Esercizi sui campi magnetici e fili

Esercizi sui campi magnetici e fili

Esercizi sui campi magnetici e fili

Versione italiana

Esercizi sui campi magnetici e fili

I campi magnetici generati da fili conduttori sono un argomento importante in elettromagnetismo. Ecco alcuni concetti chiave e alcuni esercizi pratici che puoi considerare.

Concetti Fondamentali

1. Campo Magnetico di un Filo Rettilineo: Il campo magnetico B generato da un filo rettilineo infinito che trasporta una corrente I è dato dalla formula:

   B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

   $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

   dove:

   • \mu_0$\mu_0$ è la permeabilità del vuoto (4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$),
   • r è la distanza dal filo.

2. Direzione del Campo Magnetico: La direzione del campo magnetico può essere determinata dalla regola della mano destra: se il pollice della mano destra indica la direzione della corrente, le dita avvolte attorno al filo indicano la direzione del campo magnetico.

3. Campo Magnetico di un Filo Curvo: Per un filo curvo, il campo magnetico in un punto può essere calcolato integrando il contributo di ogni segmento del filo.

Esercizi

1. Esercizio 1: Campo Magnetico di un Filo Rettilineo

   • Un filo rettilineo trasporta una corrente di 10 A. Calcola il campo magnetico a una distanza di 0.2 m dal filo.
   • Soluzione:

     B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.2} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.4} = 1 \times 10^{-5} \, T.

     $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.2} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.4} = 1 \times 10^{-5} \, T.$$

2. Esercizio 2: Direzione del Campo Magnetico

   • Un filo verticale trasporta una corrente verso l'alto. Qual è la direzione del campo magnetico a una distanza di 0.1 m a nord del filo?
   • Soluzione:
     • Usando la regola della mano destra, se il pollice è rivolto verso l'alto (direzione della corrente), le dita si avvolgeranno attorno al filo. A nord del filo, il campo magnetico sarà diretto verso est.

3. Esercizio 3: Campo Magnetico di Due Fili Paralleli

   • Due fili paralleli, separati da 0.5 m, trasportano correnti di 5 A nella stessa direzione. Calcola il campo magnetico a metà strada tra i due fili.
   • Soluzione:
     • Calcola il campo magnetico generato da ciascun filo a metà strada (0.25 m da ciascun filo):

     B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{2\pi \cdot 0.25} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.5} = 8 \times 10^{-6} \, T.

     $$B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{2\pi \cdot 0.25} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.5} = 8 \times 10^{-6} \, T.$$
     • Poiché i campi si sommano (stessa direzione), il campo totale è:

     B_{totale} = B_1 + B_2 = 8 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6} = 16 \times 10^{-6} \, T = 1.6 \times 10^{-5} \, T.

     $$B_{totale} = B_1 + B_2 = 8 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6} = 16 \times 10^{-6} \, T = 1.6 \times 10^{-5} \, T.$$

4. Esercizio 4: Campo Magnetico di un Filo Curvo

• Un filo curvo forma un semicerchio di raggio 0.1 m e trasporta una corrente di 3 A. Calcola il campo magnetico al centro del semicerchio.

Soluzione:

• Il campo magnetico al centro di un semicerchio è dato da:

  B = \frac{\mu_0 I}{4r}.

  $$B = \frac{\mu_0 I}{4r}.$$
• Sostituendo i valori:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3}{4 \cdot 0.1} = \frac{12\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 3\pi \times 10^{-6} \, T

$$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3}{4 \cdot 0.1} = \frac{12\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 3\pi \times 10^{-6} \, T$$

• Calcolando il valore numerico:

B \approx 3 \cdot 3.14 \times 10^{-6} \approx 9.42 \times 10^{-6} \, T \approx 9.42 \, \mu T.

$$B \approx 3 \cdot 3.14 \times 10^{-6} \approx 9.42 \times 10^{-6} \, T \approx 9.42 \, \mu T.$$

Esercizio 5: Campo Magnetico di un Filo a Forma di Anello

• Un filo conduttore forma un anello di raggio 0.2 m e trasporta una corrente di 4 A. Calcola il campo magnetico al centro dell'anello.
• Soluzione:
  • Il campo magnetico al centro di un anello è dato dalla formula:

  B = \frac{\mu_0 I}{2R}

  $$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$$
  dove R è il raggio dell'anello.
  • Sostituendo i valori:

  B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4}{2 \cdot 0.2} = \frac{16\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 40\pi \times 10^{-7} \, T.

  $$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4}{2 \cdot 0.2} = \frac{16\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 40\pi \times 10^{-7} \, T.$$
  • Calcolando il valore numerico:

  B \approx 40 \cdot 3.14 \times 10^{-7} \approx 1.256 \times 10^{-6} \, T \approx 1.26 \, \mu T.

  $$B \approx 40 \cdot 3.14 \times 10^{-7} \approx 1.256 \times 10^{-6} \, T \approx 1.26 \, \mu T.$$

Esercizio 6: Forza tra Fili Paralleli

• Due fili paralleli, separati da 0.3 m, trasportano correnti di 6 A nella stessa direzione. Calcola la forza per unità di lunghezza che agisce su ciascun filo.
• Soluzione:
  • La forza per unità di lunghezza F/L tra due fili paralleli è data dalla formula:

  \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

  $$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$
  dove d è la distanza tra i fili.
  • Sostituendo i valori:

  \frac{F}{L} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 6 \cdot 6}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{144 \times 10^{-7}}{0.6} = 240 \times 10^{-7} \, N/m = 2.4 \times 10^{-5} \, N/m.

  $$\frac{F}{L} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 6 \cdot 6}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{144 \times 10^{-7}}{0.6} = 240 \times 10^{-7} \, N/m = 2.4 \times 10^{-5} \, N/m.$$

English version

Exercises on Magnetic Fields and Wires

Magnetic fields generated by conducting wires are an important topic in electromagnetism. Here are some key concepts and some practical exercises you can consider.

