Esercizi sull'Equazione di Poisson

Esercizi sull'Equazione di Poisson

+Esercizi sull'Equazione di Poisson

Versione italiana

Esercizi sull’Equazione di Poisson

Equazione di Poisson

L’equazione di Poisson è un’importante equazione differenziale parziale in fisica e ingegneria, utilizzata per descrivere fenomeni come il campo elettrico e il potenziale gravitazionale. È espressa come:

\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0} $\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$

dove:

• \nabla^2$\nabla^2$ è l’operatore laplaciano,
• \phi$\phi$ è il potenziale (elettrico o gravitazionale),
• \rho$\rho$ è la densità di carica (o massa),
• \epsilon_0$\epsilon_0$ è la permittività del vuoto (nel caso elettrico).

Esercizio 1: Campo Elettrico da una Carica Puntiforme

Problema: Calcola il potenziale elettrico \phi$\phi$ a una distanza r$r$ da una carica puntiforme Q$Q$.

Soluzione:

1. La densità di carica per una carica puntiforme è data da:

\rho = Q \delta(\mathbf{r}) $\rho = Q \delta(\mathbf{r})$

dove \delta$\delta$ è la funzione delta di Dirac.

2. Sostituiamo \rho$\rho$ nell’equazione di Poisson:

\nabla^2 \phi = -\frac{Q \delta(\mathbf{r})}{\epsilon_0} $\nabla^2 \phi = -\frac{Q \delta(\mathbf{r})}{\epsilon_0}$

3. La soluzione per il potenziale elettrico \phi$\phi$ a una distanza r$r$ dalla carica è:

\phi(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} $\phi(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r}$

Esercizio 2: Potenziale in una Cavità Sferica

Problema: Considera una cavità sferica di raggio R$R$ in un materiale con densità di carica uniforme \rho_0$\rho_0$. Calcola il potenziale \phi$\phi$ all’interno della cavità.

Soluzione:

1. All’interno della cavità, la densità di carica è zero, quindi l’equazione di Poisson diventa:

\nabla^2 \phi = 0 $\nabla^2 \phi = 0$

2. La soluzione generale per questa equazione è:

\phi(r) = A + \frac{B}{r} $\phi(r) = A + \frac{B}{r}$

dove A$A$ e B$B$ sono costanti da determinare.

3. Utilizzando le condizioni al contorno (ad esempio, il potenziale deve essere continuo e finito all’origine), possiamo determinare A$A$ e B$B$.

Esercizio 3: Campo Gravitazionale

Problema: Calcola il potenziale gravitazionale \phi$\phi$ a una distanza r$r$ da una massa puntiforme M$M$.

Soluzione:

1. La densità di massa per una massa puntiforme è:

\rho = M \delta(\mathbf{r}) $\rho = M \delta(\mathbf{r})$

2. Sostituiamo \rho$\rho$ nell’equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale:

\nabla^2 \phi = -\frac{M \delta(\mathbf{r})}{G} $\nabla^2 \phi = -\frac{M \delta(\mathbf{r})}{G}$

dove G$G$ è la costante di gravitazione universale.

3. La soluzione per il potenziale gravitazionale \phi$\phi$ a una distanza r$r$ dalla massa è:

\phi(r) = -\frac{GM}{r} $\phi(r) = -\frac{GM}{r}$

English version

Poisson Equation Exercises

Poisson Equation

The Poisson equation is an important partial differential equation in physics and engineering, used to describe phenomena such as the electric field and gravitational potential. It is expressed as:

\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0} $\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$

where:

• \nabla^2$\nabla^2$ is the Laplacian operator,
• \phi$\phi$ is the potential (electric or gravitational),
• \rho$\rho$ is the charge density (or mass),
• \epsilon_0$\epsilon_0$ is the permittivity of the vacuum (in the electric case).

Exercise 1: Electric Field from a Point Charge

Problem: Calculate the electric potential \phi$\phi$ at a distance r$r$ from a point charge Q$Q$.

Solution:

1. The charge density for a point charge is given by:

\rho = Q \delta(\mathbf{r}) $\rho = Q \delta(\mathbf{r})$

where \delta$\delta$ is the Dirac delta function.

2. Substitute \rho$\rho$ into the Poisson equation:

\nabla^2 \phi = -\frac{Q \delta(\mathbf{r})}{\epsilon_0} $\nabla^2 \phi = -\frac{Q \delta(\mathbf{r})}{\epsilon_0}$

3. The solution for the electric potential \phi$\phi$ at a distance r$r$ from the charge is:

\phi(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} $\phi(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r}$

Exercise 2: Potential in a Spherical Cavity

Problem: Consider a spherical cavity of radius R$R$ in a material with uniform charge density \rho_0$\rho_0$. Calculate the potential \phi$\phi$ inside the cavity.

Solution:

1. Inside the cavity, the charge density is zero, so the Poisson equation becomes:

\nabla^2 \phi = 0 $\nabla^2 \phi = 0$

2. The general solution for this equation is:

\phi(r) = A + \frac{B}{r} $\phi(r) = A + \frac{B}{r}$

where A$A$ and B$B$ are constants to be determined.

3. Using boundary conditions (for example, the potential must be continuous and finite at the origin), we can determine A$A$ and B$B$.

Exercise 3: Gravitational Field

Problem: Calculate the gravitational potential \phi$\phi$ at a distance r$r$ from a point mass M$M$.

Solution:

1. The mass density for a point mass is:

\rho = M \delta(\mathbf{r}) $\rho = M \delta(\mathbf{r})$

2. Substitute \rho$\rho$ into the Poisson equation for the gravitational potential:

\nabla^2 \phi = -\frac{M \delta(\mathbf{r})}{G} $\nabla^2 \phi = -\frac{M \delta(\mathbf{r})}{G}$

where G$G$ is the universal gravitational constant.

3. The solution for the gravitational potential \phi$\phi$ at a distance r$r$ from the mass is:

\phi(r) = -\frac{GM}{r} $\phi(r) = -\frac{GM}{r}$