Esercizi sul Teorema di Peano

Esercizi sul Teorema di Peano

Esercizi sul Teorema di Peano

Versione italiana

Esercizi sul Teorema di Peano

Il Teorema di Peano, formulato da Giuseppe Peano, stabilisce i fondamenti dei numeri naturali attraverso un insieme di assiomi. Gli assiomi di Peano definiscono i numeri naturali e le operazioni su di essi.

Assiomi di Peano

1. Zero è un numero naturale:
   0 \in \mathbb{N}$0 \in \mathbb{N}$

2. Ogni numero naturale ha un successore:
   Se n \in \mathbb{N}$n \in \mathbb{N}$, allora il successore di n$n$, denotato S(n)$S(n)$, è anch’esso un numero naturale.

3. Zero non è il successore di alcun numero naturale:
   S(n) \neq 0 \quad \text{per ogni } n \in \mathbb{N} $S(n) \neq 0 \quad \text{per ogni } n \in \mathbb{N}$

4. Numeri naturali distinti hanno successori distinti:
   Se m \neq n$m \neq n$, allora S(m) \neq S(n)$S(m) \neq S(n)$.

5. Principio di induzione:
   Se una proprietà P$P$ è vera per 0$0$ e se P(n)$P(n)$ implica P(S(n))$P(S(n))$, allora P(n)$P(n)$ è vera per tutti i numeri naturali.

Concetti Chiave

• Numeri Naturali: L’insieme dei numeri naturali è denotato da \mathbb{N}$\mathbb{N}$ e include 0, 1, 2, 3, \ldots$0, 1, 2, 3, \ldots$.
• Successore: Il successore di un numero naturale n$n$ è definito come S(n) = n + 1$S(n) = n + 1$.
• Induzione: Un metodo di prova che consente di dimostrare che una proprietà è vera per tutti i numeri naturali.

Esercizi

Esercizio 1

Dimostra che 1$1$ è un numero naturale utilizzando gli assiomi di Peano.

Soluzione:

Secondo gli assiomi di Peano, sappiamo che 0$0$ è un numero naturale. Il successore di 0$0$ è 1$1$:

1 = S(0) \in \mathbb{N} $1 = S(0) \in \mathbb{N}$

Quindi, 1$1$ è un numero naturale.

Esercizio 2

Dimostra che 2$2$ è un numero naturale.

Soluzione:

Utilizzando il successore di 1$1$:

2 = S(1) = S(S(0)) \in \mathbb{N} $2 = S(1) = S(S(0)) \in \mathbb{N}$

Quindi, 2$2$ è un numero naturale.

Esercizio 3

Usa il principio di induzione per dimostrare che per ogni numero naturale n$n$, n + 0 = n$n + 0 = n$.

Soluzione:

1. Base dell’induzione: Per n = 0$n = 0$:

   0 + 0 = 0 $0 + 0 = 0$

   Quindi, la proprietà è vera per n = 0$n = 0$.

2. Passo induttivo: Supponiamo che la proprietà sia vera per un certo n$n$, cioè n + 0 = n$n + 0 = n$. Dobbiamo dimostrare che è vera per S(n)$S(n)$:

   S(n) + 0 = S(n) $S(n) + 0 = S(n)$

   Questo è vero per definizione dell’operazione di somma.

Perciò, per induzione, n + 0 = n$n + 0 = n$ è vero per ogni numero naturale n$n$.

English version

Exercises on Peano’s Theorem

Peano’s Theorem, formulated by Giuseppe Peano, establishes the foundations of natural numbers through a set of axioms. Peano’s axioms define natural numbers and operations on them.

Peano Axioms

1. Zero is a natural number:
   0 \in \mathbb{N}$0 \in \mathbb{N}$

2. Every natural number has a successor:
   If n \in \mathbb{N}$n \in \mathbb{N}$, then the successor of n$n$, denoted S(n)$S(n)$, is also a natural number.

3. Zero is not the successor of any natural number:
   S(n) \neq 0 \quad \text{for every } n \in \mathbb{N} $S(n) \neq 0 \quad \text{for every } n \in \mathbb{N}$

4. Distinct natural numbers have distinct successors:
   If m \neq n$m \neq n$, then S(m) \neq S(n)$S(m) \neq S(n)$.

5. Principle of Induction:
   If a property P$P$ is true for 0$0$ and if P(n)$P(n)$ implies P(S(n))$P(S(n))$, then P(n)$P(n)$ is true for all natural numbers.

Key Concepts

• Natural Numbers: The set of natural numbers is denoted by \mathbb{N}$\mathbb{N}$ and includes 0, 1, 2, 3, \ldots$0, 1, 2, 3, \ldots$.
• Successor: The successor of a natural number n$n$ is defined as S(n) = n + 1$S(n) = n + 1$.
• Induction: A method of proof that allows you to show that a property is true for all natural numbers.

Exercises

Exercise 1

Prove that 1$1$ is a natural number using the Peano axioms.

Solution:

According to the Peano axioms, we know that 0$0$ is a natural number. The successor of 0$0$ is 1$1$:

1 = S(0) \in \mathbb{N} $1 = S(0) \in \mathbb{N}$

Therefore, 1$1$ is a natural number.

Exercise 2

Prove that 2$2$ is a natural number.

Solution:

Using the successor of 1$1$:

2 = S(1) = S(S(0)) \in \mathbb{N} $2 = S(1) = S(S(0)) \in \mathbb{N}$

Therefore, 2$2$ is a natural number.

Exercise 3

Use the principle of induction to show that for every natural number n$n$, n + 0 = n$n + 0 = n$.

Solution:

1. Basis of induction: For n = 0$n = 0$:

0 + 0 = 0 $0 + 0 = 0$

Therefore, the property is true for n = 0$n = 0$.

2. Inductive step: Suppose that the property is true for some n$n$, that is, n + 0 = n$n + 0 = n$. We need to show that it is true for S(n)$S(n)$:

S(n) + 0 = S(n) $S(n) + 0 = S(n)$

This is true by definition of the addition operation.

Therefore, by induction, n + 0 = n$n + 0 = n$ is true for every natural number n$n$.