Esercizi sulla legge di Faraday

Esercizi sulla legge di Faraday

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Versione italiana

Esercizi sulla legge di Faraday

Le Leggi di Faraday

1. Prima Legge di Faraday: La variazione del flusso magnetico attraverso una superficie chiusa induce una forza elettromotrice (f.e.m.) nel circuito. La f.e.m. indotta è direttamente proporzionale alla variazione del flusso magnetico nel tempo:

   \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

   $$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$

   dove \mathcal{E}$\mathcal{E}$ è la forza elettromotrice indotta e \Phi_B$\Phi_B$ è il flusso magnetico.

2. Seconda Legge di Faraday: L’intensità della corrente indotta in un circuito è proporzionale alla f.e.m. indotta e inversamente proporzionale alla resistenza del circuito:

   I = \frac{\mathcal{E}}{R}

   $$I = \frac{\mathcal{E}}{R}$$

   dove I$I$ è la corrente indotta e R$R$ è la resistenza del circuito.

Esercizi sulla Legge di Faraday

Esercizio 1: Calcolo della F.e.m. Indotta

Un circuito ha una superficie attraverso la quale passa un campo magnetico variabile. Se il flusso magnetico iniziale è \Phi_{B1} = 0.2 \, \text{Wb}$\Phi_{B1} = 0.2 \, \text{Wb}$ e dopo 5 secondi diventa \Phi_{B2} = 0.5 \, \text{Wb}$\Phi_{B2} = 0.5 \, \text{Wb}$, calcola la f.e.m. indotta nel circuito.

Soluzione:
Utilizzando la prima legge di Faraday:

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{\Phi_{B2} - \Phi_{B1}}{\Delta t}

$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{\Phi_{B2} - \Phi_{B1}}{\Delta t}$$

Sostituendo i valori:

\mathcal{E} = -\frac{0.5 - 0.2}{5} = -\frac{0.3}{5} = -0.06 \, \text{V}

$$\mathcal{E} = -\frac{0.5 - 0.2}{5} = -\frac{0.3}{5} = -0.06 \, \text{V}$$

La f.e.m. indotta è quindi di 0.06 V (il segno negativo indica la direzione della corrente secondo la legge di Lenz).

Esercizio 2: Corrente Indotta

Se nel circuito dell’esercizio precedente la resistenza totale è R = 10 \, \Omega$R = 10 \, \Omega$, calcola l’intensità della corrente indotta.

Soluzione:
Utilizzando la seconda legge di Faraday:

I = \frac{\mathcal{E}}{R}

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R}$$

Sostituendo i valori:

I = \frac{0.06}{10} = 0.006 \, A = 6 \, mA

$$I = \frac{0.06}{10} = 0.006 \, A = 6 \, mA$$

L’intensità della corrente indotta è quindi 6 mA.

Esercizio 3: Flusso Magnetico Variabile

Un solenoide ha una lunghezza di 0.5 m e una sezione trasversale di 0.01 m². Se il campo magnetico all’interno del solenoide varia da 0 a 1 T in 4 secondi, calcola il flusso magnetico iniziale e finale e poi la f.e.m. indotta.

Soluzione:
Il flusso magnetico (\Phi_B$\Phi_B$) si calcola come:

\Phi_B = B \cdot A

$$\Phi_B = B \cdot A$$

Dove A$A$ è l’area della sezione trasversale.

• Flusso iniziale (B_1 = 0\, T$B_1 = 0\, T$):

\Phi_{B1} = 0 \cdot 0.01 = 0\, Wb

$$\Phi_{B1} = 0 \cdot 0.01 = 0\, Wb$$

• Flusso finale (B_2 = 1\, T$B_2 = 1\, T$):

\Phi_{B2} = 1 \cdot 0.01 = 0.01\, Wb

$$\Phi_{B2} = 1 \cdot 0.01 = 0.01\, Wb$$

Ora calcoliamo la f.e.m. indotta:

\mathcal{E} = -\frac{\Phi_{B2} - \Phi_{B1}}{\Delta t} = -\frac{0.01 - 0}{4} = -0.0025\, V

$$\mathcal{E} = -\frac{\Phi_{B2} - \Phi_{B1}}{\Delta t} = -\frac{0.01 - 0}{4} = -0.0025\, V$$

La f.e.m. indotta è quindi 2.5 mV.

Esercizio Avanzato: Induzione Elettromagnetica in un Circuito RLC

Considera un circuito RLC in cui la resistenza è di R = 5\, \Omega$R = 5\, \Omega$, l’induttanza è di L = 2\, H$L = 2\, H$ e il flusso magnetico cambia con una frequenza angolare di \omega = 10\, rad/s$\omega = 10\, rad/s$. Calcola l’intensità massima della corrente indotta.

Soluzione:
La f.e.m. massima indotta può essere espressa come:

\mathcal{E}_{max} = L \frac{dI}{dt}

$$\mathcal{E}_{max} = L \frac{dI}{dt}$$

In un circuito RLC, l’intensità massima della corrente si ottiene dalla relazione:

I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{R}

$$I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{R}$$

Se consideriamo che il flusso cambia sinusoidalmente, possiamo scrivere:

\mathcal{E}_{max} = L \omega I_{max}

$$\mathcal{E}_{max} = L \omega I_{max}$$

Risolvendo per I_{max}$I_{max}$ otteniamo:

I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{L \omega}

$$I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{L \omega}$$

Assumendo che la f.e.m massima sia nota (ad esempio, se fosse stata calcolata precedentemente), possiamo sostituire i valori per trovare l’intensità massima.

