Esercizi su un filo percorso da corrente elettrica

Esercizi su un filo percorso da corrente elettrica

Esercizi su un filo percorso da corrente elettrica

Versione italiana

Esercizi su un filo percorso da corrente elettrica

I fili percorsi da corrente elettrica generano campi elettrici e magnetici, e ci sono diversi concetti e formule che possiamo utilizzare per risolvere esercizi su questo argomento. Ecco alcuni concetti fondamentali e alcuni esercizi pratici.

Concetti Fondamentali

1. Legge di Ampère: La legge di Ampère descrive la relazione tra la corrente elettrica che scorre in un filo e il campo magnetico che essa genera. Per un filo rettilineo infinito, il campo magnetico B a una distanza r dal filo è dato da:

   B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

   $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

   dove:

   • \mu_0$\mu_0$ è la permeabilità del vuoto 4\pi \times 10^{-7}$4\pi \times 10^{-7}$T \cdot m/A$T \cdot m/A$,
   • I è la corrente in ampere,
   • r è la distanza dal filo.

2. Forza su un Filo in un Campo Magnetico: La forza F che agisce su un filo di lunghezza L che trasporta una corrente I in un campo magnetico B è data da:

   F = I L B \sin(\theta)

   $$F = I L B \sin(\theta)$$

   dove \theta$\theta$ è l'angolo tra la direzione della corrente e la direzione del campo magnetico.

3. Energia in un Filo: L'energia elettrica dissipata in un filo resistivo è data dalla formula:

   P = I^2 R

   $$P = I^2 R$$

   dove P è la potenza in watt, I è la corrente in ampere e R è la resistenza in ohm.

Esercizi

Esercizio 1: Campo Magnetico di un Filo

• Un filo rettilineo trasporta una corrente di 5 A. Calcola il campo magnetico a una distanza di 0.1 m dal filo.
• Soluzione:

  B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{2\pi \cdot 0.1} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0.2} = 1 \times 10^{-6} \, T = 1 \, \mu T.

  $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{2\pi \cdot 0.1} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0.2} = 1 \times 10^{-6} \, T = 1 \, \mu T.$$

Esercizio 2: Forza su un Filo in un Campo Magnetico

• Un filo lungo 0.5 m trasporta una corrente di 3 A e si trova in un campo magnetico di 0.2 T. Calcola la forza che agisce sul filo se il campo è perpendicolare alla corrente.
• Soluzione:

  F = I L B \sin(90^\circ) = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.2 \cdot 1 = 0.3 \, N.

  $$F = I L B \sin(90^\circ) = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.2 \cdot 1 = 0.3 \, N.$$

Esercizio 3: Forza tra Fili Paralleli

• Due fili paralleli, separati da 0.3 m, trasportano correnti di 4 A nella stessa direzione. Calcola la forza per unità di lunghezza che agisce su ciascun filo.
• Soluzione:

  \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4 \cdot 4}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{64 \times 10^{-7}}{0.6} = \frac{64}{0.6} \times 10^{-7} \approx 1.067 \times 10^{-5} \, N/m.

  $$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4 \cdot 4}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{64 \times 10^{-7}}{0.6} = \frac{64}{0.6} \times 10^{-7} \approx 1.067 \times 10^{-5} \, N/m.$$

Esercizio 4: Potenza Dissipata in un Filo

• Un filo ha una resistenza di 10 Ω e trasporta una corrente di 2 A. Calcola la potenza dissipata nel filo.
• Soluzione:

  P = I^2 R = (2)^2 \cdot 10 = 4 \cdot 10 = 40 \, W.

  $$P = I^2 R = (2)^2 \cdot 10 = 4 \cdot 10 = 40 \, W.$$

Esercizio 5: Campo Magnetico di un Filo Curvo

• Un filo curvo forma un semicerchio di raggio r = 0.1 m e trasporta una corrente di I = 3 A. Calcola il campo magnetico al centro del semicerchio.
• Soluzione:
  • Il campo magnetico al centro di un semicerchio è dato dalla formula:

  B = \frac{\mu_0 I}{4r}

  $$B = \frac{\mu_0 I}{4r}$$
  • Sostituendo i valori:

  B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3}{4 \cdot 0.1} = \frac{12\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 30\pi \times 10^{-7} \, T.

