Esercizi sul teorema del limite centrale

Esercizi sul teorema del limite centrale

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Versione italiana

Esercizi sul teorema del limite centrale

Teoria del Teorema del Limite Centrale

Il teorema del limite centrale (TLC) è uno dei risultati fondamentali della statistica e della teoria della probabilità. Esso afferma che, data una popolazione con una media \mu$\mu$ e una varianza \sigma^2$\sigma^2$, la distribuzione della media campionaria tende a seguire una distribuzione normale (gaussiana) man mano che il numero di campioni aumenta, indipendentemente dalla forma della distribuzione originale della popolazione, a condizione che il campione sia sufficientemente grande.

Formulazione del Teorema

Se X_1, X_2, \ldots, X_n$X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite con media \mu$\mu$ e varianza \sigma^2$\sigma^2$, allora la distribuzione della media campionaria:

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$

converge in distribuzione verso una normale con media \mu$\mu$ e varianza \frac{\sigma^2}{n}$\frac{\sigma^2}{n}$ quando il numero di campioni n$n$ tende all’infinito.

Formula

La distribuzione della media campionaria è approssimativamente normale:

\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)

$$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

Esercizi sul Teorema del Limite Centrale

Esercizio 1: Media Campionaria di una Popolazione Normale

Supponiamo di avere una popolazione con una media di \mu = 50$\mu = 50$ e una deviazione standard di \sigma = 10$\sigma = 10$. Calcola la probabilità che la media di un campione di 36 elementi sia compresa tra 48 e 52.

Svolgimento:

1. Calcola la varianza della media campionaria:

   \sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{10^2}{36} = \frac{100}{36} \approx 2.78.

   $$\sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{10^2}{36} = \frac{100}{36} \approx 2.78.$$

   Quindi, la deviazione standard della media campionaria è:

   \sigma_{\bar{X}} = \sqrt{2.78} \approx 1.67.

   $$\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{2.78} \approx 1.67.$$

2. Standardizza i valori:
   Calcoliamo i valori z per i limiti 48 e 52:

   • Per 48:

     z_1 = \frac{48 - 50}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{-2}{1.67} \approx -1.20.

     $$z_1 = \frac{48 - 50}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{-2}{1.67} \approx -1.20.$$
   • Per 52:

     z_2 = \frac{52 - 50}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{2}{1.67} \approx 1.20.

     $$z_2 = \frac{52 - 50}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{2}{1.67} \approx 1.20.$$

3. Trova le probabilità:
   Utilizzando una tavola delle distribuzioni normali standard o calcolatori statistici:

   • P(Z < -1.20) ≈ 0.1151
   • P(Z < 1.20) ≈ 0.8849

4. Calcola la probabilità richiesta:
   La probabilità che la media campionaria sia compresa tra 48 e 52 è:

   P(48 < \bar{X} < 52) = P(Z < 1.20) - P(Z < -1.20) = 0.8849 - 0.1151 = 0.7698.

   $$P(48 < \bar{X} < 52) = P(Z < 1.20) - P(Z < -1.20) = 0.8849 - 0.1151 = 0.7698.$$

Risultato:

La probabilità che la media del campione sia compresa tra 48 e 52 è circa 0.7698 o 76.98%.

Esercizio 2: Media Campionaria da una Popolazione Non Normale

Considera una popolazione con una distribuzione non normale, ma con media \mu = 30$\mu = 30$ e deviazione standard \sigma = 5$\sigma = 5$. Se estraiamo un campione di dimensione n = 49, calcola la probabilità che la media del campione sia compresa tra 29 e 31.

Svolgimento:

1. Calcola la varianza della media campionaria:

   \sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{5^2}{49} = \frac{25}{49} \approx 0.51.

   $$\sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{5^2}{49} = \frac{25}{49} \approx 0.51.$$

   Quindi, la deviazione standard della media campionaria è:

   \sigma_{\bar{X}} = \sqrt{0.51} \approx 0.71.

   $$\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{0.51} \approx 0.71.$$

2. Standardizza i valori:
   Calcoliamo i valori z per i limiti 29 e 31:

   • Per 29:

     z_1 = \frac{29 - 30}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{-1}{0.71} \approx -1.41.

     $$z_1 = \frac{29 - 30}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{-1}{0.71} \approx -1.41.$$
   • Per 31:

     z_2 = \frac{31 - 30}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{1}{0.71} \approx 1.41.

     $$z_2 = \frac{31 - 30}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{1}{0.71} \approx 1.41.$$

3. Trova le probabilità:
   Utilizzando una tavola delle distribuzioni normali standard o calcolatori statistici:

   • P(Z < -1.41) ≈ 0.0793
   • P(Z < 1.41) ≈ 0.9207

4. Calcola la probabilità richiesta:
   La probabilità che la media campionaria sia compresa tra 29 e 31 è:

   P(29 < \bar{X} < 31) = P(Z < 1.41) - P(Z < -1.41) = 0.9207 - 0.0793 = 0.8414.

   $$P(29 < \bar{X} < 31) = P(Z < 1.41) - P(Z < -1.41) = 0.9207 - 0.0793 = 0.8414.$$

Risultato:

La probabilità che la media del campione sia compresa tra 29 e 31 è circa 0.8414 o 84.14%.

Esercizio 3: Convergenza della Media Campionaria

Immagina di lanciare un dado a sei facce un numero molto elevato di volte (ad esempio, n=1000). Quale sarà l’aspettativa della media dei risultati?

