.5 \cdot 0.01}{0.001} = \frac{2.2125 \times 10^{-13}}{0.001} = 2.2125 \times 10^{-10} \, F = 221.25 \, pF.

$$C = \frac{(8.85 \times 10^{-12}) \cdot 2.5 \cdot 0.01}{0.001} = \frac{2.2125 \times 10^{-13}}{0.001} = 2.2125 \times 10^{-10} \, F = 221.25 \, pF.$$