Esercizi su una Base Ortogonale a un Insieme di Vettori

Esercizi su una Base Ortogonale a un Insieme di Vettori

Esercizi su una Base Ortogonale a un Insieme di Vettori

Versione italiana

Esercizi su una Base Ortogonale a un Insieme di Vettori

Introduzione

In geometria e algebra lineare, una base ortogonale è un insieme di vettori che sono tutti perpendicolari tra loro. Trovare una base ortogonale a un insieme di vettori è un'operazione comune, specialmente in spazi euclidei.

Definizione di Ortogonalità

Due vettori \vec{a}$\vec{a}$ e \vec{b}$\vec{b}$ sono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero:

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

Esercizio 1: Trovare una Base Ortogonale in \mathbb{R}^2$\mathbb{R}^2$

Problema: Dato il vettore \vec{u} = (3, 4)$\vec{u} = (3, 4)$, trova un vettore \vec{v}$\vec{v}$ che sia ortogonale a \vec{u}$\vec{u}$.

Soluzione:

1. Sappiamo che \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Sia \vec{v} = (x, y)$\vec{v} = (x, y)$.
2. Calcoliamo il prodotto scalare:

   3x + 4y = 0

   $$3x + 4y = 0$$
3. Possiamo scegliere un valore per x$x$ e risolvere per y$y$. Ad esempio, poniamo x = 4$x = 4$:

   3(4) + 4y = 0 \implies 12 + 4y = 0 \implies 4y = -12 \implies y = -3

   $$3(4) + 4y = 0 \implies 12 + 4y = 0 \implies 4y = -12 \implies y = -3$$
4. Quindi, un vettore ortogonale a \vec{u}$\vec{u}$ è \vec{v} = (4, -3)$\vec{v} = (4, -3)$.

Esercizio 2: Trovare una Base Ortogonale in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$

Problema: Dati i vettori \vec{u} = (1, 0, 0)$\vec{u} = (1, 0, 0)$ e \vec{v} = (0, 1, 0)$\vec{v} = (0, 1, 0)$, trova un vettore \vec{w}$\vec{w}$ che sia ortogonale a entrambi.

Soluzione:

1. Sappiamo che \vec{u} \cdot \vec{w} = 0$\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ e \vec{v} \cdot \vec{w} = 0$\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$. Sia \vec{w} = (x, y, z)$\vec{w} = (x, y, z)$.
2. Calcoliamo i prodotti scalari:
   • Da \vec{u} \cdot \vec{w} = 0$\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$:

     1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \implies x = 0

     $$1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \implies x = 0$$
   • Da \vec{v} \cdot \vec{w} = 0$\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$:

     0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \implies y = 0

     $$0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \implies y = 0$$
3. Quindi, \vec{w} = (0, 0, z)$\vec{w} = (0, 0, z)$ per qualsiasi valore di z$z$. Un esempio di vettore ortogonale è \vec{w} = (0, 0, 1)$\vec{w} = (0, 0, 1)$.

Esercizio 3: Trovare una Base Ortogonale con il Metodo di Gram-Schmidt

Problema: Dati i vettori \vec{u_1} = (1, 1, 0)$\vec{u_1} = (1, 1, 0)$ e \vec{u_2} = (1, 0, 1)$\vec{u_2} = (1, 0, 1)$, trova una base ortogonale utilizzando il metodo di Gram-Schmidt.

Soluzione:

1. Iniziamo con \vec{v_1} = \vec{u_1} = (1, 1, 0)$\vec{v_1} = \vec{u_1} = (1, 1, 0)$.

2. Calcoliamo il prodotto scalare \vec{u_2} \cdot \vec{v_1}$\vec{u_2} \cdot \vec{v_1}$:

   \vec{u_2} \cdot \vec{v_1} = (1, 0, 1) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1

   $$\vec{u_2} \cdot \vec{v_1} = (1, 0, 1) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$$

3. Calcoliamo il prodotto scalare \vec{v_1} \cdot \vec{v_1}$\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}$:

   \vec{v_1} \cdot \vec{v_1} = (1, 1, 0) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2

   $$\vec{v_1} \cdot \vec{v_1} = (1, 1, 0) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2$$

4. Ora possiamo calcolare la proiezione:

   \text{Proiezione}_{\vec{v_1}} \vec{u_2} = \frac{1}{2} (1, 1, 0) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)

   $$\text{Proiezione}_{\vec{v_1}} \vec{u_2} = \frac{1}{2} (1, 1, 0) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)$$

5. Calcoliamo \vec{v_2}$\vec{v_2}$ sottraendo la proiezione da \vec{u_2}$\vec{u_2}$:

   \vec{v_2} = \vec{u_2} - \text{Proiezione}_{\vec{v_1}} \vec{u_2} = (1, 0, 1) - \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) = \left( 1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{1}{2}, 1 - 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)

   $$\vec{v_2} = \vec{u_2} - \text{Proiezione}_{\vec{v_1}} \vec{u_2} = (1, 0, 1) - \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) = \left( 1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{1}{2}, 1 - 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$$

6. Ora abbiamo i vettori ortogonali \vec{v_1} = (1, 1, 0)$\vec{v_1} = (1, 1, 0)$ e \vec{v_2} = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$\vec{v_2} = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$.

