Esercizi sull'Ortocentro in Geometria

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Versione italiana

Esercizi sull’Ortocentro in Geometria

L’ortocentro è uno dei punti notevoli di un triangolo. È il punto di intersezione delle altezze del triangolo. Le altezze sono segmenti perpendicolari tracciati da ciascun vertice alla retta opposta.

Concetti Chiave

1. Definizione di Ortocentro: L’ortocentro di un triangolo è il punto in cui si incontrano le tre altezze del triangolo.

2. Altezza: L’altezza di un triangolo è un segmento che parte da un vertice e incontra il lato opposto (o il prolungamento di esso) in un angolo retto.

3. Coordinate dell’Ortocentro: Se i vertici del triangolo sono A(x_1, y_1)$A(x_1, y_1)$, B(x_2, y_2)$B(x_2, y_2)$, e C(x_3, y_3)$C(x_3, y_3)$, le coordinate dell’ortocentro H(x_H, y_H)$H(x_H, y_H)$ possono essere calcolate utilizzando le seguenti formule:
   x_H = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} $x_H = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
   y_H = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} $y_H = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

   Tuttavia, queste formule sono valide solo per triangoli equilateri. Per triangoli generali, è necessario calcolare le altezze e trovare il punto di intersezione.

Esercizi

Esercizio 1: Trovare l’Ortocentro di un Triangolo

Problema: Trova l’ortocentro del triangolo con vertici A(1, 2)$A(1, 2)$, B(4, 6)$B(4, 6)$, e C(5, 1)$C(5, 1)$.

Soluzione:

1. Calcola le pendenze dei lati:

   • Lato AB$AB$:
     m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} $m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}$
   • Lato BC$BC$:
     m_{BC} = \frac{1 - 6}{5 - 4} = -5 $m_{BC} = \frac{1 - 6}{5 - 4} = -5$
   • Lato CA$CA$:
     m_{CA} = \frac{2 - 1}{1 - 5} = -\frac{1}{4} $m_{CA} = \frac{2 - 1}{1 - 5} = -\frac{1}{4}$

2. Calcola le pendenze delle altezze (le altezze sono perpendicolari ai lati):

   • Altezza da C$C$ (perpendicolare a AB$AB$):
     m_{h_C} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{3}{4} $m_{h_C} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{3}{4}$
   • Altezza da A$A$ (perpendicolare a BC$BC$):
     m_{h_A} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{5} $m_{h_A} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{5}$

3. Trova le equazioni delle altezze:

   • Equazione dell’altezza da C(5, 1)$C(5, 1)$:
     y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 5) \implies y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} + 1 = -\frac{3}{4}x + \frac{19}{4} $y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 5) \implies y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} + 1 = -\frac{3}{4}x + \frac{19}{4}$
   • Equazione dell’altezza da A(1, 2)$A(1, 2)$:
     y - 2 = \frac{1}{5}(x - 1) \implies y = \frac{1}{5}x + \frac{9}{5} $y - 2 = \frac{1}{5}(x - 1) \implies y = \frac{1}{5}x + \frac{9}{5}$

4. Trova l’intersezione delle due altezze:
   Eguagliamo le due equazioni:
   -\frac{3}{4}x + \frac{19}{4} = \frac{1}{5}x + \frac{9}{5} $-\frac{3}{4}x + \frac{19}{4} = \frac{1}{5}x + \frac{9}{5}$

   Moltiplichiamo per 20 per eliminare i denominatori:
   -15x + 95 = 4x + 36 $-15x + 95 = 4x + 36$
   Risolvendo otteniamo:
   -19x = -59 $-19x = -59$

   Risolvendo per x$x$:
   x = \frac{59}{19} \approx 3.11 $x = \frac{59}{19} \approx 3.11$

5. Sostituisci x$x$ in una delle equazioni per trovare y$y$:
   Utilizziamo l’equazione dell’altezza da A$A$:
   y = \frac{1}{5}\left(\frac{59}{19}\right) + \frac{9}{5} $y = \frac{1}{5}\left(\frac{59}{19}\right) + \frac{9}{5}$

