Esercizi sul teorema di Čebyšëv

Esercizi sul teorema di Čebyšëv

+Esercizi sul teorema di Čebyšëv

Versione italiana

Esercizi sul teorema di Čebyšëv

Teorema di Čebyšëv

Il Teorema di Čebyšëv è un risultato fondamentale in statistica e teoria della probabilità che fornisce una misura della dispersione dei dati rispetto alla media. Esso afferma che, per una variabile casuale X$X$ con media \mu$\mu$ e deviazione standard \sigma$\sigma$, almeno 1 - \frac{1}{k^2}$1 - \frac{1}{k^2}$ dei valori di X$X$ si trova all’interno dell’intervallo [\mu - k\sigma, \mu + k\sigma]$[\mu - k\sigma, \mu + k\sigma]$ per ogni k > 1$k > 1$.

Formula del Teorema di Čebyšëv

P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}

$$P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}$$

Dove:

• P$P$ è la probabilità.
• |X - \mu| < k\sigma$|X - \mu| < k\sigma$ indica che la variabile casuale X$X$ si trova entro k$k$ deviazioni standard dalla media.

Esercizi

Esercizio 1: Applicazione del Teorema di Čebyšëv

Una classe di studenti ha un punteggio medio di 75 con una deviazione standard di 10. Usa il Teorema di Čebyšëv per determinare almeno quale percentuale degli studenti ha ottenuto un punteggio compreso tra 55 e 95.

Soluzione:

• Media (\mu$\mu$) = 75
• Deviazione standard (\sigma$\sigma$) = 10
• Intervallo: [55, 95]$[55, 95]$

Calcoliamo k$k$:

k = \frac{95 - 75}{10} = 2

$$k = \frac{95 - 75}{10} = 2$$

k = \frac{75 - 55}{10} = 2

$$k = \frac{75 - 55}{10} = 2$$

Quindi, k = 2$k = 2$.

Applicando il Teorema di Čebyšëv:

P(|X - 75| < 20) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

$$P(|X - 75| < 20) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Almeno il 75% degli studenti ha ottenuto un punteggio compreso tra 55 e 95.

Esercizio 2: Interpretazione dei risultati

Un’azienda ha registrato i tempi di attesa dei clienti in minuti, con una media di 12 minuti e una deviazione standard di 3 minuti. Utilizzando il Teorema di Čebyšëv, calcola la percentuale minima di clienti che hanno atteso tra 6 e 18 minuti.

Soluzione:

• Media (\mu$\mu$) = 12
• Deviazione standard (\sigma$\sigma$) = 3
• Intervallo: [6, 18]$[6, 18]$

Calcoliamo k$k$:

k_1 = \frac{12 - 6}{3} = 2

$$k_1 = \frac{12 - 6}{3} = 2$$

k_2 = \frac{18 - 12}{3} = 2

$$k_2 = \frac{18 - 12}{3} = 2$$

Quindi, k = 2$k = 2$.

Applicando il Teorema di Čebyšëv:

P(|X - 12| < 6) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

$$P(|X - 12| < 6) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Almeno il 75% dei clienti ha atteso tra 6 e 18 minuti.

Esercizio 3: Estensione del teorema

Considera una variabile casuale che ha una media di 50$50$ e una deviazione standard di 5$5$. Utilizzando il Teorema di Čebyšëv, calcola la percentuale minima di osservazioni che si trovano entro due deviazioni standard dalla media.

Soluzione:

• Media (\mu$\mu$) = 50
• Deviazione standard (\sigma$\sigma$) = 5
• Intervallo: [50 - (2*5), 50 + (2*5)] = [40, 60]$[50 - (2*5), 50 + (2*5)] = [40, 60]$

Calcoliamo k = 2$k = 2$:

P(|X - 50| < (2*5)) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

$$P(|X - 50| < (2*5)) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Almeno il 75% delle osservazioni si trova entro due deviazioni standard dalla media.

English version

Exercises on Chebyshev’s Theorem

Chebyshev’s Theorem

Chebyshev’s Theorem is a fundamental result in statistics and probability theory that provides a measure of the dispersion of data about the mean. It states that, for a random variable X$X$ with mean \mu$\mu$ and standard deviation \sigma$\sigma$, at least 1 - \frac{1}{k^2}$1 - \frac{1}{k^2}$ of the values ​​of X$X$ lie within the interval [\mu - k\sigma, \mu + k\sigma]$[\mu - k\sigma, \mu + k\sigma]$ for every k > 1$k > 1$.

Formula of Chebyshev’s Theorem

P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}

$$P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}$$

Where:

• P$P$ is the probability.
• |X - \mu| < k\sigma$|X - \mu| < k\sigma$ indicates that the random variable X$X$ is within k$k$ standard deviations of the mean.

Exercises

Exercise 1: Applying Chebyshev’s Theorem

A class of students has a mean score of 75 with a standard deviation of 10. Use Chebyshev’s Theorem to determine at least what percentage of the students scored between 55 and 95.

Solution:

• Mean (\mu$\mu$) = 75
• Standard deviation (\sigma$\sigma$) = 10
• Range: [55, 95]$[55, 95]$

Let’s calculate k$k$:

k = \frac{95 - 75}{10} = 2

$$k = \frac{95 - 75}{10} = 2$$

k = \frac{75 - 55}{10} = 2

$$k = \frac{75 - 55}{10} = 2$$

So, k = 2$k = 2$.

Using Chebyshev’s Theorem:

P(|X - 75| < 20) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

$$P(|X - 75| < 20) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

At least 75% of the students scored between 55 and 95.

Exercise 2: Interpreting the Results

A company recorded customer wait times in minutes, with a mean of 12 minutes and a standard deviation of 3 minutes. Using Chebyshev’s Theorem, find the minimum percentage of customers who waited between 6 and 18 minutes.

Solution:

• Mean (\mu$\mu$) = 12
• Standard deviation (\sigma$\sigma$) = 3
• Range: [6, 18]$[6, 18]$

Let’s calculate k$k$:

k_1 = \frac{12 - 6}{3} = 2

$$k_1 = \frac{12 - 6}{3} = 2$$

k_2 = \frac{18 - 12}{3} = 2

$$k_2 = \frac{18 - 12}{3} = 2$$

So, k = 2$k = 2$.

Applying Chebyshev’s Theorem:

P(|X - 12| < 6) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

$$P(|X - 12| < 6) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

At least 75% of customers waited between 6 and 18 minutes.

Exercise 3: Extending the Theorem

Consider a random variable that has a mean of 50$50$ and a standard deviation of 5$5$. Using Chebyshev’s Theorem, calculate the minimum percentage of observations that are within two standard deviations of the mean.

Solution:

• Mean (\mu$\mu$) = 50
• Standard deviation (\sigma$\sigma$) = 5
• Range: [50 - (2*5), 50 + (2*5)] = [40, 60]$[50 - (2*5), 50 + (2*5)] = [40, 60]$

Calculate k = 2$k = 2$:

P(|X - 50| < (2*5)) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

$$P(|X - 50| < (2*5)) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

At least 75% of the observations are within two standard deviations of the mean.