Esercizi sul prodotto scalare

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Versione italiana

Esercizi sul prodotto scalare

Teoria del Prodotto Scalare

Il prodotto scalare (o prodotto interno) è un’operazione algebrica che prende due vettori e restituisce un numero reale. È uno strumento fondamentale in geometria e fisica, utilizzato per calcolare angoli, proiezioni e lavori.

Definizione

Se abbiamo due vettori a e b in uno spazio euclideo, il prodotto scalare è definito come:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)$$

dove:

• |\mathbf{a}|$|\mathbf{a}|$e |\mathbf{b}|$|\mathbf{b}|$ sono le lunghezze (norme) dei vettori,
• \theta$\theta$ è l’angolo tra i due vettori.

In forma componente, se:

\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \quad \text{e} \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)

$$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \quad \text{e} \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$$

allora il prodotto scalare si calcola come:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Proprietà del Prodotto Scalare

1. Commutatività: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
2. Distributività: \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$
3. Associatività rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})$k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})$

Esercizi sul Prodotto Scalare

Esercizio 1: Calcolo del Prodotto Scalare

Calcola il prodotto scalare dei vettori:

\mathbf{a} = (2, 3, 4) \quad e \quad \mathbf{b} = (1, 0, -1)

$$\mathbf{a} = (2, 3, 4) \quad e \quad \mathbf{b} = (1, 0, -1)$$

Svolgimento:

Utilizziamo la formula del prodotto scalare in forma componente:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Sostituendo i valori:

\begin{align*}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & = 2(1) + 3(0) + 4(-1)\\
& = 2 + 0 - 4\\
& = -2
\end{align*}

$$\begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & = 2(1) + 3(0) + 4(-1)\\ & = 2 + 0 - 4\\ & = -2 \end{align*}$$

Risultato:

Il prodotto scalare \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2$.

Esercizio 2: Calcolo dell’Angolo tra Due Vettori

Calcola l’angolo θ$θ$ tra i vettori:

\mathbf{u} = (3, 4) \quad e \quad \mathbf{v} = (5, 0)

$$\mathbf{u} = (3, 4) \quad e \quad \mathbf{v} = (5, 0)$$

Svolgimento:

1. Calcoliamo il prodotto scalare \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$:

   u_v = 3(5) + 4(0) = 15

   $$u_v = 3(5) + 4(0) = 15$$

2. Calcoliamo le norme dei vettori:

   |\mathbf{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

   $$|\mathbf{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

   |\mathbf{v}| = |5| = 5

   $$|\mathbf{v}| = |5| = 5$$

3. Utilizziamo la formula del prodotto scalare per trovare l’angolo:

   u_v = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| cos(θ)

   $$u_v = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| cos(θ)$$

   Sostituendo i valori:

   15 = 5(5) cos(θ)

   $$15 = 5(5) cos(θ)$$

   cos(θ) = \frac{15}{25} = 0.6 

   $$cos(θ) = \frac{15}{25} = 0.6$$

4. Ora calcoliamo l’angolo:

   θ = cos^{-1}(0.6) ≈ 53.13° 

   $$θ = cos^{-1}(0.6) ≈ 53.13°$$

Risultato:

L’angolo tra i vettori θ ≈ 53.13°$θ ≈ 53.13°$.

Esercizio 3: Proiezione di un Vettore su un Altro Vettore

Calcola la proiezione del vettore:

\mathbf{x} = (4, -2, 6)

$$\mathbf{x} = (4, -2, 6)$$

sul vettore:

\mathbf{y} = (1, 1, 1).

$$\mathbf{y} = (1, 1, 1).$$

Svolgimento:

La proiezione di \mathbf{x}$\mathbf{x}$ su \mathbf{y}$\mathbf{y}$ è data dalla formula:

\text{proj}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\|\mathbf{y}\|^2}\,\mathbf{y}

$$\text{proj}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\|\mathbf{y}\|^2}\,\mathbf{y}$$

1. Calcoliamo il prodotto scalare x_y = (4)(1) + (-2)(1) + (6)(1) = 4 - 2 + 6 = 8$x_y = (4)(1) + (-2)(1) + (6)(1) = 4 - 2 + 6 = 8$.

2. Calcoliamo la norma al quadrato di y$y$:

 |\mathbf{y}|^2 = (1^2 + 1^2 + 1^2) = 3.

$$|\mathbf{y}|^2 = (1^2 + 1^2 + 1^2) = 3.$$

3. Ora calcoliamo la proiezione:

   proj_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{x_y}{|\mathbf{y}|^2}\,\mathbf{y}

   $$proj_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{x_y}{|\mathbf{y}|^2}\,\mathbf{y}$$
   Sostituendo i valori:

   proj_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{8}{3}(1, 1, 1) = (\frac{8}{3},\,\frac{8}{3},\,\frac{8}{3})

   $$proj_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{8}{3}(1, 1, 1) = (\frac{8}{3},\,\frac{8}{3},\,\frac{8}{3})$$

Risultato:

La proiezione di x$x$ su y$y$ è (\frac{8}{3},\,\frac{8}{3},\,\frac{8}{3})$(\frac{8}{3},\,\frac{8}{3},\,\frac{8}{3})$.

