Esercizi sull'Equazione di Eulero

Esercizi sull'Equazione di Eulero

Esercizi sull'Equazione di Eulero

Versione italiana

Esercizi sull’Equazione di Eulero

Equazione di Eulero

L’equazione di Eulero descrive il moto di un fluido ideale e fa parte delle equazioni di Navier-Stokes. Essa esprime la conservazione della quantità di moto per un fluido in movimento. L’equazione di Eulero per un fluido incomprimibile è data da:

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g} $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}$

dove:

• \mathbf{u}$\mathbf{u}$ è il vettore velocità del fluido,
• t$t$ è il tempo,
• \rho$\rho$ è la densità del fluido,
• p$p$ è la pressione,
• \mathbf{g}$\mathbf{g}$ è il vettore forza di gravità.

Esercizio 1: Flusso Stazionario in un Tubo

Problema: Considera un fluido che scorre in un tubo orizzontale con una sezione costante. Se la velocità del fluido è u_1$u_1$ in una sezione A_1$A_1$ e u_2$u_2$ in una sezione A_2$A_2$, e la pressione è p_1$p_1$ in A_1$A_1$ e p_2$p_2$ in A_2$A_2$, applica l’equazione di Eulero per trovare la relazione tra le pressioni.

Soluzione:

1. Poiché il flusso è stazionario e il tubo è orizzontale, possiamo trascurare il termine di gravità \mathbf{g}$\mathbf{g}$.

2. L’equazione di Eulero diventa:

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p$

3. In un flusso stazionario, il termine \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$, quindi:

(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p$

4. Applicando il teorema di Bernoulli tra le due sezioni, otteniamo:

p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2 $p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2$

Esercizio 2: Moto di un Fluido Sotto Gravità

Problema: Un fluido incomprimibile scorre verticalmente in un tubo inclinato. Se la velocità del fluido è u$u$ e la densità è \rho$\rho$, scrivi l’equazione di Eulero considerando l’effetto della gravità.

Soluzione:

1. L’equazione di Eulero per un fluido in movimento verticale è:

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g} $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}$

2. Se consideriamo un flusso stazionario, il termine \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$:

(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g} $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}$

3. In un tubo inclinato, possiamo scrivere la forza di gravità come:

\mathbf{g} = g \sin(\theta) $\mathbf{g} = g \sin(\theta)$

dove \theta$\theta$ è l’angolo di inclinazione del tubo.

4. L’equazione diventa:

(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + g \sin(\theta) $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + g \sin(\theta)$

Esercizio 3: Flusso in un Condotto

Problema: Un fluido scorre in un condotto con variazione di sezione. Se la velocità del fluido aumenta passando da una sezione A_1$A_1$ a una sezione A_2$A_2$, come varia la pressione?

Soluzione:

1. Utilizzando il principio di conservazione della massa (equazione di continuità), abbiamo:

A_1 u_1 = A_2 u_2 $A_1 u_1 = A_2 u_2$

dove A_1$A_1$ e A_2$A_2$ sono le aree delle sezioni trasversali e u_1$u_1$ e u_2$u_2$ sono le velocità del fluido nelle rispettive sezioni.

2. Se A_2 < A_1$A_2 < A_1$, allora u_2 > u_1$u_2 > u_1$.

3. Applicando l’equazione di Eulero e il teorema di Bernoulli tra le due sezioni, otteniamo:

p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2 $p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2$

4. Risolvendo per la pressione p_2$p_2$:

p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (u_1^2 - u_2^2) $p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (u_1^2 - u_2^2)$

5. Poiché u_2 > u_1$u_2 > u_1$, il termine (u_1^2 - u_2^2)$(u_1^2 - u_2^2)$ sarà negativo, il che implica che:

p_2 < p_1 $p_2 < p_1$

Quindi, la pressione diminuisce quando la velocità del fluido aumenta.

English version

Exercises on the Euler Equation

Euler Equation

The Euler equation describes the motion of an ideal fluid and is part of the Navier-Stokes equations. It expresses the conservation of momentum for a fluid in motion. The Euler equation for an incompressible fluid is given by:

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g} $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}$

where:

• \mathbf{u}$\mathbf{u}$ is the velocity vector of the fluid,
• t$t$ is the time,
• \rho$\rho$ is the density of the fluid,
• p$p$ is the pressure,
• \mathbf{g}$\mathbf{g}$ is the gravitational force vector.

Exercise 1: Steady Flow in a Pipe

Problem: Consider a fluid flowing in a horizontal pipe with a constant cross-section. If the velocity of the fluid is u_1$u_1$ in a section A_1$A_1$ and u_2$u_2$ in a section A_2$A_2$, and the pressure is p_1$p_1$ in A_1$A_1$ and p_2$p_2$ in A_2$A_2$, apply Euler’s equation to find the relationship between the pressures.

Solution:

1. Since the flow is steady and the pipe is horizontal, we can neglect the gravity term \mathbf{g}$\mathbf{g}$.

2. Euler’s equation becomes:

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p$

3. In a steady flow, the term \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$, so:

(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p$

4. Applying Bernoulli’s theorem between the two sections, we obtain:

p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2 $p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2$

Exercise 2: Fluid Motion Under Gravity

Problem: An incompressible fluid flows vertically in an inclined tube. If the velocity of the fluid is u$u$ and the density is \rho$\rho$, write the Euler equation considering the effect of gravity.

Solution:

1. The Euler equation for a vertically moving fluid is:

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g} $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}$

2. If we consider a steady flow, the term \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$:

(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g} $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}$

3. In an inclined tube, we can write the gravitational force as:

\mathbf{g} = g \sin(\theta) $\mathbf{g} = g \sin(\theta)$

where \theta$\theta$ is the angle of inclination of the pipe.

4. The equation becomes:

(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + g \sin(\theta) $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + g \sin(\theta)$

Exercise 3: Flow in a Pipe

Problem: A fluid flows in a pipe with a change in section. If the speed of the fluid increases from a section A_1$A_1$ to a section A_2$A_2$, how does the pressure vary?

Solution:

1. Using the principle of conservation of mass (continuity equation), we have:

A_1 u_1 = A_2 u_2 $A_1 u_1 = A_2 u_2$

where A_1$A_1$ and A_2$A_2$ are the cross-sectional areas and u_1$u_1$ and u_2$u_2$ are the fluid velocities in the respective cross-sections.

2. If A_2 < A_1$A_2 < A_1$, then u_2 > u_1$u_2 > u_1$.

3. Applying Euler’s equation and Bernoulli’s theorem between the two sections, we get:

p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2 $p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2$

4. Solving for the pressure p_2$p_2$:

p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (u_1^2 - u_2^2) $p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (u_1^2 - u_2^2)$

5. Since u_2 > u_1$u_2 > u_1$, the term (u_1^2 - u_2^2)$(u_1^2 - u_2^2)$ will be negative, which implies that:

p_2 < p_1 $p_2 < p_1$

Hence, the pressure decreases as the fluid velocity increases.