English version

Faraday’s Law Exercises

Faraday’s Laws

1. Faraday’s First Law: The variation of the magnetic flux through a closed surface induces an electromotive force (emf) in the circuit. The induced emf is directly proportional to the variation of the magnetic flux with time:

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$

where \mathcal{E}$\mathcal{E}$ is the induced electromotive force and \Phi_B$\Phi_B$ is the magnetic flux.

2. Faraday’s Second Law: The intensity of the current induced in a circuit is proportional to the induced emf and inversely proportional to the resistance of the circuit:

I = \frac{\mathcal{E}}{R}

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R}$$

where I$I$ is the induced current and R$R$ is the resistance of the circuit.

Faraday’s Law Exercises

Exercise 1: Calculating the Induced E.M.F.

A circuit has a surface through which a variable magnetic field passes. If the initial magnetic flux is \Phi_{B1} = 0.2 \, \text{Wb}$\Phi_{B1} = 0.2 \, \text{Wb}$ and after 5 seconds it becomes \Phi_{B2} = 0.5 \, \text{Wb}$\Phi_{B2} = 0.5 \, \text{Wb}$, calculate the induced e.m.f. in the circuit.

Solution:
Using Faraday’s first law:

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{\Phi_{B2} - \Phi_{B1}}{\Delta t}

$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{\Phi_{B2} - \Phi_{B1}}{\Delta t}$$

Substituting the values:

\mathcal{E} = -\frac{0.5 - 0.2}{5} = -\frac{0.3}{5} = -0.06 \, \text{V}

$$\mathcal{E} = -\frac{0.5 - 0.2}{5} = -\frac{0.3}{5} = -0.06 \, \text{V}$$

The induced emf is therefore 0.06 V (the negative sign indicates the direction of the current according to Lenz’s law).

Exercise 2: Induced Current

If in the circuit of the previous exercise the total resistance is R = 10 \, \Omega$R = 10 \, \Omega$, calculate the intensity of the induced current.

Solution:
Using Faraday’s second law:

I = \frac{\mathcal{E}}{R}

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R}$$

Substituting the values:

I = \frac{0.06}{10} = 0.006 \, A = 6 \, mA

$$I = \frac{0.06}{10} = 0.006 \, A = 6 \, mA$$

The intensity of the induced current is therefore 6 mA.

Exercise 3: Varying Magnetic Flux

A solenoid has a length of 0.5 m and a cross-section of 0.01 m². If the magnetic field inside the solenoid varies from 0 to 1 T in 4 seconds, calculate the initial and final magnetic flux and then the induced emf.

Solution:
The magnetic flux (\Phi_B$\Phi_B$) is calculated as:

\Phi_B = B \cdot A

$$\Phi_B = B \cdot A$$

Where A$A$ is the cross-sectional area.

• Initial flux (B_1 = 0\, T$B_1 = 0\, T$):

\Phi_{B1} = 0 \cdot 0.01 = 0\, Wb

$$\Phi_{B1} = 0 \cdot 0.01 = 0\, Wb$$

• Final flux (B_2 = 1\, T$B_2 = 1\, T$):

\Phi_{B2} = 1 \cdot 0.01 = 0.01\, Wb

$$\Phi_{B2} = 1 \cdot 0.01 = 0.01\, Wb$$

Now let’s calculate the emf induced:

\mathcal{E} = -\frac{\Phi_{B2} - \Phi_{B1}}{\Delta t} = -\frac{0.01 - 0}{4} = -0.0025\, V

$$\mathcal{E} = -\frac{\Phi_{B2} - \Phi_{B1}}{\Delta t} = -\frac{0.01 - 0}{4} = -0.0025\, V$$

The induced emf is therefore 2.5 mV.

Advanced Exercise: Electromagnetic Induction in an RLC Circuit

Consider an RLC circuit in which the resistance is R = 5\, \Omega$R = 5\, \Omega$, the inductance is L = 2\, H$L = 2\, H$ and the magnetic flux changes with an angular frequency of \omega = 10\, rad/s$\omega = 10\, rad/s$. Calculate the maximum intensity of the induced current.

Solution:
The emf maximum induced current can be expressed as:

\mathcal{E}_{max} = L \frac{dI}{dt}

$$\mathcal{E}_{max} = L \frac{dI}{dt}$$

In an RLC circuit, the maximum current intensity is obtained from the relation:

I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{R}

$$I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{R}$$

If we consider that the flux changes sinusoidally, we can write:

\mathcal{E}_{max} = L \omega I_{max}

$$\mathcal{E}_{max} = L \omega I_{max}$$

Solving for I_{max}$I_{max}$ we obtain:

I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{L \omega}

$$I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{L \omega}$$

Assuming that the maximum emf is known (for example, if it had been calculated previously), we can substitute the values ​​to find the maximum intensity.