Esercizi sulle Onde Piane

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Versione italiana

Esercizi sulle Onde Piane

Concetti Chiave

Un’onda piana è una soluzione delle equazioni delle onde che si propaga in una direzione specifica con un’ampiezza costante e una forma d’onda uniforme. Le onde piane possono essere descritte da una funzione sinusoidale o cosinusoidale.

Equazione dell’Onda Piana

Un’onda piana che si propaga lungo l’asse x$x$ può essere descritta dalla seguente equazione:

\psi(x, t) = A \cos(kx - \omega t + \phi) $\psi(x, t) = A \cos(kx - \omega t + \phi)$

dove:

• A$A$ è l’ampiezza dell’onda,
• k$k$ è il numero d’onda, dato da k = \frac{2\pi}{\lambda}$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ (con \lambda$\lambda$ lunghezza d’onda),
• \omega$\omega$ è la frequenza angolare, data da \omega = 2\pi f$\omega = 2\pi f$ (con f$f$ frequenza),
• \phi$\phi$ è la fase iniziale.

Velocità dell’Onda

La velocità di propagazione dell’onda è data da:

v = \frac{\omega}{k} = f \lambda $v = \frac{\omega}{k} = f \lambda$

Esercizi

Esercizio 1: Ampiezza e Frequenza

Un’onda piana è descritta dalla seguente equazione:

\psi(x, t) = 5 \cos\left(4x - 10t\right) $\psi(x, t) = 5 \cos\left(4x - 10t\right)$

Calcola l’ampiezza, il numero d’onda e la frequenza dell’onda.

Soluzione:

Dall’equazione dell’onda, possiamo identificare i seguenti parametri:

• Ampiezza A = 5$A = 5$
• Numero d’onda k = 4$k = 4$
• Frequenza angolare \omega = 10$\omega = 10$

Per calcolare la frequenza f$f$:

\omega = 2\pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} \approx 1.59 \, \text{Hz} $\omega = 2\pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} \approx 1.59 \, \text{Hz}$

Esercizio 2: Lunghezza d’Onda

Utilizzando i dati dell’esercizio precedente, calcola la lunghezza d’onda \lambda$\lambda$.

Soluzione:

Il numero d’onda è dato da:

k = \frac{2\pi}{\lambda} \implies \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \, \text{m} $k = \frac{2\pi}{\lambda} \implies \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \, \text{m}$

Esercizio 3: Velocità dell’Onda

Calcola la velocità di propagazione dell’onda utilizzando i dati dell’esercizio 1.

Soluzione:

Utilizzando la relazione tra velocità, frequenza e lunghezza d’onda:

v = f \lambda $v = f \lambda$

Abbiamo già calcolato f \approx 1.59 \, \text{Hz}$f \approx 1.59 \, \text{Hz}$ e \lambda \approx 1.57 \, \text{m}$\lambda \approx 1.57 \, \text{m}$:

v = 1.59 \times 1.57 \approx 2.50 \, \text{m/s} $v = 1.59 \times 1.57 \approx 2.50 \, \text{m/s}$

Esercizio 4: Fase dell’Onda

Determina la fase dell’onda \psi(x, t) = 5 \cos(4x - 10t + \frac{\pi}{3})$\psi(x, t) = 5 \cos(4x - 10t + \frac{\pi}{3})$ al punto x = 0$x = 0$ e t = 0$t = 0$.

Soluzione:

Sostituendo x = 0$x = 0$ e t = 0$t = 0$ nell’equazione dell’onda:

\psi(0, 0) = 5 \cos\left(4(0) - 10(0) + \frac{\pi}{3}\right) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $\psi(0, 0) = 5 \cos\left(4(0) - 10(0) + \frac{\pi}{3}\right) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Poiché \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$:

\psi(0, 0) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 $\psi(0, 0) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$

English version

Plane Wave Exercises

Key Concepts

A plane wave is a solution of the wave equations that propagates in a specific direction with a constant amplitude and a uniform waveform. Plane waves can be described by a sinusoidal or cosine function.

Plane Wave Equation

A plane wave propagating along the x$x$ axis can be described by the following equation:

\psi(x, t) = A \cos(kx - \omega t + \phi) $\psi(x, t) = A \cos(kx - \omega t + \phi)$

where:

• A$A$ is the amplitude of the wave,
• k$k$ is the wavenumber, given by k = \frac{2\pi}{\lambda}$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ (with \lambda$\lambda$ wavelength),
• \omega$\omega$ is the angular frequency, given by \omega = 2\pi f$\omega = 2\pi f$ (with f$f$ frequency),
• \phi$\phi$ is the initial phase.

Wave Speed

The speed of propagation of the wave is given by:

v = \frac{\omega}{k} = f \lambda $v = \frac{\omega}{k} = f \lambda$

Exercises

Exercise 1: Amplitude and Frequency

A plane wave is described by the following equation:

\psi(x, t) = 5 \cos\left(4x - 10t\right) $\psi(x, t) = 5 \cos\left(4x - 10t\right)$

Calculate the amplitude, wave number and frequency of the wave.

Solution:

From the wave equation, we can identify the following parameters:

• Amplitude A = 5$A = 5$
• Wavenumber k = 4$k = 4$
• Angular frequency \omega = 10$\omega = 10$

To calculate the frequency f$f$:

\omega = 2\pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} \approx 1.59 \, \text{Hz} $\omega = 2\pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} \approx 1.59 \, \text{Hz}$

Exercise 2: Wavelength

Using the data from the previous exercise, calculate the wavelength \lambda$\lambda$.

Solution:

The wave number is given by:

k = \frac{2\pi}{\lambda} \implies \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \, \text{m} $k = \frac{2\pi}{\lambda} \implies \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \, \text{m}$

Exercise 3: Wave Speed

Calculate the speed of propagation of the wave using the data from exercise 1.

Solution:

Using the relationship between speed, frequency and wavelength:

v = f \lambda $v = f \lambda$

We have already calculated f \approx 1.59 \, \text{Hz}$f \approx 1.59 \, \text{Hz}$ and \lambda \approx 1.57 \, \text{m}$\lambda \approx 1.57 \, \text{m}$:

v = 1.59 \times 1.57 \approx 2.50 \, \text{m/s} $v = 1.59 \times 1.57 \approx 2.50 \, \text{m/s}$

Exercise 4: Wave Phase

Determine the phase of the wave \psi(x, t) = 5 \cos(4x - 10t + \frac{\pi}{3})$\psi(x, t) = 5 \cos(4x - 10t + \frac{\pi}{3})$ at the point x = 0$x = 0$ and t = 0$t = 0$.

Solution:

Substituting x = 0$x = 0$ and t = 0$t = 0$ into the wave equation:

\psi(0, 0) = 5 \cos\left(4(0) - 10(0) + \frac{\pi}{3}\right) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $\psi(0, 0) = 5 \cos\left(4(0) - 10(0) + \frac{\pi}{3}\right) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Since \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$:

\psi(0, 0) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 $\psi(0, 0) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$