Esercizi sulle Rette in Geometria Analitica

Esercizi sulle Rette in Geometria Analitica

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Versione italiana

Esercizi sulle Rette in Geometria Analitica

Le rette sono uno dei concetti fondamentali in geometria analitica. Una retta può essere definita in vari modi, ma il più comune è attraverso l’equazione della retta nel piano cartesiano.

Concetti Chiave

1. Equazione della retta: L’equazione generale di una retta nel piano cartesiano può essere espressa in forma esplicita come:
   y = mx + q $y = mx + q$
   dove m$m$ è il coefficiente angolare (pendenza) e q$q$ è l’intercetta sull’asse y$y$.

2. Coefficiente angolare: Il coefficiente angolare m$m$ rappresenta la variazione di y$y$ rispetto alla variazione di x$x$:
   m = \frac{\Delta y}{\Delta x} $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

3. Intercetta: L’intercetta q$q$ è il punto in cui la retta interseca l’asse y$y$ (cioè quando x = 0$x = 0$).

4. Forma implicita: L’equazione di una retta può anche essere scritta in forma implicita come:
   Ax + By + C = 0 $Ax + By + C = 0$

Esercizi

Esercizio 1: Trovare l’equazione della retta

Problema: Trova l’equazione della retta che passa per i punti A(1, 2)$A(1, 2)$ e B(3, 4)$B(3, 4)$.

Soluzione:

1. Calcola il coefficiente angolare m$m$:
   m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1 $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$

2. Usa il punto A(1, 2)$A(1, 2)$ per trovare l’intercetta q$q$:
   y = mx + q \implies 2 = 1 \cdot 1 + q \implies q = 2 - 1 = 1 $y = mx + q \implies 2 = 1 \cdot 1 + q \implies q = 2 - 1 = 1$

3. L’equazione della retta è:
   y = 1x + 1 \quad \text{oppure} \quad y = x + 1 $y = 1x + 1 \quad \text{oppure} \quad y = x + 1$

Esercizio 2: Intersezione di due rette

Problema: Trova il punto di intersezione delle seguenti due rette:

1. y = 2x + 1$y = 2x + 1$
2. y = -x + 4$y = -x + 4$

Soluzione:

1. Eguaglia le due equazioni:
   2x + 1 = -x + 4 $2x + 1 = -x + 4$

2. Risolvi per x$x$:
   2x + x = 4 - 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1 $2x + x = 4 - 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1$

3. Sostituisci x$x$ in una delle equazioni per trovare y$y$:
   y = 2(1) + 1 = 3 $y = 2(1) + 1 = 3$

4. Il punto di intersezione è:
   (1, 3) $(1, 3)$

Esercizio 3: Distanza tra un punto e una retta

Problema: Calcola la distanza dal punto P(3, 2)$P(3, 2)$ alla retta 2x + 3y - 6 = 0$2x + 3y - 6 = 0$.

Soluzione:

La formula per calcolare la distanza d$d$ da un punto (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ a una retta Ax + By + C = 0$Ax + By + C = 0$ è:
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

1. Identifica A = 2$A = 2$, B = 3$B = 3$, C = -6$C = -6$, x_0 = 3$x_0 = 3$, y_0 = 2$y_0 = 2$.

2. Calcola la distanza:
   d = \frac{|2(3) + 3(2) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|6 + 6 - 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \approx 1.67 $d = \frac{|2(3) + 3(2) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|6 + 6 - 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \approx 1.67$

La distanza dal punto P(3, 2)$P(3, 2)$ alla retta 2x + 3y - 6 = 0$2x + 3y - 6 = 0$ è quindi \frac{6}{\sqrt{13}}$\frac{6}{\sqrt{13}}$ o circa 1.67$1.67$ unità.

English version

Exercises on Lines in Analytical Geometry

Lines are one of the fundamental concepts in analytical geometry. A line can be defined in various ways, but the most common is through the equation of the line in the Cartesian plane.

Key Concepts

1. Equation of the line: The general equation of a line in the Cartesian plane can be expressed explicitly as:
   y = mx + q $y = mx + q$
   where m$m$ is the slope and q$q$ is the intercept on the y$y$ axis.

2. Slope: The slope m$m$ represents the change in y$y$ with respect to the change in x$x$:
   m = \frac{\Delta y}{\Delta x} $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

3. Intercept: The intercept q$q$ is the point where the line intersects the y$y$ axis (i.e. when x = 0$x = 0$).

4. Implicit form: The equation of a line can also be written in implicit form as:
   Ax + By + C = 0 $Ax + By + C = 0$

Exercises

Exercise 1: Find the equation of the line

Problem: Find the equation of the line that passes through the points A(1, 2)$A(1, 2)$ and B(3, 4)$B(3, 4)$.

Solution:

1. Calculate the slope m$m$:
   m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1 $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$

2. Use the point A(1, 2)$A(1, 2)$ to find the intercept q$q$:
   y = mx + q \implies 2 = 1 \cdot 1 + q \implies q = 2 - 1 = 1 $y = mx + q \implies 2 = 1 \cdot 1 + q \implies q = 2 - 1 = 1$

3. The equation of the line is:
   y = 1x + 1 \quad \text{or} \quad y = x + 1 $y = 1x + 1 \quad \text{or} \quad y = x + 1$

Exercise 2: Intersection of two lines

Problem: Find the point of intersection of the following two lines:

1. y = 2x + 1$y = 2x + 1$
2. y = -x + 4$y = -x + 4$

Solution:

1. Equate the two equations:
   2x + 1 = -x + 4 $2x + 1 = -x + 4$

2. Solve for x$x$:
   2x + x = 4 - 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1 $2x + x = 4 - 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1$

3. Substitute x$x$ into one of the equations to find y$y$:
   y = 2(1) + 1 = 3 $y = 2(1) + 1 = 3$

4. The point of intersection is:
   (1, 3) $(1, 3)$

Exercise 3: Distance between a point and a line

Problem: Find the distance from the point P(3, 2)$P(3, 2)$ to the line 2x + 3y - 6 = 0$2x + 3y - 6 = 0$.

Solution:

The formula to calculate the distance d$d$ from a point (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ to a line Ax + By + C = 0$Ax + By + C = 0$ is:
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

1. Identify A = 2$A = 2$, B = 3$B = 3$, C = -6$C = -6$, x_0 = 3$x_0 = 3$, y_0 = 2$y_0 = 2$.

2. Calculate the distance:
   d = \frac{|2(3) + 3(2) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|6 + 6 - 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \approx 1.67 $d = \frac{|2(3) + 3(2) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|6 + 6 - 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \approx 1.67$

The distance from the point P(3, 2)$P(3, 2)$ to the line 2x + 3y - 6 = 0$2x + 3y - 6 = 0$ is therefore \frac{6}{\sqrt{13}}$\frac{6}{\sqrt{13}}$ or approximately 1.67$1.67$ units.