Versione italiana
Esercizi sulla distribuzione condizionata
Teoria della Distribuzione Condizionata
La distribuzione condizionata è un concetto fondamentale nella teoria della probabilità che descrive la probabilità di un evento dato che un altro evento è già avvenuto. In altre parole, fornisce informazioni su come la probabilità di un evento cambia quando si conosce che un altro evento è vero.
Definizione
La probabilità condizionata di un evento A dato un evento B è definita come:
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
dove:
- P(A | B) è la probabilità di A dato B,
- P(A \cap B) è la probabilità che entrambi gli eventi A e B si verifichino,
- P(B) è la probabilità che l’evento B si verifichi.
Proprietà
- Non Negatività: P(A | B) \geq 0
- Normalizzazione: La somma delle probabilità condizionate su tutti i possibili eventi disgiunti dati B è 1.
- Regola di Bayes: Permette di calcolare le probabilità condizionate in modo inverso.
Esercizi sulla Distribuzione Condizionata
Esercizio 1: Probabilità Condizionata Semplice
In una classe ci sono 20 studenti, di cui 12 sono maschi e 8 sono femmine. Se sappiamo che uno studente scelto a caso è femmina, qual è la probabilità che sia anche una studentessa di matematica, dato che 5 delle 8 femmine studiano matematica?
Svolgimento:
-
Identificare gli eventi:
- A = “Lo studente scelto studia matematica”
- B = “Lo studente scelto è una femmina”
-
Calcolare le probabilità:
-
P(B) = \frac{8}{20} = 0.4
-
P(A \cap B) = \frac{5}{20} = 0.25
-
-
Calcolare la probabilità condizionata:
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.25}{0.4} = 0.625.
Risultato:
La probabilità che uno studente scelto a caso sia una studentessa di matematica, dato che è femmina, è 0.625 o 62.5%.
Esercizio 2: Probabilità Condizionata con Due Eventi
Un dado viene lanciato due volte. Sia A l’evento “la somma dei risultati è uguale a 7” e sia B l’evento “il primo lancio è un 4”. Calcola P(A | B).
Svolgimento:
-
Identificare gli eventi:
- A = “Somma dei risultati = 7”
- B = “Primo lancio = 4”
-
Calcolare P(B):
Ci sono 6 possibili risultati per il secondo lancio, quindi:P(B) = \frac{1}{6}.
-
Calcolare P(A \cap B):
Se il primo lancio è 4, per avere una somma di 7, il secondo lancio deve essere 3 (4 + 3 = 7). Quindi:P(A \cap B) = P(\text{secondo lancio} = 3 | primo lancio = 4) = \frac{1}{6}.
-
Calcolare la probabilità condizionata:
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} = 1.
Risultato:
La probabilità che la somma dei risultati sia uguale a 7, dato che il primo lancio è un 4, è 1 o 100%.
Esercizio 3: Regola di Bayes
In un test diagnostico per una malattia, il test ha una sensibilità del 90% (probabilità di test positivo se la malattia è presente) e una specificità del 80% (probabilità di test negativo se la malattia non è presente). Supponiamo che il tasso di prevalenza della malattia nella popolazione sia dell’1%. Se una persona riceve un risultato positivo al test, qual è la probabilità che abbia effettivamente la malattia?
Svolgimento:
-
Definire gli eventi:
- A: “La persona ha la malattia”
- B: “Il test risulta positivo”
-
Calcolare le probabilità note:
- P(A) = 0.01
- P(\neg A) = 0.99
- P(B | A) = 0.90
- P(B | \neg A) = 0.20
-
Calcolare P(B) usando la legge totale delle probabilità:
P(B) = P(B | A)P(A) + P(B | \neg A)P(\neg A)
= (0.90)(0.01) + (0.20)(0.99)
= 0.009 + 0.198 = 0.207.
- Applicare la regola di Bayes:
P(A | B) = \frac{P(B | A)P(A)}{P(B)}.
= \frac{(0.90)(0.01)}{0.207} ≈ \frac{0.009}{0.207} ≈ 0.0435.
Risultato:
La probabilità che una persona abbia effettivamente la malattia dato che ha ricevuto un risultato positivo al test è circa 0.0435, o 4.35%.
English version
Conditional Distribution Exercises
Conditional Distribution Theory
The conditional distribution is a fundamental concept in probability theory that describes the probability of an event given that another event has already occurred. In other words, it provides information about how the probability of an event changes when another event is known to be true.
Definition
The conditional probability of an event A given an event B is defined as:
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
where:
- P(A | B) is the probability of A given B,
- P(A \cap B) is the probability that both events A and B occur,
- P(B) is the probability that event B occurs.
Properties
- Non-Negativity: P(A | B) \geq 0
- Normalization: The sum of the conditional probabilities on all possible disjoint events given B is 1.
- Bayes’ Rule: Allows you to calculate the conditional probabilities inversely.
Exercises on Conditional Distribution
Exercise 1: Simple Conditional Probability
There are 20 students in a class, 12 of whom are male and 8 are female. If we know that a randomly chosen student is female, what is the probability that she is also a math student, given that 5 of the 8 females study math?
Procedure:
- Identify the events:
- A = “The chosen student is a math major”
- B = “The chosen student is a female”
- Calculate the probabilities:
-
P(B) = \frac{8}{20} = 0.4
-
P(A \cap B) = \frac{5}{20} = 0.25
- Calculate the conditional probability:
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.25}{0.4} = 0.625.
Result:
The probability that a randomly chosen student is a math major, given that she is a female, is 0.625 or 62.5%.
Exercise 2: Conditional Probability with Two Events
A die is rolled twice. Let A be the event “the sum of the results is equal to 7” and let B be the event “the first roll is a 4”. Calculate P(A | B).
Procedure:
- Identify the events:
- A = “Sum of the results = 7”
- B = “First roll = 4”
- Calculate P(B):
There are 6 possible results for the second roll, so:
P(B) = \frac{1}{6}.
- Calculate P(A \cap B):
If the first roll is 4, to have a sum of 7, the second roll must be 3 (4 + 3 = 7). So:
P(A \cap B) = P(\text{second toss} = 3 | first toss = 4) = \frac{1}{6}.
- Calculate the conditional probability:
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} = 1.
Result:
The probability that the sum of the results is equal to 7, given that the first toss is a 4, is 1 or 100%.
Exercise 3: Bayes’ Rule
In a diagnostic test for a disease, the test has a sensitivity of 90% (probability of a positive test if the disease is present) and a specificity of 80% (probability of a negative test if the disease is not present). Suppose the prevalence rate of the disease in the population is 1%. If a person receives a positive test result, what is the probability that he or she actually has the disease?
Procedure:
- Define the events:
- A: “The person has the disease”
- B: “The test is positive”
- Calculate the known probabilities:
- P(A) = 0.01
- P(\neg A) = 0.99
- P(B | A) = 0.90
- P(B | \neg A) = 0.20
- Calculate P(B) using the total law of probabilities:
P(B) = P(B | A)P(A) + P(B | \neg A)P(\neg A)
= (0.90)(0.01) + (0.20)(0.99)
= 0.009 + 0.198 = 0.207.
- Apply Bayes’ rule:
P(A | B) = \frac{P(B | A)P(A)}{P(B)}.
= \frac{(0.90)(0.01)}{0.207} ≈ \frac{0.009}{0.207} ≈ 0.0435.
Result:
The probability that a person actually has the disease given that he or she has received a positive test result is approximately 0.0435, or 4.35%.
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