  $$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3}{4 \cdot 0.1} = \frac{12\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 30\pi \times 10^{-7} \, T.$$
  • Calcolando il valore numerico:

  B \approx 30 \cdot 3.14 \times 10^{-7} \approx 9.42 \times 10^{-6} \, T \approx 9.42 \, \mu T.

  $$B \approx 30 \cdot 3.14 \times 10^{-7} \approx 9.42 \times 10^{-6} \, T \approx 9.42 \, \mu T.$$

Esercizio 6: Forza su un Filo in un Campo Magnetico

• Un filo lungo 0.75 m trasporta una corrente di 5 A e si trova in un campo magnetico di 0.3 T. Calcola la forza che agisce sul filo se il campo è inclinato di 30° rispetto alla direzione della corrente.
• Soluzione:

  F = I L B \sin(\theta) = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.3 \cdot \sin(30^\circ).

  $$F = I L B \sin(\theta) = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.3 \cdot \sin(30^\circ).$$
  • Poiché \sin(30^\circ) = 0.5$\sin(30^\circ) = 0.5$:

  F = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.3 \cdot 0.5 = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.15 = 0.5625 \, N.

  $$F = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.3 \cdot 0.5 = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.15 = 0.5625 \, N.$$

Esercizio 7: Campo Magnetico di Fili Paralleli

• Due fili paralleli, separati da 0.2 m, trasportano correnti di 10 A nella stessa direzione. Calcola il campo magnetico totale a un punto situato a 0.1 m sopra il filo superiore.
• Soluzione:
  • Calcoliamo il campo magnetico generato da ciascun filo al punto considerato.
  • Per il filo superiore (a distanza r_1 = 0.1 m$r_1 = 0.1 m$):

  B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.1} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.2} = 2 \times 10^{-5} \, T.

  $$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.1} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.2} = 2 \times 10^{-5} \, T.$$
  • Per il filo inferiore (a distanza r_2 = 0.3 m$r_2 = 0.3 m$):

  B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.6} \approx 6.67 \times 10^{-6} \, T.

  $$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.6} \approx 6.67 \times 10^{-6} \, T.$$
  • Poiché i campi sono nella stessa direzione (entrambi verso l'alto), il campo magnetico totale B_{tot}$B_{tot}$ è:

  B_{tot} = B_1 + B_2 = 2 \times 10^{-5} + 6.67 \times 10^{-6} \approx 2.67 \times 10^{-5} \, T.

  $$B_{tot} = B_1 + B_2 = 2 \times 10^{-5} + 6.67 \times 10^{-6} \approx 2.67 \times 10^{-5} \, T.$$

English version

Exercises on a wire carrying an electric current

Wires carrying an electric current generate electric and magnetic fields, and there are several concepts and formulas that we can use to solve exercises on this topic. Here are some fundamental concepts and some practical exercises.

Fundamental Concepts

1. Ampère's Law: Ampère's Law describes the relationship between the electric current flowing in a wire and the magnetic field it generates. For an infinite straight wire, the magnetic field B at a distance r from the wire is given by:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

where:

• \mu_0$\mu_0$ is the permeability of vacuum 4\pi \times 10^{-7}$4\pi \times 10^{-7}$T \cdot m/A$T \cdot m/A$,
• I is the current in amperes,
• r is the distance from the wire.

2. Force on a Wire in a Magnetic Field: The force F acting on a wire of length L carrying a current I in a magnetic field B is given by:

F = I L B \sin(\theta)

$$F = I L B \sin(\theta)$$

where \theta$\theta$ is the angle between the direction of the current and the direction of the magnetic field.

3. Energy in a Wire: The electrical energy dissipated in a resistive wire is given by the formula:

P = I^2 R

$$P = I^2 R$$

where P is the power in watts, I is the current in amperes, and R is the resistance in ohms.

Exercises

Exercise 1: Magnetic Field of a Wire

• A straight wire carries a current of 5 A. Calculate the magnetic field at a distance of 0.1 m from the wire.
• Solution:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{2\pi \cdot 0.1} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0.2} = 1 \times 10^{-6} \, T = 1 \, \mu T.

