Esercizi sull'Analisi degli Elementi Finiti (FEM)

Esercizi sull'Analisi degli Elementi Finiti (FEM)

Esercizi sull'Analisi degli Elementi Finiti (FEM)

Versione italiana

Esercizi sull’Analisi degli Elementi Finiti (FEM)

Analisi degli Elementi Finiti (FEM)

L’analisi degli elementi finiti è una tecnica numerica utilizzata per risolvere problemi di ingegneria e fisica, come la meccanica dei solidi, la fluidodinamica e il trasferimento di calore. La FEM suddivide un dominio complesso in elementi più semplici, permettendo di approssimare soluzioni a problemi differenziali.

Concetti Chiave

1. Dominio: L’area o il volume su cui si applica l’analisi.
2. Elementi: Piccole sezioni del dominio, che possono essere triangoli, quadrilateri, tetraedri, ecc.
3. Nodi: Punti di intersezione tra gli elementi.
4. Funzioni di forma: Funzioni utilizzate per interpolare i valori all’interno di un elemento in base ai valori nei nodi.
5. Matrice di rigidezza: Rappresenta la relazione tra le forze applicate e le deformazioni in un elemento.

Esercizio 1: Analisi di un Trave Semplice

Problema: Considera un trave di lunghezza L$L$ soggetto a un carico concentrato F$F$ al centro. Utilizza la FEM per calcolare la deformazione massima.

Soluzione:

1. Suddivisione del dominio: Dividi il trave in n$n$ elementi. Ogni elemento avrà una lunghezza L_e = \frac{L}{n}$L_e = \frac{L}{n}$.

2. Definizione delle funzioni di forma: Per un elemento lineare, le funzioni di forma sono:

   N_1(x) = \frac{L - x}{L} \quad \text{e} \quad N_2(x) = \frac{x}{L}$N_1(x) = \frac{L - x}{L} \quad \text{e} \quad N_2(x) = \frac{x}{L}$

3. Matrice di rigidezza dell’elemento: La matrice di rigidezza k_e$k_e$ per un trave è data da:

   k_e = \frac{E A}{L_e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$k_e = \frac{E A}{L_e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

   dove E$E$ è il modulo di Young e A$A$ è l’area della sezione trasversale.

4. Assemblaggio della matrice di rigidezza globale: Somma le matrici di rigidezza degli elementi per ottenere la matrice di rigidezza globale K$K$.

5. Applicazione delle condizioni al contorno: Imposta le condizioni al contorno per il problema, ad esempio, fissando un’estremità del trave.

6. Risoluzione del sistema: Risolvi il sistema K \mathbf{u} = \mathbf{F}$K \mathbf{u} = \mathbf{F}$ per trovare le deformazioni \mathbf{u}$\mathbf{u}$.

7. Calcolo della deformazione massima: La deformazione massima si troverà nel punto centrale del trave.

Esercizio 2: Analisi Termica di una Piastra

Problema: Considera una piastra quadrata di lato L$L$ con una temperatura T_0$T_0$ su un lato e aria a temperatura ambiente su tutti gli altri lati. Utilizza la FEM per calcolare la distribuzione della temperatura.

Soluzione:

1. Suddivisione del dominio: Dividi la piastra in elementi quadrati.

2. Definizione delle funzioni di forma: Per un elemento quadrato, le funzioni di forma possono essere definite come:

   N_1(x,y) = (1-x)(1-y), \quad N_2(x,y) = x(1-y), \quad N_3(x,y) = xy, \quad N_4(x,y) = (1-x)y$N_1(x,y) = (1-x)(1-y), \quad N_2(x,y) = x(1-y), \quad N_3(x,y) = xy, \quad N_4(x,y) = (1-x)y$

3. Matrice di conduttanza dell’elemento: La matrice di conduttanza k_e$k_e$ per un elemento quadrato è data da:

   k_e = \frac{k}{A_e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$k_e = \frac{k}{A_e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

   dove k$k$ è la conducibilità termica e A_e$A_e$ è l’area dell’elemento.

4. Assemblaggio della matrice di conduttanza globale: Somma le matrici di conduttanza degli elementi per ottenere la matrice di conduttanza globale K$K$.

