Esercizi sullo strato limite

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Versione italiana

Esercizi sullo strato limite

Strato Limite

Lo strato limite è una regione di un fluido vicino a una superficie solida in cui gli effetti della viscosità sono significativi. In questa zona, la velocità del fluido varia da zero (alla superficie) fino a raggiungere il valore del flusso libero. Comprendere lo strato limite è fondamentale in fluidodinamica, specialmente per applicazioni ingegneristiche come il design di aerei, automobili e condotti.

Concetti Chiave

1. Strato Limite: La regione in cui la velocità del fluido cambia a causa della viscosità. La velocità del fluido alla superficie è zero a causa della condizione di no-slip.

2. Spessore dello Strato Limite: Lo spessore dello strato limite, denotato come \delta$\delta$, è la distanza dalla superficie fino a cui la velocità del fluido raggiunge circa il 99% della velocità del flusso libero.

3. Equazione di Navier-Stokes: Le equazioni fondamentali che governano il moto dei fluidi, che possono essere semplificate per analizzare il flusso nello strato limite.

4. Forza di Attrito: La forza di attrito viscoso che agisce sulla superficie è data da:

   F_d = \tau_w A $F_d = \tau_w A$

   dove \tau_w$\tau_w$ è la tensione di taglio alla superficie e A$A$ è l’area della superficie.

Esercizio 1: Calcolo dello Spessore dello Strato Limite

Problema: Un fluido con viscosità \mu = 0.001 \, \text{Pa} \cdot \text{s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa} \cdot \text{s}$ scorre su una piastra piatta con una velocità del flusso libero U = 5 \, \text{m/s}$U = 5 \, \text{m/s}$. Calcola lo spessore dello strato limite per un flusso laminare.

Soluzione:

1. Per un flusso laminare su una piastra piatta, lo spessore dello strato limite può essere approssimato dalla formula:

   \delta \approx 5 \frac{\mu x}{\rho U} $\delta \approx 5 \frac{\mu x}{\rho U}$

   dove x$x$ è la distanza dalla parte anteriore della piastra, \rho$\rho$ è la densità del fluido.

2. Supponiamo che la densità del fluido sia \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ e che x = 0.5 \, \text{m}$x = 0.5 \, \text{m}$:

   \delta \approx 5 \frac{0.001 \cdot 0.5}{1000 \cdot 5} = 5 \frac{0.0005}{5000} = 5 \cdot 10^{-7} \, \text{m} = 0.5 \, \text{mm} $\delta \approx 5 \frac{0.001 \cdot 0.5}{1000 \cdot 5} = 5 \frac{0.0005}{5000} = 5 \cdot 10^{-7} \, \text{m} = 0.5 \, \text{mm}$

3. Lo spessore dello strato limite è quindi 0.5 \, \text{mm}$0.5 \, \text{mm}$.

Esercizio 2: Calcolo della Tensione di Taglio

Problema: Utilizzando i dati dell’esercizio precedente, calcola la tensione di taglio alla superficie della piastra.

Soluzione:

1. La tensione di taglio alla superficie è data da:

   \tau_w = \mu \left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0} $\tau_w = \mu \left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0}$

   dove \frac{du}{dy}$\frac{du}{dy}$ è il gradiente di velocità nello strato limite.

2. Per un flusso laminare su una piastra piatta, il gradiente di velocità può essere approssimato come:

   \left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0} \approx \frac{U}{\delta} $\left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0} \approx \frac{U}{\delta}$

3. Sostituendo i valori:

   \tau_w = \mu \frac{U}{\delta} = 0.001 \cdot \frac{5}{0.0005} = 10 \, \text{Pa} $\tau_w = \mu \frac{U}{\delta} = 0.001 \cdot \frac{5}{0.0005} = 10 \, \text{Pa}$

