Versione italiana
Esercizi sui Campionatori
Concetti Chiave
1. Definizione di Campionatore
Un campionatore è un dispositivo o un algoritmo che preleva campioni da un segnale continuo per convertirlo in un segnale discreto. Questo processo è fondamentale nella digitalizzazione dei segnali.
2. Teorema di Nyquist
Il teorema di Nyquist afferma che per evitare aliasing, un segnale deve essere campionato a una frequenza almeno doppia rispetto alla sua massima frequenza presente. Se f_m è la massima frequenza del segnale, la frequenza di campionamento f_s deve soddisfare:
f_s \geq 2f_m
3. Aliasing
L'aliasing si verifica quando un segnale viene campionato a una frequenza inferiore alla frequenza di Nyquist, causando la sovrapposizione delle frequenze e distorsione del segnale.
Esercizi
Esercizio 1: Frequenza di Campionamento
Un segnale ha una frequenza massima di 1 \, \text{kHz}. Qual è la frequenza di campionamento minima necessaria per campionare questo segnale senza aliasing?
Soluzione:
Applicando il teorema di Nyquist:
f_s \geq 2f_m = 2 \times 1 \, \text{kHz} = 2 \, \text{kHz}
Quindi, la frequenza di campionamento minima necessaria è 2 \, \text{kHz}.
Esercizio 2: Calcolo dell'Aliasing
Un segnale viene campionato a 1.5 \, \text{kHz} e ha una frequenza massima di 1 \, \text{kHz}. Determina se si verifica aliasing e, in caso affermativo, calcola la frequenza apparente.
Soluzione:
La frequenza di Nyquist è:
f_N = \frac{f_s}{2} = \frac{1.5 \, \text{kHz}}{2} = 0.75 \, \text{kHz}
Poiché la frequenza massima del segnale f_m = 1 \, \text{kHz} è maggiore di f_N, si verifica aliasing. La frequenza apparente f_a può essere calcolata come:
f_a = |f_m - f_N| = |1 \, \text{kHz} - 0.75 \, \text{kHz}| = 0.25 \, \text{kHz}
Esercizio 3: Campionamento di un Segnale Seno
Un segnale sinusoidale ha la forma x(t) = \sin(2\pi f t) con f = 500 \, \text{Hz}. Se campionato a 1 \, \text{kHz}, determina se il campionamento è adeguato.
Soluzione:
La frequenza di Nyquist è:
f_N = 2f = 2 \times 500 \, \text{Hz} = 1000 \, \text{Hz}
Poiché la frequenza di campionamento f_s = 1 \, \text{kHz} è uguale alla frequenza di Nyquist, il campionamento è al limite. Per evitare aliasing, sarebbe meglio campionare a una frequenza superiore a 1 \, \text{kHz}.
Esercizio 4: Esempio di Aliasing
Un segnale di frequenza 800 \, \text{Hz} viene campionato a 1000 \, \text{Hz}. Calcola la frequenza apparente.
Soluzione:
La frequenza di Nyquist è:
f_N = \frac{f_s}{2} = \frac{1000 \, \text{Hz}}{2} = 500 \, \text{Hz}
Poiché f_m = 800 \, \text{Hz} è maggiore di f_N, si verifica aliasing. La frequenza apparente f_a è data da:
f_a = |f_m - f_N| = |800 \, \text{Hz} - 500 \, \text{Hz}| = 300 \, \text{Hz}
Quindi, la frequenza apparente del segnale campionato è 300 \, \text{Hz}.
English version
Sampler Exercises
Key Concepts
1. Definition of Sampler
A sampler is a device or algorithm that takes samples from a continuous signal and converts it into a discrete signal. This process is essential in the digitization of signals.
2. Nyquist Theorem
The Nyquist theorem states that to avoid aliasing, a signal must be sampled at a rate at least twice its maximum present frequency. If f_m is the maximum frequency of the signal, the sampling rate f_s must satisfy:
f_s \geq 2f_m
3. Aliasing
Aliasing occurs when a signal is sampled at a rate lower than the Nyquist frequency, causing overlapping frequencies and distortion of the signal.
Exercises
Exercise 1: Sampling Rate
A signal has a maximum frequency of 1 \, \text{kHz}. What is the minimum sampling rate needed to sample this signal without aliasing?
Solution:
Using the Nyquist theorem:
f_s \geq 2f_m = 2 \times 1 \, \text{kHz} = 2 \, \text{kHz}
So, the minimum sampling rate needed is 2 \, \text{kHz}.
Exercise 2: Calculating Aliasing
A signal is sampled at 1.5 \, \text{kHz} and has a maximum frequency of 1 \, \text{kHz}. Determine whether aliasing occurs and, if so, calculate the apparent frequency.
Solution:
The Nyquist frequency is:
f_N = \frac{f_s}{2} = \frac{1.5 \, \text{kHz}}{2} = 0.75 \, \text{kHz}
Since the maximum frequency of the signal f_m = 1 \, \text{kHz} is greater than f_N, aliasing occurs. The apparent frequency f_a can be calculated as:
f_a = |f_m - f_N| = |1 \, \text{kHz} - 0.75 \, \text{kHz}| = 0.25 \, \text{kHz}
Exercise 3: Sampling a Sine Signal
A sinusoidal signal has the form x(t) = \sin(2\pi f t) with f = 500 \, \text{Hz}. If sampled at 1 \, \text{kHz}, determine if the sampling is adequate.
Solution:
The Nyquist frequency is:
f_N = 2f = 2 \times 500 \, \text{Hz} = 1000 \, \text{Hz}
Since the sampling frequency f_s = 1 \, \text{kHz} is the same as the Nyquist frequency, the sampling is at the limit. To avoid aliasing, it would be better to sample at a frequency higher than 1 \, \text{kHz}.
Exercise 4: Aliasing Example
A signal of frequency 800 \, \text{Hz} is sampled at 1000 \, \text{Hz}. Calculate the apparent frequency.
Solution:
The Nyquist frequency is:
f_N = \frac{f_s}{2} = \frac{1000 \, \text{Hz}}{2} = 500 \, \text{Hz}
Since f_m = 800 \, \text{Hz} is greater than f_N, aliasing occurs. The apparent frequency f_a is given by:
f_a = |f_m - f_N| = |800 \, \text{Hz} - 500 \, \text{Hz}| = 300 \, \text{Hz}
So, the apparent frequency of the sampled signal is 300 \, \text{Hz}.
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