Esercizi sulla legge dei grandi numeri

Esercizi sulla legge dei grandi numeri

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Versione italiana

Esercizi sulla legge dei grandi numeri

Teoria della Legge dei Grandi Numeri

La legge dei grandi numeri è un principio fondamentale della statistica e della teoria della probabilità. Essa afferma che, aumentando il numero di esperimenti o osservazioni, la media aritmetica dei risultati tende a convergere verso il valore atteso (media teorica) della popolazione da cui i dati sono estratti. Esistono due forme principali della legge dei grandi numeri:

1. Legge dei grandi numeri debole: Stabilisce che, per un numero sufficientemente grande di prove indipendenti, la media campionaria converge in probabilità alla media della popolazione.

2. Legge dei grandi numeri forte: Stabilisce che la media campionaria converge quasi sicuramente alla media della popolazione quando il numero di prove tende all’infinito.

Formula

Se X_1, X_2, \ldots, X_n$X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite con media \mu$\mu$ e varianza \sigma^2$\sigma^2$, allora:

\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to \mu \quad \text{(in probabilità)}.

$$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to \mu \quad \text{(in probabilità)}.$$

Esercizi sulla Legge dei Grandi Numeri

Esercizio 1: Media Campionaria

Supponiamo di lanciare un dado equo 100 volte. I risultati ottenuti sono i seguenti (riportati in forma semplificata):

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

Calcola la media campionaria e confrontala con la media teorica del dado.

Svolgimento:

1. Calcola la media teorica del dado:
   La media teorica di un dado equo a sei facce è:

   \mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.

   $$\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.$$

2. Calcola la media campionaria:
   Supponiamo che i risultati siano stati ottenuti in modo uniforme su 100 lanci. La media campionaria sarà quindi:

   \bar{X} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5.

   $$\bar{X} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5.$$

Risultato:

La media campionaria è uguale alla media teorica: \bar{X} = 3.5$\bar{X} = 3.5$.

Esercizio 2: Convergenza della Media Campionaria

Un esperimento consiste nel lanciare una moneta equa (testa o croce) per un totale di 50 volte. Supponiamo che si ottengano i seguenti risultati:

• Teste: 30
• Croci: 20

Calcola la frequenza relativa delle teste e verifica se si avvicina alla probabilità teorica.

Svolgimento:

1. Calcola la frequenza relativa delle teste:

   f_{teste} = \frac{\text{numero di teste}}{\text{numero totale di lanci}} = \frac{30}{50} = 0.6.

   $$f_{teste} = \frac{\text{numero di teste}}{\text{numero totale di lanci}} = \frac{30}{50} = 0.6.$$

2. Probabilità teorica delle teste:
   Poiché la moneta è equa, la probabilità teorica di ottenere testa è:

   P(T) = 0.5.

   $$P(T) = 0.5.$$

Risultato:

La frequenza relativa delle teste è f_{teste} = 0.6$f_{teste} = 0.6$, che si discosta dalla probabilità teorica di P(T) = 0.5$P(T) = 0.5$, ma potrebbe avvicinarsi con un numero maggiore di lanci.

Esercizio 3: Legge dei Grandi Numeri in Pratica

Immagina di condurre un esperimento in cui tiri una pallina da un’urna contenente le seguenti palline:

• Palline rosse: 4
• Palline blu: 6
• Palline verdi: 10

Se tiriamo una pallina a caso per un totale di 100 volte, calcola la proporzione attesa delle palline di ciascun colore e confrontala con una simulazione in cui otteniamo i seguenti risultati:

• Rosse: 30
• Blu: 20
• Verdi: 50

Svolgimento:

1. Calcola il numero totale di palline:

   N_{totale} = 4 + 6 + 10 = 20.

   $$N_{totale} = 4 + 6 + 10 = 20.$$

2. Calcola le proporzioni attese:

   • Proporzione attesa delle rosse:

     P(Rosso) = \frac{4}{20} = 0.2.

     $$P(Rosso) = \frac{4}{20} = 0.2.$$

   • Proporzione attesa delle blu:

     P(Blu) = \frac{6}{20} = 0.3.

     $$P(Blu) = \frac{6}{20} = 0.3.$$

   • Proporzione attesa delle verdi:

     P(Verde) = \frac{10}{20} = 0.5.

     $$P(Verde) = \frac{10}{20} = 0.5.$$

3. Confronta con i risultati ottenuti:

   • Proporzione delle rosse:

     f_{rosse} = \frac{30}{100} = 0.3.

     $$f_{rosse} = \frac{30}{100} = 0.3.$$

   • Proporzione delle blu:

     f_{blu} = \frac{20}{100} = 0.2.

     $$f_{blu} = \frac{20}{100} = 0.2.$$

   • Proporzione delle verdi:

     f_{verdi} = \frac{50}{100} = 0.5.

     $$f_{verdi} = \frac{50}{100} = 0.5.$$

Risultato:

Le proporzioni ottenute (0.3 per le rosse, 0.2 per le blu e 0.5 per le verdi) mostrano una certa variabilità rispetto alle proporzioni attese (0.2 per le rosse, 0.3 per le blu e 0.5 per le verdi), ma tendono a stabilizzarsi man mano che il numero di estrazioni aumenta.