4. La tensione di taglio alla superficie è quindi 10 \, \text{Pa}$10 \, \text{Pa}$.

Esercizio 3: Flusso Turbolento e Strato Limite

Problema: Considera un flusso turbolento su una piastra piatta. Se la velocità del flusso libero è U = 10 \, \text{m/s}$U = 10 \, \text{m/s}$ e la viscosità del fluido è \mu = 0.001 \, \text{Pa} \cdot \text{s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa} \cdot \text{s}$, calcola lo spessore dello strato limite turbolento utilizzando la formula empirica:

\delta_t \approx 0.37 x \left( \frac{U}{\nu} \right)^{-1/5} $\delta_t \approx 0.37 x \left( \frac{U}{\nu} \right)^{-1/5}$

dove \nu = \frac{\mu}{\rho}$\nu = \frac{\mu}{\rho}$ è la cinematica del fluido.

Soluzione:

1. Supponiamo che la densità del fluido sia \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$. Calcoliamo la cinematica \nu$\nu$:

\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{0.001}{1000} = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} $\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{0.001}{1000} = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}$

2. Scegliamo una distanza dalla parte anteriore della piastra, ad esempio x = 1 \, \text{m}$x = 1 \, \text{m}$.

3. Sostituiamo i valori nella formula per calcolare lo spessore dello strato limite turbolento:

\delta_t \approx 0.37 \cdot 1 \cdot \left( \frac{10}{1 \times 10^{-6}} \right)^{-1/5} $\delta_t \approx 0.37 \cdot 1 \cdot \left( \frac{10}{1 \times 10^{-6}} \right)^{-1/5}$

4. Calcoliamo:

\delta_t \approx 0.37 \cdot \left( 10^6 \right)^{-1/5} = 0.37 \cdot 10^{-6/5} = 0.37 \cdot 10^{-1.2} \approx 0.37 \cdot 0.063 = 0.0233 \, \text{m} \approx 23.3 \, \text{mm} $\delta_t \approx 0.37 \cdot \left( 10^6 \right)^{-1/5} = 0.37 \cdot 10^{-6/5} = 0.37 \cdot 10^{-1.2} \approx 0.37 \cdot 0.063 = 0.0233 \, \text{m} \approx 23.3 \, \text{mm}$

5. Lo spessore dello strato limite turbolento è quindi circa 23.3 \, \text{mm}$23.3 \, \text{mm}$.

English version

Boundary Layer Exercises

Boundary Layer

The boundary layer is a region of a fluid near a solid surface where the effects of viscosity are significant. In this region, the velocity of the fluid varies from zero (at the surface) to the free-stream velocity. Understanding the boundary layer is fundamental in fluid dynamics, especially for engineering applications such as aircraft, automobile, and duct design.

Key Concepts

1. Boundary Layer: The region in which the velocity of the fluid changes due to viscosity. The velocity of the fluid at the surface is zero due to the no-slip condition.

2. Boundary Layer Thickness: The boundary layer thickness, denoted as \delta$\delta$, is the distance from the surface up to which the velocity of the fluid reaches approximately 99% of the free-stream velocity.

3. Navier-Stokes Equation: The fundamental equations governing fluid motion, which can be simplified to analyze boundary layer flow.

4. Friction Force: The viscous friction force acting on the surface is given by:

F_d = \tau_w A $F_d = \tau_w A$

where \tau_w$\tau_w$ is the shear stress at the surface and A$A$ is the surface area.

Exercise 1: Calculating the Boundary Layer Thickness

Problem: A fluid with viscosity \mu = 0.001 \, \text{Pa} \cdot \text{s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa} \cdot \text{s}$ flows over a flat plate with a free stream velocity U = 5 \, \text{m/s}$U = 5 \, \text{m/s}$. Calculate the boundary layer thickness for laminar flow.

Solution:

1. For laminar flow on a flat plate, the boundary layer thickness can be approximated by the formula:

\delta \approx 5 \frac{\mu x}{\rho U} $\delta \approx 5 \frac{\mu x}{\rho U}$

where x$x$ is the distance from the front of the plate, \rho$\rho$ is the density of the fluid.

