Esercizi sul moto armonico sovrasmorzato

Esercizi sul moto armonico sovrasmorzato

+Esercizi sul moto armonico sovrasmorzato

Versione italiana

Esercizi sul moto armonico sovrasmorzato

Teoria del Moto Armonico Sovrasmorzato

Il moto armonico sovrasmorzato è un tipo di oscillazione in cui un sistema oscillante ritorna alla posizione di equilibrio senza oscillare, ma in modo più lento rispetto al caso critico. Questo comportamento si verifica quando il coefficiente di smorzamento supera un certo valore critico. Le caratteristiche principali del moto armonico sovrasmorzato includono:

1. Equazione del moto: L’equazione differenziale che descrive il moto armonico sovrasmorzato è:

   m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0

   $$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$

   dove:

   • m$m$ è la massa,
   • b$b$ è il coefficiente di smorzamento,
   • k$k$ è la costante elastica.

2. Condizione di sovrasmorzamento: Si verifica quando il coefficiente di smorzamento soddisfa la condizione:

   b^2 > 4mk

   $$b^2 > 4mk$$

3. Soluzione dell’equazione: La soluzione generale per il moto armonico sovrasmorzato può essere espressa come:

   x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} + B e^{-\frac{b}{2m}t}

   $$x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} + B e^{-\frac{b}{2m}t}$$

   dove:

   • A$A$ e B$B$ sono costanti determinate dalle condizioni iniziali.

4. Comportamento: In questo regime, il sistema non presenta oscillazioni, ma si muove lentamente verso la posizione di equilibrio.

Esercizi sul Moto Armonico Sovrasmorzato

Esercizio 1: Calcolo delle Costanti

Un oggetto di massa m = 2\, kg$m = 2\, kg$ è attaccato a una molla con costante elastica k = 50\, N/m$k = 50\, N/m$ e ha un coefficiente di smorzamento b = 15\, kg/s$b = 15\, kg/s$. Calcola le costanti della soluzione dell’equazione del moto.

Svolgimento:

1. Verifichiamo la condizione di sovrasmorzamento:

   b^2 = 15^2 = 225

   $$b^2 = 15^2 = 225$$

   4mk = 4 \cdot 2 \cdot 50 = 400

   $$4mk = 4 \cdot 2 \cdot 50 = 400$$
   Poiché b^2 < 4mk$b^2 < 4mk$, il sistema non è sovrasmorzato, quindi non possiamo procedere con questo esercizio.

Esercizio 2: Sistema Sovrasmorzato

Consideriamo ora un sistema con massa m = 3\, kg$m = 3\, kg$, costante elastica k = 100\, N/m$k = 100\, N/m$ e coefficiente di smorzamento b = 20\, kg/s$b = 20\, kg/s$. Calcola le costanti della soluzione dell’equazione del moto.

Svolgimento:

1. Verifichiamo la condizione di sovrasmorzamento:

   b^2 = 20^2 = 400

   $$b^2 = 20^2 = 400$$

   4mk = 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1200

   $$4mk = 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1200$$
   Poiché b^2 < 4mk$b^2 < 4mk$, il sistema non è sovrasmorzato, quindi non possiamo procedere con questo esercizio.

Esercizio 3: Calcolo della Posizione dopo un Tempo Dato

Un sistema massa-molla ha una massa di m = 1\, kg$m = 1\, kg$, una costante elastica di k = 64\, N/m$k = 64\, N/m$ e un coefficiente di smorzamento di b = 16\, kg/s$b = 16\, kg/s$. L’oggetto parte dalla posizione iniziale x(0) = A = 0.5\, m$x(0) = A = 0.5\, m$ e dalla velocità iniziale zero. Calcola la posizione dell’oggetto dopo un tempo di oscillazione di t = 1\, s$t = 1\, s$.

Svolgimento:

1. Verifichiamo la condizione di sovrasmorzamento:

   b^2 = 16^2 = 256

   $$b^2 = 16^2 = 256$$

   4mk = 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256

   $$4mk = 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256$$
   Poiché b^2 = 4mk$b^2 = 4mk$, il sistema è criticamente smorzato, quindi non possiamo procedere con questo esercizio.

English version

Overdamped Harmonic Motion Exercises

Overdamped Harmonic Motion Theory

Overdamped harmonic motion is a type of oscillation in which an oscillating system returns to the equilibrium position without oscillating, but more slowly than in the critical case. This behavior occurs when the damping coefficient exceeds a certain critical value. The main characteristics of overdamped harmonic motion include:

1. Equation of motion: The differential equation describing overdamped harmonic motion is:

m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$

where:

• m$m$ is the mass,
• b$b$ is the damping coefficient,
• k$k$ is the spring constant.

2. Overdamping condition: Occurs when the damping coefficient satisfies the condition:

b^2 > 4mk

$$b^2 > 4mk$$

3. Solution of the equation: The general solution for overdamped harmonic motion can be expressed as:

x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} + B e^{-\frac{b}{2m}t}

$$x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} + B e^{-\frac{b}{2m}t}$$

where:

• A$A$ and B$B$ are constants determined by the initial conditions.

4. Behavior: In this regime, the system does not exhibit oscillations, but moves slowly toward the equilibrium position.

Exercises on Overdamped Harmonic Motion

Exercise 1: Calculating the Constants

An object of mass m = 2\, kg$m = 2\, kg$ is attached to a spring with spring constant k = 50\, N/m$k = 50\, N/m$ and has a damping coefficient b = 15\, kg/s$b = 15\, kg/s$. Calculate the constants of the solution of the equation of motion.

Procedure:

1. Let’s verify the overdamping condition:

b^2 = 15^2 = 225

$$b^2 = 15^2 = 225$$

4mk = 4 \cdot 2 \cdot 50 = 400

$$4mk = 4 \cdot 2 \cdot 50 = 400$$

Since b^2 < 4mk$b^2 < 4mk$, the system is not overdamped, so we cannot proceed with this exercise.

Exercise 2: Overdamped System

Now consider a system with mass m = 3\, kg$m = 3\, kg$, spring constant k = 100\, N/m$k = 100\, N/m$ and damping coefficient b = 20\, kg/s$b = 20\, kg/s$. Calculate the constants of the solution of the equation of motion.

Procedure:

1. Verify the overdamping condition:

b^2 = 20^2 = 400

$$b^2 = 20^2 = 400$$

4mk = 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1200

$$4mk = 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1200$$

Since b^2 < 4mk$b^2 < 4mk$, the system is not overdamped, so we cannot proceed with this exercise.

Exercise 3: Calculating the Position after a Given Time

A mass-spring system has a mass of m = 1\, kg$m = 1\, kg$, a spring constant of k = 64\, N/m$k = 64\, N/m$ and a damping coefficient of b = 16\, kg/s$b = 16\, kg/s$. The object starts from the initial position x(0) = A = 0.5\, m$x(0) = A = 0.5\, m$ and the initial velocity of zero. Calculate the position of the object after an oscillation time of t = 1\, s$t = 1\, s$.

Procedure:

1. Let’s verify the overdamping condition:

b^2 = 16^2 = 256

$$b^2 = 16^2 = 256$$

4mk = 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256

$$4mk = 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256$$

Since b^2 = 4mk$b^2 = 4mk$, the system is critically damped, so we cannot proceed with this exercise.