Esercizi sulle successioni

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Versione italiana

Esercizi sulle successioni

Teoria delle Successioni

Una successione è un insieme ordinato di numeri, chiamati termini, che seguono una certa regola o legge. Le successioni possono essere finite o infinite e sono fondamentali in matematica, specialmente in analisi e algebra.

Tipi di Successioni

1. Successione Armonica: Una successione in cui il reciproco dei termini forma una successione aritmetica. Ad esempio, la successione a_n = \frac{1}{n}$a_n = \frac{1}{n}$ è una successione armonica.

2. Successione Aritmetica: Una successione in cui la differenza tra termini consecutivi è costante. Ad esempio, a_n = a_1 + (n-1)d$a_n = a_1 + (n-1)d$, dove d$d$ è la differenza comune.

3. Successione Geometrica: Una successione in cui il rapporto tra termini consecutivi è costante. Ad esempio, a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, dove r$r$ è il rapporto comune.

Notazione

Una successione è spesso rappresentata come (a_n)_{n=1}^{\infty}$(a_n)_{n=1}^{\infty}$, dove n$n$ è l’indice della successione.

Esercizi sulle Successioni

Esercizio 1: Successione Aritmetica

Considera la successione definita da:

a_n = 3 + 2(n - 1) 

$$a_n = 3 + 2(n - 1)$$

Calcola i primi 5 termini della successione.

Svolgimento:

1. Calcoliamo i termini per n = 1, 2, 3, 4 e 5:

   • Per n = 1:

     a_1 = 3 + 2(1 - 1) = 3.

     $$a_1 = 3 + 2(1 - 1) = 3.$$

   • Per n = 2:

     a_2 = 3 + 2(2 - 1) = 3 + 2 = 5.

     $$a_2 = 3 + 2(2 - 1) = 3 + 2 = 5.$$

   • Per n = 3:

     a_3 = 3 + 2(3 - 1) = 3 + 4 = 7.

     $$a_3 = 3 + 2(3 - 1) = 3 + 4 = 7.$$

   • Per n = 4:

     a_4 = 3 + 2(4 - 1) = 3 + 6 = 9.

     $$a_4 = 3 + 2(4 - 1) = 3 + 6 = 9.$$

   • Per n = 5:

     a_5 = 3 + 2(5 - 1) = 3 + 8 = 11.

     $$a_5 = 3 + 2(5 - 1) = 3 + 8 = 11.$$

Risultato:

I primi cinque termini della successione sono: 3, 5, 7, 9, 11.

Esercizio 2: Successione Geometrica

Considera la successione definita da:

b_n = 5 \cdot (2^{n-1}) 

$$b_n = 5 \cdot (2^{n-1})$$

Calcola i primi quattro termini della successione.

Svolgimento:

1. Calcoliamo i termini per n = 1, 2, 3 e 4:

   • Per n = 1:

     b_1 = 5 \cdot (2^{0}) = 5 \cdot (1) = 5.

     $$b_1 = 5 \cdot (2^{0}) = 5 \cdot (1) = 5.$$

   • Per n = 2:

     b_2 = 5 \cdot (2^{1}) = 5 \cdot (2) = 10.

     $$b_2 = 5 \cdot (2^{1}) = 5 \cdot (2) = 10.$$

   • Per n = 3:

     b_3 = 5 \cdot (2^{2}) = 5 \cdot (4) = 20.

     $$b_3 = 5 \cdot (2^{2}) = 5 \cdot (4) = 20.$$

   • Per n = 4:

     b_4 = 5 \cdot (2^{3}) = 5 \cdot (8) = 40.

     $$b_4 = 5 \cdot (2^{3}) = 5 \cdot (8) = 40.$$

Risultato:

I primi quattro termini della successione sono: 5, 10, 20, e 40.

Esercizio 3: Successione Armonica

Considera la successione armonica definita da:

c_n = \frac{1}{n} 

$$c_n = \frac{1}{n}$$

Calcola i primi cinque termini della successione.

Svolgimento:

1. Calcoliamo i termini per n = 1, …, ,5:

   • Per n=1:

     c_1=\frac{1}{1}=1.

     $$c_1=\frac{1}{1}=1.$$

   • Per n=2:

     c_2=\frac{1}{2}=0.5.

     $$c_2=\frac{1}{2}=0.5.$$

   • Per n=3:

     c_3=\frac{1}{3} \approx0.333.

     $$c_3=\frac{1}{3} \approx0.333.$$

   • Per n=4:

     c_4=\frac{1}{4}=0.25.

     $$c_4=\frac{1}{4}=0.25.$$

   • Per n=5:

     c_5=\frac{1}{5}=0.20.

     $$c_5=\frac{1}{5}=0.20.$$

Risultato:

I primi cinque termini della successione armonica sono: 1,0.5,0.333,0.25,0.20.

Esercizio Finale: Limite di una Successione

Considera la successione definita da:

d_n = \frac{n}{n+1} 

$$d_n = \frac{n}{n+1}$$

Calcola il limite di questa successione quando n \to \infty$n \to \infty$.

Svolgimento:

Per calcolare il limite possiamo riscrivere l’espressione:

d_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n/n}{(n+1)/n}=\frac{1}{(n+1)/n}= \frac{1}{(1+\frac{1}{n})}.

$$d_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n/n}{(n+1)/n}=\frac{1}{(n+1)/n}= \frac{1}{(1+\frac{1}{n})}.$$

Quando n \to \infty$n \to \infty$, \frac{1}{n} \to0$\frac{1}{n} \to0$, quindi:

d_n\to\frac{1}{(1+0)}=1.

$$d_n\to\frac{1}{(1+0)}=1.$$

Risultato:

Il limite della successione quando n \to \infty$n \to \infty$ è 1.