   Calcoliamo:
   y = \frac{59}{95} + \frac{171}{95} = \frac{230}{95} = \frac{46}{19} \approx 2.42 $y = \frac{59}{95} + \frac{171}{95} = \frac{230}{95} = \frac{46}{19} \approx 2.42$

6. L’ortocentro H$H$ del triangolo è quindi:
   H\left(\frac{59}{19}, \frac{46}{19}\right) \approx H(3.11, 2.42) $H\left(\frac{59}{19}, \frac{46}{19}\right) \approx H(3.11, 2.42)$

Esercizio 2: Verificare la posizione dell’Ortocentro

Problema: Considera un triangolo rettangolo con vertici A(0, 0)$A(0, 0)$, B(0, 4)$B(0, 4)$, e C(3, 0)$C(3, 0)$. Trova l’ortocentro e verifica se coincide con un vertice.

Soluzione:

1. Identifica il triangolo rettangolo: In questo caso, l’angolo retto è in $ A(0, 0) $.

2. L’ortocentro di un triangolo rettangolo è il vertice dell’angolo retto. Quindi, in questo caso, l’ortocentro è:
   H(0, 0) $H(0, 0)$

Esercizio 3: Calcolare l’area del triangolo usando l’ortocentro

Problema: Calcola l’area del triangolo con vertici A(1, 1)$A(1, 1)$, B(4, 5)$B(4, 5)$, e C(6, 1)$C(6, 1)$ utilizzando l’ortocentro.

Soluzione:

1. Trova l’ortocentro come nel primo esercizio. Supponiamo di aver trovato l’ortocentro H(h_x, h_y)$H(h_x, h_y)$.

2. Calcola l’area del triangolo usando la formula:
   \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| $\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$

   Sostituendo i punti A(1, 1)$A(1, 1)$, B(4, 5)$B(4, 5)$, e C(6, 1)$C(6, 1)$:
   \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(5 - 1) + 4(1 - 1) + 6(1 - 5) \right| $\text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(5 - 1) + 4(1 - 1) + 6(1 - 5) \right|$
   = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 4 + 0 - 6 \cdot 4 \right| = \frac{1}{2} \left| 4 - 24 \right| = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 $= \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 4 + 0 - 6 \cdot 4 \right| = \frac{1}{2} \left| 4 - 24 \right| = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$

L’area del triangolo è quindi 10$10$ unità quadrate.

English version

Orthocenter Exercises in Geometry

The orthocenter is one of the notable points of a triangle. It is the point of intersection of the altitudes of the triangle. The altitudes are perpendicular segments drawn from each vertex to the opposite line.

Key Concepts

1. Definition of Orthocenter: The orthocenter of a triangle is the point where the three altitudes of the triangle meet.

2. Altitude: The altitude of a triangle is a segment that starts from a vertex and meets the opposite side (or the extension of it) in a right angle.

3. Orthocenter Coordinates: If the vertices of the triangle are A(x_1, y_1)$A(x_1, y_1)$, B(x_2, y_2)$B(x_2, y_2)$, and C(x_3, y_3)$C(x_3, y_3)$, the orthocenter coordinates H(x_H, y_H)$H(x_H, y_H)$ can be calculated using the following formulas:
   x_H = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} $x_H = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
   y_H = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} $y_H = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

However, these formulas are only valid for equilateral triangles. For general triangles, you need to calculate the altitudes and find the intersection point.

Exercises

Exercise 1: Finding the Orthocenter of a Triangle

Problem: Find the orthocenter of the triangle with vertices A(1, 2)$A(1, 2)$, B(4, 6)$B(4, 6)$, and C(5, 1)$C(5, 1)$.

