Moto parabolico

Moto parabolico

Il moto parabolico (o moto del proiettile) è un concetto fondamentale della fisica classica, che descrive il movimento di un corpo lanciato in presenza della gravità, trascurando la resistenza dell’aria. ### Concetto Base

Si tratta di un moto bidimensionale (nel piano) risultante dalla combinazione di due movimenti indipendenti:

1. Moto rettilineo uniforme lungo l’asse orizzontale (x).
2. Moto uniformemente accelerato lungo l’asse verticale (y), con accelerazione pari a g (accelerazione di gravità, verso il basso, ≈ 9.81 m/s²).

Condizioni ideali (ipotesi semplificative)

• L’attrito dell’aria è trascurabile.
• L’accelerazione di gravità g è costante in modulo, direzione e verso (campo gravitazionale uniforme).
• La rotazione della Terra e la curvatura terrestre sono trascurabili.

Equazioni del Moto

Consideriamo un corpo lanciato dall’origine (0,0) con velocità iniziale v₀ che forma un angolo θ con l’orizzontale.

• Componenti della velocità iniziale:
  • \(v_{0x} = v_0 \cdot \cos\theta\) (costante nel tempo)
  • \(v_{0y} = v_0 \cdot \sin\theta\)
• Leggi orarie (posizione in funzione del tempo t):
  • Ascissa x: \(x(t) = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos\theta \cdot t\)
  • Ordinata y: \(y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2\)
• Componenti della velocità all’istante t:
  • \(v_x(t) = v_{0x}\) (costante)
  • \(v_y(t) = v_{0y} - g t\)
• Equazione della traiettoria (ricavando t da x(t) e sostituendo in y(t)): \[ y(x) = (\tan\theta) \cdot x - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} \cdot x^2 \] È l’equazione di una parabola con la concavità rivolta verso il basso.

Grandezze Caratteristiche

1. Gittata (distanza orizzontale massima): \[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \]
   • Massima per θ = 45° (se l’altezza di partenza e arrivo sono uguali).
   • Per due angoli complementari (es. 30° e 60°), si ottiene la stessa gittata (a parità di v₀).
2. Altezza massima (apice della parabola): \[ H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \]
   • Si raggiunge quando la componente verticale della velocità si annulla: \(v_y = 0\).
3. Tempo di volo totale (se partenza e arrivo sono alla stessa quota): \[ T = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g} \]

Proprietà Importanti

• Simmetria: La traiettoria è simmetrica rispetto al punto di massima altezza (se le quote di partenza e arrivo coincidono).
• Indipendenza dei moti: Il moto orizzontale e quello verticale sono completamente indipendenti. Questo spiega perché, se si spara orizzontalmente un proiettile e contemporaneamente si lascia cadere un oggetto dalla stessa altezza, toccano terra nello stesso istante.
• Velocità minima all’apice: Nel punto più alto, la velocità è minima ed è puramente orizzontale: \(v_{min} = v_0 \cos\theta\).

Esempi Pratici

• Un pallone calciato verso la porta.
• Una palla che rimbalza dopo un tiro a canestro.
• Un tuffatore che si lancia dal trampolino.
• In prima approssimazione, il moto di una pallottola (trascurando l’attrito).

Estensioni

Nella realtà, la resistenza dell’aria modifica significativamente la traiettoria, che non è più parabolica ma diventa asimmetrica (la parte discendente è più ripida) e riduce gittata e altezza. Per analisi precise (proiettili, razzi) serve un modello più complesso.

Riassunto Schematico

Caratteristica	Formula	Condizione/Osservazione
Posizione x	\(x = v_0 \cos\theta \cdot t\)	Moto orizzontale uniforme
Posizione y	\(y = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2\)	Moto verticale accelerato
Gittata R	\(R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}\)	Massima per θ=45°
Altezza max H	\(H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}\)	Nel punto di apice \(v_y=0\)
Tempo di volo T	\(T = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}\)	Per y finale = y iniziale

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