English version

Exercises on sequences

Theory of sequences

A sequence is an ordered set of numbers, called terms, that follow a certain rule or law. Sequences can be finite or infinite and are fundamental in mathematics, especially in analysis and algebra.

Types of sequences

1. Harmonic sequence: A sequence in which the reciprocals of the terms form an arithmetic sequence. For example, the sequence a_n = \frac{1}{n}$a_n = \frac{1}{n}$ is a harmonic sequence.

2. Arithmetic sequence: A sequence in which the difference between consecutive terms is constant. For example, a_n = a_1 + (n-1)d$a_n = a_1 + (n-1)d$, where d$d$ is the common difference.

3. Geometric sequence: A sequence in which the ratio between consecutive terms is constant. For example, a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, where r$r$ is the common ratio.

Notation

A sequence is often represented as (a_n)_{n=1}^{\infty}$(a_n)_{n=1}^{\infty}$, where n$n$ is the index of the sequence.

Sequences Exercises

Exercise 1: Arithmetic Sequence

Consider the sequence defined by:

a_n = 3 + 2(n - 1) 

$$a_n = 3 + 2(n - 1)$$

Compute the first 5 terms of the sequence.

Procedure:

1. Let’s calculate the terms for n = 1, 2, 3, 4 and 5:

• For n = 1:

a_1 = 3 + 2(1 - 1) = 3.

$$a_1 = 3 + 2(1 - 1) = 3.$$

• For n = 2:

a_2 = 3 + 2(2 - 1) = 3 + 2 = 5.

$$a_2 = 3 + 2(2 - 1) = 3 + 2 = 5.$$

• For n = 3:

a_3 = 3 + 2(3 - 1) = 3 + 4 = 7.

$$a_3 = 3 + 2(3 - 1) = 3 + 4 = 7.$$

• For n = 4:

a_4 = 3 + 2(4 - 1) = 3 + 6 = 9.

$$a_4 = 3 + 2(4 - 1) = 3 + 6 = 9.$$

• For n = 5:

a_5 = 3 + 2(5 - 1) = 3 + 8 = 11.

$$a_5 = 3 + 2(5 - 1) = 3 + 8 = 11.$$

Result:

The first five terms of the sequence are: 3, 5, 7, 9, 11.

Exercise 2: Geometric Sequence

Consider the sequence defined by:

b_n = 5 \cdot (2^{n-1}) 

$$b_n = 5 \cdot (2^{n-1})$$

Calculate the first four terms of the sequence.

Procedure:

1. Let’s calculate the terms for n = 1, 2, 3 and 4:

• For n = 1:

b_1 = 5 \cdot (2^{0}) = 5 \cdot (1) = 5.

$$b_1 = 5 \cdot (2^{0}) = 5 \cdot (1) = 5.$$

• For n = 2:

b_2 = 5 \cdot (2^{1}) = 5 \cdot (2) = 10.

$$b_2 = 5 \cdot (2^{1}) = 5 \cdot (2) = 10.$$

• For n = 3:

b_3 = 5 \cdot (2^{2}) = 5 \cdot (4) = 20.

$$b_3 = 5 \cdot (2^{2}) = 5 \cdot (4) = 20.$$

• For n = 4:

b_4 = 5 \cdot (2^{3}) = 5 \cdot (8) = 40.

$$b_4 = 5 \cdot (2^{3}) = 5 \cdot (8) = 40.$$

Result:

The first four terms of the sequence are: 5, 10, 20, and 40.

Exercise 3: Harmonic Sequence

Consider the harmonic sequence defined by:

c_n = \frac{1}{n} 

$$c_n = \frac{1}{n}$$

Calculate the first five terms of the sequence.

Procedure:

1. Let’s calculate the terms for n = 1, …, ,5:

• For n=1:

c_1=\frac{1}{1}=1.

$$c_1=\frac{1}{1}=1.$$

• For n=2:

c_2=\frac{1}{2}=0.5.

$$c_2=\frac{1}{2}=0.5.$$

• For n=3:

c_3=\frac{1}{3} \approx0.333.

$$c_3=\frac{1}{3} \approx0.333.$$

• For n=4:

c_4=\frac{1}{4}=0.25.

$$c_4=\frac{1}{4}=0.25.$$

• For n=5:

c_5=\frac{1}{5}=0.20.

$$c_5=\frac{1}{5}=0.20.$$

Result:

The first five terms of the harmonic sequence are: 1,0.5,0.333,0.25,0.20.

Final Exercise: Limit of a Sequence

Consider the sequence defined by:

d_n = \frac{n}{n+1} 

$$d_n = \frac{n}{n+1}$$

Calculate the limit of this sequence when n \to \infty$n \to \infty$.

Process:

To calculate the limit we can rewrite the expression:

d_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n/n}{(n+1)/n}=\frac{1}{(n+1)/n}= \frac{1}{(1+\frac{1}{n})}.

$$d_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n/n}{(n+1)/n}=\frac{1}{(n+1)/n}= \frac{1}{(1+\frac{1}{n})}.$$

When n \to \infty$n \to \infty$, \frac{1}{n} \to0$\frac{1}{n} \to0$, therefore:

d_n\to\frac{1}{(1+0)}=1.

$$d_n\to\frac{1}{(1+0)}=1.$$

Result:

The limit of the sequence when n \to \infty$n \to \infty$ is 1.