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{2\pi \cdot 0.1} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0.2} = 1 \times 10^{-6} \, T = 1 \, \mu T.$$

Exercise 2: Force on a Wire in a Magnetic Field

• A 0.5 m long wire carries a current of 3 A and is in a magnetic field of 0.2 T. Calculate the force acting on the wire if the field is perpendicular to the current.
• Solution:

F = I L B \sin(90^\circ) = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.2 \cdot 1 = 0.3 \, N.

$$F = I L B \sin(90^\circ) = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.2 \cdot 1 = 0.3 \, N.$$

Exercise 3: Force Between Parallel Wires

• Two parallel wires, separated by 0.3 m, carry currents of 4 A in the same direction. Calculate the force per unit length acting on each wire.
• Solution:

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4 \cdot 4}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{64 \times 10^{-7}}{0.6} = \frac{64}{0.6} \times 10^{-7} \approx 1.067 \times 10^{-5} \, N/m.

$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4 \cdot 4}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{64 \times 10^{-7}}{0.6} = \frac{64}{0.6} \times 10^{-7} \approx 1.067 \times 10^{-5} \, N/m.$$

Exercise 4: Power Dissipated in a Wire

• A wire has a resistance of 10 Ω and carries a current of 2 A. Calculate the power dissipated in the wire.
• Solution:

P = I^2 R = (2)^2 \cdot 10 = 4 \cdot 10 = 40 \, W.

$$P = I^2 R = (2)^2 \cdot 10 = 4 \cdot 10 = 40 \, W.$$

Exercise 5: Magnetic Field of a Curved Wire

• A curved wire forms a semicircle of radius r = 0.1 m and carries a current of I = 3 A. Calculate the magnetic field at the center of the semicircle.
• Solution:
• The magnetic field at the center of a semicircle is given by the formula:

B = \frac{\mu_0 I}{4r}

$$B = \frac{\mu_0 I}{4r}$$

• Substituting the values:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3}{4 \cdot 0.1} = \frac{12\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 30\pi \times 10^{-7} \, T.

$$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3}{4 \cdot 0.1} = \frac{12\pi \times 10^{-7}}{0.4} = 30\pi \times 10^{-7} \, T.$$

• Calculating the numerical value:

B \approx 30 \cdot 3.14 \times 10^{-7} \approx 9.42 \times 10^{-6} \, T \approx 9.42 \, \mu T.

$$B \approx 30 \cdot 3.14 \times 10^{-7} \approx 9.42 \times 10^{-6} \, T \approx 9.42 \, \mu T.$$

Exercise 6: Force on a Wire in a Field Magnetic

• A 0.75 m long wire carries a current of 5 A and is in a 0.3 T magnetic field. Calculate the force acting on the wire if the field is inclined 30° to the direction of the current.
• Solution:

F = I L B \sin(\theta) = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.3 \cdot \sin(30^\circ).

$$F = I L B \sin(\theta) = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.3 \cdot \sin(30^\circ).$$

• Since \sin(30^\circ) = 0.5$\sin(30^\circ) = 0.5$:

F = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.3 \cdot 0.5 = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.15 = 0.5625 \, N.

$$F = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.3 \cdot 0.5 = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.15 = 0.5625 \, N.$$

Exercise 7: Magnetic Field of Parallel Wires

• Two parallel wires, separated by 0.2 m, carry currents of 10 A in the same direction. Calculate the total magnetic field at a point located 0.1 m above the upper wire.
• Solution:
• Let's calculate the magnetic field generated by each wire at the point considered.
• For the upper thread (at distance r_1 = 0.1 m$r_1 = 0.1 m$):

B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.1} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.2} = 2 \times 10^{-5} \, T 

$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.1} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.2} = 2 \times 10^{-5} \, T$$

• For the lower thread (at distance r_2 = 0.3 m$r_2 = 0.3 m$):

 B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.6} \approx 6.67 \times 10^{-6} \, T.

$$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0.3} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.6} \approx 6.67 \times 10^{-6} \, T.$$

• Since the fields are in the same direction (both upward), the total magnetic field B_{tot}$B_{tot}$ is:

B_{tot} = B_1 + B_2 = 2 \times 10^{-5} + 6.67 \times 10^{-6} \approx 2.67 \times 10^{-5} \, T.

$$B_{tot} = B_1 + B_2 = 2 \times 10^{-5} + 6.67 \times 10^{-6} \approx 2.67 \times 10^{-5} \, T.$$