Esercizi sulla Serie di Taylor

Esercizi sulla Serie di Taylor

+Esercizi sulla Serie di Taylor

Versione italiana

Esercizi sulla Serie di Taylor

La serie di Taylor è una rappresentazione di una funzione come somma infinita di termini calcolati a partire dai valori delle derivate della funzione in un punto. La forma generale della serie di Taylor di una funzione f(x)$f(x)$ attorno a un punto a$a$ è data da:

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots $f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots$

oppure in forma compatta:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

dove:

• f^{(n)}(a)$f^{(n)}(a)$ è la n$n$-esima derivata di f$f$ valutata in a$a$,
• n!$n!$ è il fattoriale di n$n$.

Proprietà della Serie di Taylor

1. Convergenza: La serie di Taylor converge alla funzione f(x)$f(x)$ in un certo intervallo attorno a a$a$.
2. Derivabilità: La funzione deve essere derivabile un numero sufficiente di volte nell’intervallo considerato.
3. Resto di Taylor: L’errore nella rappresentazione della funzione è dato dal termine di resto R_n(x)$R_n(x)$:

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$

per qualche c$c$ tra a$a$ e x$x$.

Esercizi

Esercizio 1: Serie di Taylor per e^x$e^x$

Calcola la serie di Taylor della funzione f(x) = e^x$f(x) = e^x$ attorno a a = 0$a = 0$.

Soluzione:
Le derivate di e^x$e^x$ sono tutte e^x$e^x$ e in x = 0$x = 0$ sono tutte uguali a 1. Quindi:

f(x) = e^0 + \frac{e^0}{1!}x + \frac{e^0}{2!}x^2 + \frac{e^0}{3!}x^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $f(x) = e^0 + \frac{e^0}{1!}x + \frac{e^0}{2!}x^2 + \frac{e^0}{3!}x^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Esercizio 2: Serie di Taylor per \sin(x)$\sin(x)$

Calcola la serie di Taylor della funzione f(x) = \sin(x)$f(x) = \sin(x)$ attorno a a = 0$a = 0$.

Soluzione:
Le derivate di \sin(x)$\sin(x)$ sono:

• f(0) = 0$f(0) = 0$
• f'(0) = 1$f'(0) = 1$
• f''(0) = 0$f''(0) = 0$
• f'''(0) = -1$f'''(0) = -1$
• f^{(4)}(0) = 0$f^{(4)}(0) = 0$
• f^{(5)}(0) = 1$f^{(5)}(0) = 1$

Quindi la serie di Taylor è:

\sin(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} - 1 \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!} + 1 \cdot \frac{x^5}{5!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} $\sin(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} - 1 \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!} + 1 \cdot \frac{x^5}{5!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

Esercizio 3: Serie di Taylor per \cos(x)$\cos(x)$

Calcola la serie di Taylor della funzione f(x) = \cos(x)$f(x) = \cos(x)$ attorno a a = 0$a = 0$.

Soluzione:
Le derivate di \cos(x)$\cos(x)$ sono:

• f(0) = 1$f(0) = 1$
• f'(0) = 0$f'(0) = 0$
• f''(0) = -1$f''(0) = -1$
• f'''(0) = 0$f'''(0) = 0$
• f^{(4)}(0) = 1$f^{(4)}(0) = 1$

Quindi la serie di Taylor è:
\cos(x) = 1 + 0 \cdot x - 1 \cdot \frac{x^2}{2!} + 0 \cdot \frac{x^3}{3!} + 1 \cdot \frac{x^4}{4!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} $\cos(x) = 1 + 0 \cdot x - 1 \cdot \frac{x^2}{2!} + 0 \cdot \frac{x^3}{3!} + 1 \cdot \frac{x^4}{4!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

English version

Taylor Series Exercises

Taylor series is a representation of a function as an infinite sum of terms calculated from the values ​​of the derivatives of the function at a point. The general form of the Taylor series of a function f(x)$f(x)$ around a point a$a$ is given by:

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots $f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots$

or in compact form:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

where:

• f^{(n)}(a)$f^{(n)}(a)$ is the n$n$-th derivative of f$f$ evaluated at a$a$,
• n!$n!$ is the factorial of n$n$.

Properties of Taylor Series

1. Convergence: The Taylor series converges to the function f(x)$f(x)$ in a certain interval around a$a$.
2. Derivability: The function must be differentiable a sufficient number of times in the interval considered.
3. Taylor remainder: The error in the representation of the function is given by the remainder term R_n(x)$R_n(x)$:

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$

for some c$c$ between a$a$ and x$x$.

Exercises

Exercise 1: Taylor Series for e^x$e^x$

Calculate the Taylor series of the function f(x) = e^x$f(x) = e^x$ around a = 0$a = 0$.

Solution:
The derivatives of e^x$e^x$ are all e^x$e^x$ and at x = 0$x = 0$ they are all equal to 1. So:

f(x) = e^0 + \frac{e^0}{1!}x + \frac{e^0}{2!}x^2 + \frac{e^0}{3!}x^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $f(x) = e^0 + \frac{e^0}{1!}x + \frac{e^0}{2!}x^2 + \frac{e^0}{3!}x^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Exercise 2: Taylor series for \sin(x)$\sin(x)$

Calculate the Taylor series of the function f(x) = \sin(x)$f(x) = \sin(x)$ around a = 0$a = 0$.

Solution:
The derivatives of \sin(x)$\sin(x)$ are:

• f(0) = 0$f(0) = 0$
• f'(0) = 1$f'(0) = 1$
• f''(0) = 0$f''(0) = 0$
• f'''(0) = -1$f'''(0) = -1$
• f^{(4)}(0) = 0$f^{(4)}(0) = 0$
• f^{(5)}(0) = 1$f^{(5)}(0) = 1$

So the Taylor series is:

\sin(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} - 1 \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!} + 1 \cdot \frac{x^5}{5!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} $\sin(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} - 1 \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!} + 1 \cdot \frac{x^5}{5!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

Exercise 3: Taylor Series for \cos(x)$\cos(x)$

Compute the Taylor series of the function f(x) = \cos(x)$f(x) = \cos(x)$ around a = 0$a = 0$.

Solution:
The derivatives of \cos(x)$\cos(x)$ are:

• f(0) = 1$f(0) = 1$
• f'(0) = 0$f'(0) = 0$
• f''(0) = -1$f''(0) = -1$
• f'''(0) = 0$f'''(0) = 0$
• f^{(4)}(0) = 1$f^{(4)}(0) = 1$

So the Taylor series is:
\cos(x) = 1 + 0 \cdot x - 1 \cdot \frac{x^2}{2!} + 0 \cdot \frac{x^3}{3!} + 1 \cdot \frac{x^4}{4!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} $\cos(x) = 1 + 0 \cdot x - 1 \cdot \frac{x^2}{2!} + 0 \cdot \frac{x^3}{3!} + 1 \cdot \frac{x^4}{4!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$