Solution:

1. Calculate the slopes of the sides:

• Side AB$AB$:
  m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} $m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}$
• Side BC$BC$:
  m_{BC} = \frac{1 - 6}{5 - 4} = -5 $m_{BC} = \frac{1 - 6}{5 - 4} = -5$
• Side CA$CA$:
  m_{CA} = \frac{2 - 1}{1 - 5} = -\frac{1}{4} $m_{CA} = \frac{2 - 1}{1 - 5} = -\frac{1}{4}$

2. Calculate the slopes of the heights (the heights are perpendicular to the sides):

• Height from C$C$ (perpendicular to AB$AB$):
  m_{h_C} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{3}{4} $m_{h_C} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{3}{4}$
• Height from A$A$ (perpendicular to BC$BC$):
  m_{h_A} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{5} $m_{h_A} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{5}$

3. Find the height equations:

• Height equation from C(5, 1)$C(5, 1)$:
  y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 5) \implies y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} + 1 = -\frac{3}{4}x + \frac{19}{4} $y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 5) \implies y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} + 1 = -\frac{3}{4}x + \frac{19}{4}$
• Height equation from A(1, 2)$A(1, 2)$:
  y - 2 = \frac{1}{5}(x - 1) \implies y = \frac{1}{5}x + \frac{9}{5} $y - 2 = \frac{1}{5}(x - 1) \implies y = \frac{1}{5}x + \frac{9}{5}$

4. Find the intersection of the two altitudes:
   Let’s equate the two equations:
   -\frac{3}{4}x + \frac{19}{4} = \frac{1}{5}x + \frac{9}{5} $-\frac{3}{4}x + \frac{19}{4} = \frac{1}{5}x + \frac{9}{5}$

Let’s multiply by 20 to eliminate the denominators:
-15x + 95 = 4x + 36 $-15x + 95 = 4x + 36$
Solving gives:
-19x = -59 $-19x = -59$

Solving for x$x$:
x = \frac{59}{19} \approx 3.11 $x = \frac{59}{19} \approx 3.11$

5. Substitute x$x$ into one of the equations to find y$y$:
   Let’s use the altitude equation from A$A$:
   y = \frac{1}{5}\left(\frac{59}{19}\right) + \frac{9}{5} $y = \frac{1}{5}\left(\frac{59}{19}\right) + \frac{9}{5}$

Let’s calculate:
y = \frac{59}{95} + \frac{171}{95} = \frac{230}{95} = \frac{46}{19} \approx 2.42 $y = \frac{59}{95} + \frac{171}{95} = \frac{230}{95} = \frac{46}{19} \approx 2.42$

6. The orthocenter H$H$ of the triangle is therefore:
   H\left(\frac{59}{19}, \frac{46}{19}\right) \approx H(3.11, 2.42) $H\left(\frac{59}{19}, \frac{46}{19}\right) \approx H(3.11, 2.42)$

Exercise 2: Verify the position of the Orthocenter

Problem: Consider a right-angled triangle with vertices A(0, 0)$A(0, 0)$, B(0, 4)$B(0, 4)$, and C(3, 0)$C(3, 0)$. Find the orthocenter and verify if it coincides with a vertex.

Solution:

1. Identify the right triangle: In this case, the right angle is in $ A(0, 0) $.

2. The orthocenter of a right triangle is the vertex of the right angle. So, in this case, the orthocenter is:
   H(0, 0) $H(0, 0)$

Exercise 3: Calculate the area of ​​the triangle using the orthocenter

Problem: Calculate the area of ​​the triangle with vertices A(1, 1)$A(1, 1)$, B(4, 5)$B(4, 5)$, and C(6, 1)$C(6, 1)$ using the orthocenter.

Solution:

1. Find the orthocenter as in the first exercise. Suppose we have found the orthocenter H(h_x, h_y)$H(h_x, h_y)$.

2. Calculate the area of ​​the triangle using the formula:
   \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| $\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$

Substituting the points A(1, 1)$A(1, 1)$, B(4, 5)$B(4, 5)$, and C(6, 1)$C(6, 1)$:
$
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(5 - 1) + 4(1 - 1) + 6(1 - 5) \right|
$
= \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 4 + 0 - 6 \cdot 4 \right| = \frac{1}{2} \left| 4 - 24 \right| = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 $= \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 4 + 0 - 6 \cdot 4 \right| = \frac{1}{2} \left| 4 - 24 \right| = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$

The area of ​​the triangle is therefore 10$10$ square units.