English version

Scalar Product Exercises

Scalar Product Theory

The scalar product (or inner product) is an algebraic operation that takes two vectors and returns a real number. It is a fundamental tool in geometry and physics, used to calculate angles, projections and work.

Definition

If we have two vectors a and b in a Euclidean space, the scalar product is defined as:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)$$

where:

• |\mathbf{a}|$|\mathbf{a}|$and |\mathbf{b}|$|\mathbf{b}|$ are the lengths (norms) of the vectors,
• \theta$\theta$ is the angle between the two vectors.

In component form, if:

\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \quad \text{e} \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)

$$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \quad \text{e} \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$$

then the scalar product is calculated as:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Properties of the Scalar Product

1. Commutativity: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
2. Distributivity: \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$
3. Associativity with respect to scalar multiplication: k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})$k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})$

Exercises on the Scalar Product

Exercise 1: Calculating the Scalar Product

Calculate the scalar product of the vectors:

\mathbf{a} = (2, 3, 4) \quad and \quad \mathbf{b} = (1, 0, -1)

$$\mathbf{a} = (2, 3, 4) \quad and \quad \mathbf{b} = (1, 0, -1)$$

Solution:

We use the scalar product formula in the form component:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Substituting the values:

\begin{align*}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & = 2(1) + 3(0) + 4(-1)\\
& = 2 + 0 - 4\\
& = -2
\end{align*}

$$\begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & = 2(1) + 3(0) + 4(-1)\\ & = 2 + 0 - 4\\ & = -2 \end{align*}$$

Result:

The dot product \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2$.

Exercise 2: Calculating the Angle Between Two Vectors

Calculate the angle θ$θ$ between the vectors:

\mathbf{u} = (3, 4) \quad and \quad \mathbf{v} = (5, 0)

$$\mathbf{u} = (3, 4) \quad and \quad \mathbf{v} = (5, 0)$$

Solution:

1. Let’s calculate the scalar product \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$:

u_v = 3(5) + 4(0) = 15

$$u_v = 3(5) + 4(0) = 15$$

2. Let’s calculate the norms of the vectors:

|\mathbf{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

$$|\mathbf{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

|\mathbf{v}| = |5| = 5

$$|\mathbf{v}| = |5| = 5$$

3. We use the scalar product formula to find the angle:

u_v = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| cos(θ)

$$u_v = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| cos(θ)$$

Substituting the values:

15 = 5(5) cos(θ)

$$15 = 5(5) cos(θ)$$

cos(θ) = \frac{15}{25} = 0.6

$$cos(θ) = \frac{15}{25} = 0.6$$

4. Now we calculate the angle:

θ = cos^{-1}(0.6) ≈ 53.13°

$$θ = cos^{-1}(0.6) ≈ 53.13°$$

Result:

The angle between the vectors θ ≈ 53.13°$θ ≈ 53.13°$.

Exercise 3: Projection of a Vector onto Another Vector

Calculate the projection of the vector:

\mathbf{x} = (4, -2, 6)

$$\mathbf{x} = (4, -2, 6)$$

on the vector:

\mathbf{y} = (1, 1, 1).

$$\mathbf{y} = (1, 1, 1).$$

Process:

The projection of \mathbf{x}$\mathbf{x}$ onto \mathbf{y}$\mathbf{y}$ is given by the formula:

\text{proj}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\|\mathbf{y}\|^2}\,\mathbf{y}

$$\text{proj}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\|\mathbf{y}\|^2}\,\mathbf{y}$$

1. Let’s calculate the scalar product x_y = (4)(1) + (-2)(1) + (6)(1) = 4 - 2 + 6 = 8$x_y = (4)(1) + (-2)(1) + (6)(1) = 4 - 2 + 6 = 8$.

2. Let’s calculate the squared norm of y$y$:

|\mathbf{y}|^2 = (1^2 + 1^2 + 1^2) = 3.

$$|\mathbf{y}|^2 = (1^2 + 1^2 + 1^2) = 3.$$

3. Now let’s calculate the projection:

proj_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{x_y}{|\mathbf{y}|^2}\,\mathbf{y}

$$proj_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{x_y}{|\mathbf{y}|^2}\,\mathbf{y}$$

Substituting the values:

proj_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{8}{3}(1, 1, 1) = (\frac{8}{3},\,\frac{8}{3},\,\frac{8}{3})

$$proj_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \frac{8}{3}(1, 1, 1) = (\frac{8}{3},\,\frac{8}{3},\,\frac{8}{3})$$

Result:

The projection of x$x$ onto y$y$ is (\frac{8}{3},\,\frac{8}{3},\,\frac{8}{3})$(\frac{8}{3},\,\frac{8}{3},\,\frac{8}{3})$.