English version

Exercises on the law of large numbers

Theory of the Law of Large Numbers

The law of large numbers is a fundamental principle of statistics and probability theory. It states that, by increasing the number of experiments or observations, the arithmetic mean of the results tends to converge towards the expected value (theoretical mean) of the population from which the data are extracted. There are two main forms of the law of large numbers:

1. Weak law of large numbers: It states that, for a sufficiently large number of independent trials, the sample mean converges in probability to the population mean.

2. Strong law of large numbers: It states that the sample mean almost certainly converges to the population mean when the number of trials tends to infinity.

Formula

If X_1, X_2, \ldots, X_n$X_1, X_2, \ldots, X_n$ are independent and identically distributed random variables with mean \mu$\mu$ and variance \sigma^2$\sigma^2$, then:

\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to \mu \quad \text{(in probability)}.

$$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to \mu \quad \text{(in probability)}.$$

Exercises on the Law of Large Numbers

Exercise 1: Sample Mean

Suppose we throw a fair die 100 times. The results obtained are the following (reported in simplified form):

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

Calculate the sample mean and compare it with the theoretical mean of the die.

Procedure:

1. Calculate the theoretical mean of the die:
   The theoretical mean of a fair six-sided die is:

\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.

$$\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.$$

2. Calculate the sample mean:
   Suppose that the results were obtained uniformly over 100 throws. The sample mean will therefore be:

\bar{X} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5.

$$\bar{X} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5.$$

Result:

The sample mean is equal to the theoretical mean: \bar{X} = 3.5$\bar{X} = 3.5$.

Exercise 2: Convergence of the Sample Mean

An experiment consists of flipping a fair coin (heads or tails) a total of 50 times. Suppose that the following results are obtained:

• Heads: 30
• Tails: 20

Calculate the relative frequency of heads and verify whether it is close to the theoretical probability.

Procedure:

1. Calculate the relative frequency of heads:

f_{heads} = \frac{\text{number of heads}}{\text{total number of flips}} = \frac{30}{50} = 0.6.

$$f_{heads} = \frac{\text{number of heads}}{\text{total number of flips}} = \frac{30}{50} = 0.6.$$

2. Theoretical probability of heads:
   Since the coin is fair, the theoretical probability of getting heads is:

P(T) = 0.5.

$$P(T) = 0.5.$$

Result:

The relative frequency of heads is f_{heads} = 0.6$f_{heads} = 0.6$, which is far from the theoretical probability of P(T) = 0.5$P(T) = 0.5$, but could be closer with more tosses.

Exercise 3: Law of Large Numbers in Practice

Imagine conducting an experiment in which you throw a ball from an urn containing the following balls:

• Red balls: 4
• Blue balls: 6
• Green balls: 10

If we throw a ball at random a total of 100 times, calculate the expected proportion of balls of each color and compare it with a simulation in which we obtain the following results:

• Red: 30
• Blue: 20
• Green: 50

Procedure:

1. Calculate the total number of balls:

N_{total} = 4 + 6 + 10 = 20.

$$N_{total} = 4 + 6 + 10 = 20.$$

2. Calculate the expected proportions:

• Expected proportion of red balls:

P(Red) = \frac{4}{20} = 0.2.

$$P(Red) = \frac{4}{20} = 0.2.$$

• Expected proportion of blue:

P(Blue) = \frac{6}{20} = 0.3.

$$P(Blue) = \frac{6}{20} = 0.3.$$

• Expected proportion of green:

P(Green) = \frac{10}{20} = 0.5.

$$P(Green) = \frac{10}{20} = 0.5.$$

3. Compare with the results obtained:

• Proportion of red:

f_{red} = \frac{30}{100} = 0.3.

$$f_{red} = \frac{30}{100} = 0.3.$$

• Proportion of blue:

f_{blue} = \frac{20}{100} = 0.2.

$$f_{blue} = \frac{20}{100} = 0.2.$$

• Proportion of green:

f_{green} = \frac{50}{100} = 0.5.

$$f_{green} = \frac{50}{100} = 0.5.$$

Result:

The obtained proportions (0.3 for red, 0.2 for blue and 0.5 for green) show some variability compared to the expected proportions (0.2 for red, 0.3 for blue and 0.5 for green), but tend to stabilize as the number of extractions increases.