Esercizi sulla Circonferenza in Geometria Analitica

Esercizi sulla Circonferenza in Geometria Analitica

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Versione italiana

Esercizi sulla Circonferenza in Geometria Analitica

La circonferenza è un insieme di punti nel piano che sono equidistanti da un punto fisso chiamato centro. La distanza costante è chiamata raggio.

Concetti Chiave

1. Equazione della circonferenza: L’equazione generale di una circonferenza con centro C(h, k)$C(h, k)$ e raggio r$r$ è data da:
   (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

2. Centro e raggio:

   • Il centro C$C$ è il punto (h, k)$(h, k)$.
   • Il raggio r$r$ è la distanza dal centro a qualsiasi punto sulla circonferenza.

3. Punti sulla circonferenza: Un punto P(x_0, y_0)$P(x_0, y_0)$ appartiene alla circonferenza se soddisfa l’equazione della circonferenza.

4. Distanza tra due punti: La distanza d$d$ tra due punti A(x_1, y_1)$A(x_1, y_1)$ e B(x_2, y_2)$B(x_2, y_2)$ è data da:
   d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Esercizi

Esercizio 1: Trovare l’equazione della circonferenza

Problema: Trova l’equazione della circonferenza con centro C(2, -3)$C(2, -3)$ e raggio r = 4$r = 4$.

Soluzione:

Utilizzando la formula dell’equazione della circonferenza:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Sostituendo h = 2$h = 2$, k = -3$k = -3$ e r = 4$r = 4$:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4^2

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4^2$$

L’equazione della circonferenza è:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$

Esercizio 2: Verificare se un punto appartiene alla circonferenza

Problema: Verifica se il punto P(2, 1)$P(2, 1)$ appartiene alla circonferenza definita dall’equazione (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$.

Soluzione:

Sostituiamo le coordinate del punto P(2, 1)$P(2, 1)$ nell’equazione della circonferenza:

(2 - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 16

$$(2 - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 16$$

Calcoliamo:

0^2 + 4^2 = 16 \implies 0 + 16 = 16

$$0^2 + 4^2 = 16 \implies 0 + 16 = 16$$

Poiché l’equazione è vera, il punto P(2, 1)$P(2, 1)$ appartiene alla circonferenza.

Esercizio 3: Trovare il centro e il raggio dalla forma generale

Problema: Trova il centro e il raggio della circonferenza data dall’equazione x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

Soluzione:

1. Riscriviamo l’equazione in forma standard completando i quadrati.

   Iniziamo con:
   x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 $x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12$

2. Completiamo il quadrato per x$x$ e y$y$:

   • Per x^2 - 4x$x^2 - 4x$:
     x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

   • Per y^2 + 6y$y^2 + 6y$:
     y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 $y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$

3. Sostituiamo nella nostra equazione:
   (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12 $(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12$

4. Risolvendo otteniamo:
   (x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 12 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 12$

5. Portiamo il termine costante dall’altra parte:
   (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Ora possiamo identificare il centro e il raggio della circonferenza:

• Centro: C(2, -3)$C(2, -3)$
• Raggio: r = \sqrt{25} = 5$r = \sqrt{25} = 5$

Esercizio 4: Distanza tra un punto e il centro della circonferenza

Problema: Calcola la distanza dal punto P(1, 1)$P(1, 1)$ al centro della circonferenza C(2, -3)$C(2, -3)$.

Soluzione:

Utilizziamo la formula per calcolare la distanza d$d$ tra i punti A(x_1, y_1)$A(x_1, y_1)$ e B(x_2, y_2)$B(x_2, y_2)$:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Sostituendo A(1, 1)$A(1, 1)$ e C(2, -3)$C(2, -3)$:

d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - 1)^2} $d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - 1)^2}$

Calcoliamo:

d = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.12 $d = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.12$

La distanza dal punto P(1, 1)$P(1, 1)$ al centro della circonferenza C(2, -3)$C(2, -3)$ è quindi \sqrt{17}$\sqrt{17}$ o circa 4.12$4.12$ unità.

English version

Exercises on Circumference in Analytic Geometry

Circumference is a set of points in the plane that are equidistant from a fixed point called the center. The constant distance is called radius.

Key Concepts

1. Circumference Equation: The general equation of a circumference with center C(h, k)$C(h, k)$ and radius r$r$ is given by:
   (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

2. Center and radius:

• The center C$C$ is the point (h, k)$(h, k)$.
• The radius r$r$ is the distance from the center to any point on the circumference.

3. Points on the circumference: A point P(x_0, y_0)$P(x_0, y_0)$ belongs to the circumference if it satisfies the equation of the circumference.

4. Distance between two points: The distance d$d$ between two points A(x_1, y_1)$A(x_1, y_1)$ and B(x_2, y_2)$B(x_2, y_2)$ is given by:
   d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Exercises

Exercise 1: Find the equation of the circumference

Problem: Find the equation of the circumference with center C(2, -3)$C(2, -3)$ and radius r = 4$r = 4$.

Solution:

Using the formula of the equation of the circumference:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Substituting h = 2$h = 2$, k = -3$k = -3$ and r = 4$r = 4$:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4^2

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4^2$$

The equation of the circumference is:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$

Exercise 2: Verify if a point belongs to the circumference

Problem: Verify if the point P(2, 1)$P(2, 1)$ belongs to the circumference defined by the equation (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$.

Solution:

We substitute the coordinates of the point P(2, 1)$P(2, 1)$ in the equation of the circumference:

(2 - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 16

$$(2 - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 16$$

We calculate:

0^2 + 4^2 = 16 \implies 0 + 16 = 16

$$0^2 + 4^2 = 16 \implies 0 + 16 = 16$$

Since the equation is true, the point P(2, 1)$P(2, 1)$ belongs to the circumference.

Exercise 3: Find the center and radius of the general form

Problem: Find the center and radius of the circumference given by the equation x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

Solution:

1. We rewrite the equation in standard form by completing the squares.

Let’s start with:
x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 $x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12$

2. Complete the square for x$x$ and y$y$:

• For x^2 - 4x$x^2 - 4x$:
  x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

• For y^2 + 6y$y^2 + 6y$:
  y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 $y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$

3. Substitute into our equation:
   (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12 $(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12$

4. Solving gives us:
   (x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 12 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 12$

5. Carry the constant term over:
   (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Now we can identify the center and the radius of the circle:

• Center: C(2, -3)$C(2, -3)$
• Radius: r = \sqrt{25} = 5$r = \sqrt{25} = 5$

Exercise 4: Distance between a point and the center of the circle

Problem: Calculate the distance from the point P(1, 1)$P(1, 1)$ to the center of the circle C(2, -3)$C(2, -3)$.

Solution:

We use the formula to calculate the distance d$d$ between the points A(x_1, y_1)$A(x_1, y_1)$ and B(x_2, y_2)$B(x_2, y_2)$:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Substituting A(1, 1)$A(1, 1)$ and C(2, -3)$C(2, -3)$:

d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - 1)^2} $d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - 1)^2}$

We calculate:

d = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.12 $d = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.12$

The distance from the point P(1, 1)$P(1, 1)$ to the center of the circumference C(2, -3)$C(2, -3)$ is therefore \sqrt{17}$\sqrt{17}$ or about 4.12$4.12$ units.