2. Suppose that the density of the fluid is \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ and that x = 0.5 \, \text{m}$x = 0.5 \, \text{m}$:

\delta \approx 5 \frac{0.001 \cdot 0.5}{1000 \cdot 5} = 5 \frac{0.0005}{5000} = 5 \cdot 10^{-7} \, \text{m} = 0.5 \, \text{mm} $\delta \approx 5 \frac{0.001 \cdot 0.5}{1000 \cdot 5} = 5 \frac{0.0005}{5000} = 5 \cdot 10^{-7} \, \text{m} = 0.5 \, \text{mm}$

3. The thickness of the boundary layer is then 0.5 \, \text{mm}$0.5 \, \text{mm}$.

Exercise 2: Calculating Shear Stress

Problem: Using the data from the previous exercise, calculate the shear stress at the surface of the plate.

Solution:

1. The shear stress at the surface is given by:

\tau_w = \mu \left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0} $\tau_w = \mu \left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0}$

where \frac{du}{dy}$\frac{du}{dy}$ is the velocity gradient in the boundary layer.

2. For laminar flow over a flat plate, the velocity gradient can be approximated as:

\left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0} \approx \frac{U}{\delta} $\left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0} \approx \frac{U}{\delta}$

3. Substituting the values:

\tau_w = \mu \frac{U}{\delta} = 0.001 \cdot \frac{5}{0.0005} = 10 \, \text{Pa} $\tau_w = \mu \frac{U}{\delta} = 0.001 \cdot \frac{5}{0.0005} = 10 \, \text{Pa}$

4. The shear stress at the surface is then 10 \, \text{Pa}$10 \, \text{Pa}$.

Exercise 3: Turbulent Flow and Boundary Layer

Problem: Consider a turbulent flow on a flat plate. If the free stream velocity is U = 10 \, \text{m/s}$U = 10 \, \text{m/s}$ and the fluid viscosity is \mu = 0.001 \, \text{Pa} \cdot \text{s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa} \cdot \text{s}$, calculate the thickness of the turbulent boundary layer using the empirical formula:

\delta_t \approx 0.37 x \left( \frac{U}{\nu} \right)^{-1/5} $\delta_t \approx 0.37 x \left( \frac{U}{\nu} \right)^{-1/5}$

where \nu = \frac{\mu}{\rho}$\nu = \frac{\mu}{\rho}$ is the kinematics of the fluid.

Solution:

1. Suppose that the fluid density is \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$. Let’s calculate the kinematics \nu$\nu$:

\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{0.001}{1000} = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} $\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{0.001}{1000} = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}$

2. Let’s choose a distance from the front of the plate, for example x = 1 \, \text{m}$x = 1 \, \text{m}$.

3. Substitute the values ​​in the formula to calculate the thickness of the turbulent boundary layer:

\delta_t \approx 0.37 \cdot 1 \cdot \left( \frac{10}{1 \times 10^{-6}} \right)^{-1/5} $\delta_t \approx 0.37 \cdot 1 \cdot \left( \frac{10}{1 \times 10^{-6}} \right)^{-1/5}$

4. Calculate:

\delta_t \approx 0.37 \cdot \left( 10^6 \right)^{-1/5} = 0.37 \cdot 10^{-6/5} = 0.37 \cdot 10^{-1.2} \approx 0.37 \cdot 0.063 = 0.0233 \, \text{m} \approx 23.3 \, \text{mm} $\delta_t \approx 0.37 \cdot \left( 10^6 \right)^{-1/5} = 0.37 \cdot 10^{-6/5} = 0.37 \cdot 10^{-1.2} \approx 0.37 \cdot 0.063 = 0.0233 \, \text{m} \approx 23.3 \, \text{mm}$

5. The thickness of the turbulent boundary layer is therefore about 23.3 \, \text{mm}$23.3 \, \text{mm}$.