Fundamental Concepts

1. Magnetic Field of a Straight Wire: The magnetic field B generated by an infinite straight wire carrying a current I is given by the formula:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

where:

• \mu_0$\mu_0$ is the permeability of vacuum (4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$),
• r is the distance from the wire.

2. Direction of Magnetic Field: The direction of the magnetic field can be determined by the right-hand rule: if the thumb of the right hand points in the direction of the current, the fingers wrapped around the wire point in the direction of the magnetic field.

3. Magnetic Field of a Curved Wire: For a curved wire, the magnetic field at a point can be calculated by integrating the contribution of each segment of the wire.

Exercises

1. Exercise 1: Magnetic Field of a Straight Wire

• A straight wire carries a current of 10 A. Calculate the magnetic field at a distance of 0.2 m from the wire.
• Solution:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.2} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.4} = 1 \times 10^{-5} \, T.

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.2} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.4} = 1 \times 10^{-5} \, T.$$

2. Exercise 2: Direction of the Magnetic Field

• A vertical wire carries an upward current. What is the direction of the magnetic field at a distance of 0.1 m north of the wire?
• Solution:
• Using the right-hand rule, if the thumb is pointing up (direction of the current), the fingers will wrap around the wire. North of the wire, the magnetic field will be due east.

3. Exercise 3: Magnetic Field of Two Parallel Wires

• Two parallel wires, separated by 0.5 m, carry currents of 5 A in the same direction. Calculate the magnetic field halfway between the two wires.
• Solution:
• Calculate the magnetic field generated by each wire halfway (0.25 m from each wire):

B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{2\pi \cdot 0.25} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.5} = 8 \times 10^{-6} \, T.

$$B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{2\pi \cdot 0.25} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.5} = 8 \times 10^{-6} \, T.$$

• Since the fields add (same direction), the total field is:

B_{total} = B_1 + B_2 = 8 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6} = 16 \times 10^{-6} \, T = 1.6 \times 10^{-5} \, T.

$$B_{total} = B_1 + B_2 = 8 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6} = 16 \times 10^{-6} \, T = 1.6 \times 10^{-5} \, T.$$

4. Exercise 4: Magnetic Field of a Curved Wire

• A curved wire forms a semicircle of radius 0.1 m and carries a current of 3 A. Calculate the magnetic field at the center of the semicircle.

Solution:

• The magnetic field at the center of a semicircle is given by:

B = \frac{\mu_0 I}{4r}.

$$B = \frac{\mu_0 I}{4r}.$$

• Substituting the values:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3}{4 \cdot 0.1} = \frac{12\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 3\pi \times 10^{-6} \, T

$$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3}{4 \cdot 0.1} = \frac{12\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 3\pi \times 10^{-6} \, T$$

• Calculating the numerical value:

B \approx 3 \cdot 3.14 \times 10^{-6} \approx 9.42 \times 10^{-6} \, T \approx 9.42 \, \mu T.

$$B \approx 3 \cdot 3.14 \times 10^{-6} \approx 9.42 \times 10^{-6} \, T \approx 9.42 \, \mu T.$$

Exercise 5: Magnetic Field of a Ring-Shaped Wire

• A conducting wire forms a ring of radius 0.2 m and carries a current of 4 A. Calculate the magnetic field at the center of the ring.
• Solution:
• The magnetic field at the center of a ring is given by the formula:

B = \frac{\mu_0 I}{2R}

$$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$$

where R is the radius of the ring.

• Substituting the values:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4}{2 \cdot 0.2} = \frac{16\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 40\pi \times 10^{-7} \, T.

$$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4}{2 \cdot 0.2} = \frac{16\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 40\pi \times 10^{-7} \, T.$$

• Calculating the numerical value:

B \approx 40 \cdot 3.14 \times 10^{-7} \approx 1.256 \times 10^{-6} \, T \approx 1.26 \, \mu T.

$$B \approx 40 \cdot 3.14 \times 10^{-7} \approx 1.256 \times 10^{-6} \, T \approx 1.26 \, \mu T.$$

Exercise 6: Force Between Parallel Wires

• Two parallel wires, separated by 0.3 m, carry currents of 6 A in the same direction. Calculate the force per unit length that acts on each wire.
• Solution: - The force per unit length F/L between two parallel wires is given by the formula:

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} 

$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$

where d is the distance between the wires.

• Substituting the values:

 \frac{F}{L} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 6 \cdot 6}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{144 \times 10^{-7}}{0.6} = 240 \times 10^{-7} \, N/m = 2.4 \times 10^{-5} \, N /m.

$$\frac{F}{L} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 6 \cdot 6}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{144 \times 10^{-7}}{0.6} = 240 \times 10^{-7} \, N/m = 2.4 \times 10^{-5} \, N /m.$$