5. Applicazione delle condizioni al contorno: Imposta le condizioni al contorno per il problema. Ad esempio, imposta la temperatura T_0$T_0$ su un lato della piastra e condizioni di isolamento (o temperatura ambiente) sugli altri lati.

6. Risoluzione del sistema: Risolvi il sistema K \mathbf{T} = \mathbf{Q}$K \mathbf{T} = \mathbf{Q}$ per trovare la distribuzione della temperatura \mathbf{T}$\mathbf{T}$, dove \mathbf{Q}$\mathbf{Q}$ rappresenta il vettore delle condizioni al contorno.

7. Analisi dei risultati: Analizza la distribuzione della temperatura nella piastra e identifica i punti di massimo e minimo.

Esercizio 3: Analisi di una Struttura Soggetta a Carico

Problema: Considera una struttura rettangolare soggetta a un carico distribuito q$q$. Utilizza la FEM per calcolare le deformazioni e le tensioni nella struttura.

Soluzione:

1. Suddivisione del dominio: Dividi la struttura in elementi triangolari o quadrati.

2. Definizione delle funzioni di forma: Per un elemento triangolare, le funzioni di forma possono essere definite come:

   N_1(x,y) = \frac{A_1}{A}, \quad N_2(x,y) = \frac{A_2}{A}, \quad N_3(x,y) = \frac{A_3}{A}$N_1(x,y) = \frac{A_1}{A}, \quad N_2(x,y) = \frac{A_2}{A}, \quad N_3(x,y) = \frac{A_3}{A}$

   dove A_1, A_2, A_3$A_1, A_2, A_3$ sono le aree dei triangoli formati dai nodi e A$A$ è l’area totale dell’elemento.

3. Matrice di rigidezza dell’elemento: La matrice di rigidezza k_e$k_e$ per un elemento triangolare è data da:

   k_e = \frac{E}{4A} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$k_e = \frac{E}{4A} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. Assemblaggio della matrice di rigidezza globale: Somma le matrici di rigidezza degli elementi per ottenere la matrice di rigidezza globale K$K$.

5. Applicazione delle condizioni al contorno: Imposta le condizioni al contorno, come il fissaggio di alcuni nodi o l’applicazione di carichi.

6. Risoluzione del sistema: Risolvi il sistema K \mathbf{u} = \mathbf{F}$K \mathbf{u} = \mathbf{F}$ per trovare le deformazioni \mathbf{u}$\mathbf{u}$.

7. Calcolo delle tensioni: Utilizza le deformazioni per calcolare le tensioni nella struttura utilizzando la legge di Hooke:

   \sigma = E \epsilon$\sigma = E \epsilon$

   dove \sigma$\sigma$ è la tensione, E$E$ è il modulo di Young e \epsilon$\epsilon$ è la deformazione.

English version

Finite Element Analysis (FEM) Exercises

Finite Element Analysis (FEM)

Finite element analysis is a numerical technique used to solve engineering and physics problems, such as solid mechanics, fluid dynamics, and heat transfer. The FEM breaks a complex domain into simpler elements, allowing it to approximate solutions to differential problems.

Key Concepts

1. Domain: The area or volume over which the analysis is applied.
2. Elements: Small sections of the domain, which can be triangles, quadrilaterals, tetrahedra, etc.
3. Nodes: Points of intersection between elements.
4. Shape functions: Functions used to interpolate values ​​within an element based on values ​​at the nodes.
5. Stiffness matrix: Represents the relationship between applied forces and deformations in an element.

Exercise 1: Simple Beam Analysis

Problem: Consider a beam of length L$L$ subjected to a concentrated load F$F$ at the center. Use the FEM to calculate the maximum deformation.

Solution:

1. Subdivision of the domain: Divide the beam into n$n$ elements. Each element will have a length L_e = \frac{L}{n}$L_e = \frac{L}{n}$.

2. Shape Function Definition: For a linear element, the shape functions are:

N_1(x) = \frac{L - x}{L} \quad \text{e} \quad N_2(x) = \frac{x}{L}$N_1(x) = \frac{L - x}{L} \quad \text{e} \quad N_2(x) = \frac{x}{L}$

3. Element Stiffness Matrix: The stiffness matrix k_e$k_e$ for a beam is given by:

k_e = \frac{E A}{L_e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$k_e = \frac{E A}{L_e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

where E$E$ is the Young’s modulus and A$A$ is the cross-sectional area.