Svolgimento:

La media teorica di un dado equo a sei facce è:

\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.

$$\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.$$

Secondo il teorema del limite centrale, anche se il dado viene lanciato un numero molto elevato di volte, ci aspettiamo che:

\bar{X} = E(\bar{X}) ≈ μ.

$$\bar{X} = E(\bar{X}) ≈ μ.$$

Risultato:

L’aspettativa della media dei risultati sarà circa 3.5, indipendentemente dal numero elevato di lanci.

English version

Central Limit Theorem Exercises

Central Limit Theorem Theory

The central limit theorem (CLT) is one of the fundamental results of statistics and probability theory. It states that, given a population with a mean \mu$\mu$ and a variance \sigma^2$\sigma^2$, the distribution of the sample mean tends to follow a normal (Gaussian) distribution as the number of samples increases, regardless of the shape of the original population distribution, provided that the sample is sufficiently large.

Theorem Statement

If X_1, X_2, \ldots, X_n$X_1, X_2, \ldots, X_n$ are independent and identically distributed random variables with mean \mu$\mu$ and variance \sigma^2$\sigma^2$, then the distribution of the sample mean:

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$

converges to a normal distribution with mean \mu$\mu$ and variance \frac{\sigma^2}{n}$\frac{\sigma^2}{n}$ as the number of samples n$n$ tends to infinity.

Formula

The distribution of the sample mean is approximately normal:

\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)

$$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

Central Limit Theorem Exercises

Exercise 1: Sample Mean of a Normal Population

Suppose we have a population with a mean of \mu = 50$\mu = 50$ and a standard deviation of \sigma = 10$\sigma = 10$. Find the probability that the mean of a sample of 36 elements is between 48 and 52.

Procedure:

1. Find the variance of the sample mean:

\sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{10^2}{36} = \frac{100}{36} \approx 2.78.

$$\sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{10^2}{36} = \frac{100}{36} \approx 2.78.$$

So, the standard deviation of the sample mean is:

\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{2.78} \approx 1.67.

$$\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{2.78} \approx 1.67.$$

2. Standardize the values:
   Let’s calculate the z-values ​​for the limits 48 and 52:

• For 48:

z_1 = \frac{48 - 50}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{-2}{1.67} \approx -1.20.

$$z_1 = \frac{48 - 50}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{-2}{1.67} \approx -1.20.$$

• For 52:

z_2 = \frac{52 - 50}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{2}{1.67} \approx 1.20.

$$z_2 = \frac{52 - 50}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{2}{1.67} \approx 1.20.$$

3. Find the probabilities:
   Using a standard normal distribution table or statistical calculators:

• P(Z < -1.20) ≈ 0.1151
• P(Z < 1.20) ≈ 0.8849

4. Calculate the required probability:
   The probability that the sample mean is between 48 and 52 is:

P(48 < \bar{X} < 52) = P(Z < 1.20) - P(Z < -1.20) = 0.8849 - 0.1151 = 0.7698.

$$P(48 < \bar{X} < 52) = P(Z < 1.20) - P(Z < -1.20) = 0.8849 - 0.1151 = 0.7698.$$

Result:

The probability that the sample mean is between 48 and 52 is approximately 0.7698 or 76.98%.

Exercise 2: Sample Mean from a Non-Normal Population

Consider a population with a non-normal distribution, but with mean \mu = 30$\mu = 30$ and standard deviation \sigma = 5$\sigma = 5$. If we extract a sample of size n = 49, calculate the probability that the sample mean is between 29 and 31.

Procedure:

1. Calculate the variance of the sample mean:

\sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{5^2}{49} = \frac{25}{49} \approx 0.51.

$$\sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{5^2}{49} = \frac{25}{49} \approx 0.51.$$

Therefore, the standard deviation of the sample mean is:

\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{0.51} \approx 0.71.

$$\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{0.51} \approx 0.71.$$

2. Standardize values:
   Let’s calculate the z values ​​for limits 29 and 31:

• For 29:

z_1 = \frac{29 - 30}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{-1}{0.71} \approx -1.41.

$$z_1 = \frac{29 - 30}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{-1}{0.71} \approx -1.41.$$

• For 31:

z_2 = \frac{31 - 30}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{1}{0.71} \approx 1.41.

$$z_2 = \frac{31 - 30}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{1}{0.71} \approx 1.41.$$

3. Find the probabilities:
   Using a standard normal distribution table or statistical calculators:

• P(Z < -1.41) ≈ 0.0793
• P(Z < 1.41) ≈ 0.9207

4. Calculate the required probability:
   The probability that the sample mean is between 29 and 31 is:

P(29 < \bar{X} < 31) = P(Z < 1.41) - P(Z < -1.41) = 0.9207 - 0.0793 = 0.8414.

$$P(29 < \bar{X} < 31) = P(Z < 1.41) - P(Z < -1.41) = 0.9207 - 0.0793 = 0.8414.$$

Result:

The probability that the sample mean is between 29 and 31 is approximately 0.8414 or 84.14%.

Exercise 3: Convergence of the Sample Mean

Imagine that we roll a six-sided die a very large number of times (say, n=1000). What is the expectation of the average of the results?

Solution:

The theoretical average of a fair six-sided die is:

\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.

$$\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.$$

According to the central limit theorem, even if the die is rolled a very large number of times, we expect that:

\bar{X} = E(\bar{X}) ≈ μ.

$$\bar{X} = E(\bar{X}) ≈ μ.$$

Result:

The expectation of the average of the results will be about 3.5, regardless of the large number of rolls.