Verifica dell'Ortogonalità

Verifichiamo che \vec{v_1}$\vec{v_1}$ e \vec{v_2}$\vec{v_2}$ siano ortogonali:

\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1, 1, 0) \cdot \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0

$$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1, 1, 0) \cdot \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0$$

Poiché il prodotto scalare è zero, i vettori \vec{v_1}$\vec{v_1}$ e \vec{v_2}$\vec{v_2}$ sono ortogonali.

English version

Exercises on a Basis Orthogonal to a Set of Vectors

Introduction

In geometry and linear algebra, an orthogonal basis is a set of vectors that are all perpendicular to each other. Finding a basis orthogonal to a set of vectors is a common operation, especially in Euclidean spaces.

Definition of Orthogonality

Two vectors \vec{a}$\vec{a}$ and \vec{b}$\vec{b}$ are orthogonal if their scalar product is zero:

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

Exercise 1: Finding an Orthogonal Basis in \mathbb{R}^2$\mathbb{R}^2$

Problem: Given the vector \vec{u} = (3, 4)$\vec{u} = (3, 4)$, find a vector \vec{v}$\vec{v}$ that is orthogonal to \vec{u}$\vec{u}$.

Solution:

1. We know that \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Let \vec{v} = (x, y)$\vec{v} = (x, y)$.
2. Let's calculate the scalar product:

3x + 4y = 0

$$3x + 4y = 0$$

3. We can choose a value for x$x$ and solve for y$y$. For example, let's say x = 4$x = 4$:

3(4) + 4y = 0 \implies 12 + 4y = 0 \implies 4y = -12 \implies y = -3

$$3(4) + 4y = 0 \implies 12 + 4y = 0 \implies 4y = -12 \implies y = -3$$

4. So, a vector orthogonal to \vec{u}$\vec{u}$ is \vec{v} = (4, -3)$\vec{v} = (4, -3)$.

Exercise 2: Finding an Orthogonal Basis in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$

Problem: Given vectors \vec{u} = (1, 0, 0)$\vec{u} = (1, 0, 0)$ and \vec{v} = (0, 1, 0)$\vec{v} = (0, 1, 0)$, find a vector \vec{w}$\vec{w}$ that is orthogonal to both.

Solution:

1. We know that \vec{u} \cdot \vec{w} = 0$\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ and \vec{v} \cdot \vec{w} = 0$\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$. Let \vec{w} = (x, y, z)$\vec{w} = (x, y, z)$.
2. Let's compute the scalar products:

• From \vec{u} \cdot \vec{w} = 0$\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$:

1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \implies x = 0

$$1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \implies x = 0$$

• From \vec{v} \cdot \vec{w} = 0$\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$:

0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \implies y = 0

$$0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \implies y = 0$$

3. Then, \vec{w} = (0, 0, z)$\vec{w} = (0, 0, z)$ for any value of z$z$. An example of an orthogonal vector is \vec{w} = (0, 0, 1)$\vec{w} = (0, 0, 1)$.

Exercise 3: Finding an Orthogonal Basis with the Gram-Schmidt Method

Problem: Given vectors \vec{u_1} = (1, 1, 0)$\vec{u_1} = (1, 1, 0)$ and \vec{u_2} = (1, 0, 1)$\vec{u_2} = (1, 0, 1)$, find an orthogonal basis using the Gram-Schmidt method.

Solution:

1. Start with \vec{v_1} = \vec{u_1} = (1, 1, 0)$\vec{v_1} = \vec{u_1} = (1, 1, 0)$.

2. Let's calculate the scalar product \vec{u_2} \cdot \vec{v_1}$\vec{u_2} \cdot \vec{v_1}$:

\vec{u_2} \cdot \vec{v_1} = (1, 0, 1) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1

$$\vec{u_2} \cdot \vec{v_1} = (1, 0, 1) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$$

3. Let's calculate the scalar product \vec{v_1} \cdot \vec{v_1}$\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}$:

\vec{v_1} \cdot \vec{v_1} = (1, 1, 0) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2

$$\vec{v_1} \cdot \vec{v_1} = (1, 1, 0) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2$$

4. Now we can calculate the projection:

\text{Projection}_{\vec{v_1}} \vec{u_2} = \frac{1}{2} (1, 1, 0) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)

$$\text{Projection}_{\vec{v_1}} \vec{u_2} = \frac{1}{2} (1, 1, 0) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)$$

5. We calculate \vec{v_2}$\vec{v_2}$ by subtracting the projection from \vec{u_2}$\vec{u_2}$:

\vec{v_2} = \vec{u_2} - \text{Projection}_{\vec{v_1}} \vec{u_2} = (1, 0, 1) - \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) = \left( 1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{1}{2}, 1 - 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)

$$\vec{v_2} = \vec{u_2} - \text{Projection}_{\vec{v_1}} \vec{u_2} = (1, 0, 1) - \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) = \left( 1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{1}{2}, 1 - 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$$

6. Now we have the orthogonal vectors \vec{v_1} = (1, 1, 0)$\vec{v_1} = (1, 1, 0)$ and \vec{v_2} = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$\vec{v_2} = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$.

Orthogonality Check

Let's check that \vec{v_1}$\vec{v_1}$ and \vec{v_2}$\vec{v_2}$ are orthogonal:

\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1, 1, 0) \cdot \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0

$$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1, 1, 0) \cdot \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0$$

Since the scalar product is zero, the vectors \vec{v_1}$\vec{v_1}$ and \vec{v_2}$\vec{v_2}$ are orthogonal.