4. Global Stiffness Matrix Assembly: Add the element stiffness matrices to obtain the global stiffness matrix K$K$.

5. Applying Boundary Conditions: Set up boundary conditions for the problem, for example, by fixing one end of the beam.

6. Solving the System: Solve the system K \mathbf{u} = \mathbf{F}$K \mathbf{u} = \mathbf{F}$ to find the deformations \mathbf{u}$\mathbf{u}$.

7. Calculating the Maximum Strain: The maximum strain will be at the center point of the beam.

Exercise 2: Thermal Analysis of a Plate

Problem: Consider a square plate of side L$L$ with a temperature T_0$T_0$ on one side and air at room temperature on all other sides. Use the FEM to calculate the temperature distribution.

Solution:

1. Subdivision of the Domain: Divide the plate into square elements.

2. Shape Function Definition: For a square element, the shape functions can be defined as:

N_1(x,y) = (1-x)(1-y), \quad N_2(x,y) = x(1-y), \quad N_3(x,y) = xy, \quad N_4(x,y) = (1-x)y$N_1(x,y) = (1-x)(1-y), \quad N_2(x,y) = x(1-y), \quad N_3(x,y) = xy, \quad N_4(x,y) = (1-x)y$

3. Element Conductance Matrix: The conductance matrix k_e$k_e$ for a square element is given by:

k_e = \frac{k}{A_e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$k_e = \frac{k}{A_e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

where k$k$ is the thermal conductivity and A_e$A_e$ is the area of ​​the element.

4. Assemble the global conductance matrix: Add the conductance matrices of the elements to obtain the global conductance matrix K$K$.

5. Apply boundary conditions: Set boundary conditions for the problem. For example, set the temperature T_0$T_0$ on one side of the plate and insulation conditions (or room temperature) on the other sides.

6. Solve the system: Solve the system K \mathbf{T} = \mathbf{Q}$K \mathbf{T} = \mathbf{Q}$ to find the temperature distribution \mathbf{T}$\mathbf{T}$, where \mathbf{Q}$\mathbf{Q}$ represents the boundary conditions vector.

7. Analyze the results: Analyze the temperature distribution in the plate and identify the maximum and minimum points.

Exercise 3: Analysis of a Structure Subjected to Load

Problem: Consider a rectangular structure subjected to a distributed load q$q$. Use the FEM to calculate the deformations and stresses in the structure.

Solution:

1. Subdivision of the domain: Divide the structure into triangular or square elements.

2. Definition of shape functions: For a triangular element, the shape functions can be defined as:

N_1(x,y) = \frac{A_1}{A}, \quad N_2(x,y) = \frac{A_2}{A}, \quad N_3(x,y) = \frac{A_3}{A}$N_1(x,y) = \frac{A_1}{A}, \quad N_2(x,y) = \frac{A_2}{A}, \quad N_3(x,y) = \frac{A_3}{A}$

where A_1, A_2, A_3$A_1, A_2, A_3$ are the areas of the triangles formed by the nodes and A$A$ is the total area of ​​the element.

3. Element Stiffness Matrix: The stiffness matrix k_e$k_e$ for a triangular element is given by:

k_e = \frac{E}{4A} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$k_e = \frac{E}{4A} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. Assembling the Global Stiffness Matrix: Add the element stiffness matrices to obtain the global stiffness matrix K$K$.

5. Applying Boundary Conditions: Set up boundary conditions, such as fixing some nodes or applying loads.

6. Solving the System: Solve the system K \mathbf{u} = \mathbf{F}$K \mathbf{u} = \mathbf{F}$ to find the deformations \mathbf{u}$\mathbf{u}$.

7. Calculating Stresses: Use strains to calculate stresses in the structure using Hooke’s Law:

\sigma = E \epsilon$\sigma = E \epsilon$

where \sigma$\sigma$ is the stress, E$E$ is Young’s modulus, and \epsilon$\epsilon$ is the strain.