Esercizi sugli Asintoti

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Esercizi sugli Asintoti

Versione italiana

Esercizi sugli Asintoti

Concetti Chiave

Gli asintoti sono linee che descrivono il comportamento di una funzione quando x tende a valori estremi (positivi o negativi) o quando si avvicina a un certo valore. Gli asintoti possono essere di tre tipi:

1. Asintoti Orizzontali: Rappresentano il comportamento della funzione quando x tende a +\infty$+\infty$ o -\infty$-\infty$).

   • Si trovano calcolando il limite:

   \lim_{x \to \pm\infty} f(x)

   $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$$

2. Asintoti Verticali: Si verificano quando la funzione tende a +\infty$+\infty$ o -\infty$-\infty$ in corrispondenza di un certo valore di x.

   • Si trovano determinando i valori di x per cui f(x) non è definita.

3. Asintoti Obliqui: Si verificano quando la funzione ha un comportamento lineare per valori estremi di x e non ha asintoti orizzontali.

   • Si trovano calcolando il limite:

   \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx - q \right) = 0

   $$\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx - q \right) = 0$$

   dove y = mx + q$y = mx + q$ è l'equazione della retta asintotica.

Esercizi

1. Asintoti Orizzontali

Esercizio:
Trova gli asintoti orizzontali per la funzione f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}$f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}$.

Soluzione:
Calcoliamo il limite:

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$$

Quindi, l'asintoto orizzontale è y = 2.

2. Asintoti Verticali

Esercizio:
Trova gli asintoti verticali per la funzione f(x) = \frac{1}{x - 3}$f(x) = \frac{1}{x - 3}$.

Soluzione:
La funzione non è definita quando x - 3 = 0, quindi:

x = 3

$$x = 3$$

È presente un asintoto verticale in x = 3.

3. Asintoti Obliqui

Esercizio:
Trova gli asintoti obliqui per la funzione f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$.

Soluzione:
Dividiamo x^2 + 1$x^2 + 1$ per x:

f(x) = x + \frac{1}{x}

$$f(x) = x + \frac{1}{x}$$

Calcoliamo il limite:

\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0

$$\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$$

Quindi, l'asintoto obliquo è y = x.

English version

Asymptote Exercises

Key Concepts

Asymptotes are lines that describe the behavior of a function when x tends to extreme values ​​(positive or negative) or when it approaches a certain value. Asymptotes can be of three types:

1. Horizontal Asymptotes: They represent the behavior of the function when x tends to +\infty$+\infty$ or -\infty$-\infty$).

• They are found by calculating the limit:

\lim_{x \to \pm\infty} f(x)

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$$

2. Vertical Asymptotes: They occur when the function tends to +\infty$+\infty$ or -\infty$-\infty$ at a certain value of x.

• They are found by determining the values ​​of x for which f(x) is not defined.

3. Oblique Asymptotes: They occur when the function has a linear behavior for extreme values ​​of x and does not have horizontal asymptotes.

• They are found by calculating the limit:

\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx - q \right) = 0

$$\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx - q \right) = 0$$

where y = mx + q$y = mx + q$ is the equation of the asymptotic line.

Exercises

1. Horizontal Asymptotes

Exercise:
Find the horizontal asymptotes for the function f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}$f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}$.

Solution:
Let's calculate the limit:

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$$

So, the horizontal asymptote is y = 2.

2. Vertical Asymptotes

Exercise:
Find the vertical asymptotes for the function f(x) = \frac{1}{x - 3}$f(x) = \frac{1}{x - 3}$.

Solution:
The function is not defined when x - 3 = 0, so:

x = 3

$$x = 3$$

There is a vertical asymptote at x = 3.

3. Oblique Asymptotes

Exercise:
Find the oblique asymptotes for the function f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$.

Solution:
We divide x^2 + 1$x^2 + 1$ by x:

f(x) = x + \frac{1}{x}

$$f(x) = x + \frac{1}{x}$$

We calculate the limit:

\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0

$$\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$$

So, the oblique asymptote is y = x.