Esercizi sulla Trasformata di Laplace

Esercizi sulla Trasformata di Laplace

+Esercizi sulla Trasformata di Laplace

Versione italiana

Esercizi sulla Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è uno strumento matematico utilizzato per analizzare sistemi dinamici e risolvere equazioni differenziali. È definita come:

\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$

dove:

• f(t)$f(t)$ è la funzione nel dominio del tempo,
• F(s)$F(s)$ è la funzione trasformata nel dominio della frequenza,
• s$s$ è una variabile complessa s = \sigma + j\omega$s = \sigma + j\omega$.

Proprietà della Trasformata di Laplace

1. Linearità:
   Se a$a$ e b$b$ sono costanti, allora:
   \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s) $\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

2. Derivata:
   Se f(t)$f(t)$ è derivabile, allora:
   \mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0) $\mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0)$

3. Integrazione:
   Se f(t)$f(t)$ è continua, allora:
   \mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s} $\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}$

Esercizi

Esercizio 1: Trasformata di una funzione esponenziale

Calcola la trasformata di Laplace della funzione f(t) = e^{at}$f(t) = e^{at}$.

Soluzione:
\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt = \frac{1}{s-a}, \quad \text{per } s > a $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt = \frac{1}{s-a}, \quad \text{per } s > a$

Esercizio 2: Trasformata di una funzione sinusoidale

Calcola la trasformata di Laplace della funzione f(t) = \sin(\omega t)$f(t) = \sin(\omega t)$.

Soluzione:
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} \sin(\omega t) \, dt = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} \sin(\omega t) \, dt = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$

Esercizio 3: Derivata di una funzione

Calcola la trasformata di Laplace della derivata f'(t)$f'(t)$ se f(t) = t^2$f(t) = t^2$.

Soluzione:
f'(t) = 2t \quad \Rightarrow \quad \mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{t^2\} - f(0) = s \cdot \frac{2}{s^3} - 0 = \frac{2s}{s^3} = \frac{2}{s^2} $f'(t) = 2t \quad \Rightarrow \quad \mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{t^2\} - f(0) = s \cdot \frac{2}{s^3} - 0 = \frac{2s}{s^3} = \frac{2}{s^2}$

English version

Laplace Transform Exercises

The Laplace transform is a mathematical tool used to analyze dynamical systems and solve differential equations. It is defined as:

\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$

where:

• f(t)$f(t)$ is the function in the time domain,
• F(s)$F(s)$ is the function transformed in the frequency domain,
• s$s$ is a complex variable s = \sigma + j\omega$s = \sigma + j\omega$.

Properties of the Laplace Transform

1. Linearity:
   If a$a$ and b$b$ are constants, then:
   \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s) $\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

2. Derivative:
   If f(t)$f(t)$ is differentiable, then:
   \mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0) $\mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0)$

3. Integration:
   If f(t)$f(t)$ is continuous, then:
   \mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s} $\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}$

Exercises

Exercise 1: Transform of an exponential function

Calculate the Laplace transform of the function f(t) = e^{at}$f(t) = e^{at}$.

Solution:
\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt = \frac{1}{s-a}, \quad \text{for } s > a $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt = \frac{1}{s-a}, \quad \text{for } s > a$

Exercise 2: Transform of a sinusoidal function

Calculate the Laplace transform of the function f(t) = \sin(\omega t)$f(t) = \sin(\omega t)$.

Solution:
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} \sin(\omega t) \, dt = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} \sin(\omega t) \, dt = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$

Exercise 3: Derivative of a function

Compute the Laplace transform of the derivative f'(t)$f'(t)$ if f(t) = t^2$f(t) = t^2$.

Solution:
f'(t) = 2t \quad \Rightarrow \quad \mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{t^2\} - f(0) = s \cdot \frac{2}{s^3} - 0 = \frac{2s}{s^3} = \frac{2}{s^2} $f'(t) = 2t \quad \Rightarrow \quad \mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{t^2\} - f(0) = s \cdot \frac{2}{s^3} - 0 = \frac{2s}{s^3} = \frac{2}{s^2}$