Esercizi sul moto armonico semplice

Esercizi sul moto armonico semplice

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Versione italiana

Esercizi sul moto armonico semplice

Teoria del Moto Armonico Semplice (MAS)

Il moto armonico semplice (MAS) è un tipo di movimento oscillatorio che si verifica quando un oggetto viene spostato da una posizione di equilibrio e poi rilasciato, oscillando attorno a quella posizione. È caratterizzato da una forza ripristinatrice proporzionale allo spostamento dall’equilibrio e diretta verso di esso. Le caratteristiche principali del MAS includono:

• Posizione di equilibrio: il punto in cui la forza netta è zero.
• Ampiezza (A): il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio.
• Periodo (T): il tempo necessario per completare un’oscillazione completa.
• Frequenza (f): il numero di oscillazioni complete in un’unità di tempo, inversamente proporzionale al periodo (f = 1/T).
• Equazione del moto: x(t) = A cos(ωt + φ), dove ω è la pulsazione e φ è la fase iniziale.

La pulsazione ω è data da:

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

$$ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

dove k è la costante elastica e m è la massa dell’oggetto.

Esercizi sul Moto Armonico Semplice

Esercizio 1: Calcolo del Periodo

Un oggetto di massa m = 0.5 \, kg$m = 0.5 \, kg$ è attaccato a una molla con costante elastica k = 200 \, N/m$k = 200 \, N/m$. Calcola il periodo dell’oscillazione.

Svolgimento:

1. Calcoliamo la pulsazione ω$ω$:

   ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.5}} = \sqrt{400} = 20 \, rad/s

   $$ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.5}} = \sqrt{400} = 20 \, rad/s$$

2. Calcoliamo il periodo T$T$:

   T = \frac{2\pi}{ω} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0.314 \, s

   $$T = \frac{2\pi}{ω} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0.314 \, s$$

Risultato:

Il periodo dell’oscillazione è circa 0.314 \, s$0.314 \, s$.

Esercizio 2: Massimo Spostamento

Un sistema di oscillazione ha una frequenza f = 2 \, Hz$f = 2 \, Hz$ e un’ampiezza A = 0.1 \, m$A = 0.1 \, m$. Calcola lo spostamento dell’oggetto dopo t = 0.25 \, s$t = 0.25 \, s$.

Svolgimento:

1. Calcoliamo la pulsazione ω$ω$:

   ω = 2\pi f = 2\pi(2) = 4\pi \, rad/s

   $$ω = 2\pi f = 2\pi(2) = 4\pi \, rad/s$$

2. Utilizziamo l’equazione del moto:

   x(t) = A cos(ωt) = 0.1 cos(4\pi(0.25))

   $$x(t) = A cos(ωt) = 0.1 cos(4\pi(0.25))$$

3. Calcoliamo ωt$ωt$:

   ωt = 4\pi(0.25) = π

   $$ωt = 4\pi(0.25) = π$$

4. Calcoliamo lo spostamento:

   x(0.25) = 0.1 cos(π) = 0.1(-1) = -0.1 \, m

   $$x(0.25) = 0.1 cos(π) = 0.1(-1) = -0.1 \, m$$

Risultato:

Lo spostamento dell’oggetto dopo t = 0.25\, s$t = 0.25\, s$ è -0.1\, m$-0.1\, m$.

Esercizio 3: Energia nel Moto Armonico Semplice

Un oggetto in MAS ha una massa di m = 1\, kg$m = 1\, kg$, un’ampiezza di oscillazione A = 0.5\, m$A = 0.5\, m$, e si muove con una velocità massima v_{max} = 3\, m/s$v_{max} = 3\, m/s$. Calcola l’energia totale del sistema.

Svolgimento:

L’energia totale in un sistema di MAS è data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale elastica:

E_{totale} = E_{cinetica} + E_{potenziale}

$$E_{totale} = E_{cinetica} + E_{potenziale}$$

L’energia potenziale massima quando l’oggetto è all’estremità dell’oscillazione è:

E_{potenziale} = \frac{1}{2} k A^2

$$E_{potenziale} = \frac{1}{2} k A^2$$

Dove k$k$ può essere calcolato usando la relazione tra velocità massima e costante elastica:

v_{max} = Aω

$$v_{max} = Aω$$

Da cui ricaviamo:

ω = \frac{v_{max}}{A} = \frac{3}{0.5} = 6\, rad/s

$$ω = \frac{v_{max}}{A} = \frac{3}{0.5} = 6\, rad/s$$

Ora possiamo calcolare k$k$:

k = mω^2 = 1(6^2) = 36\, N/m

$$k = mω^2 = 1(6^2) = 36\, N/m$$

Calcoliamo ora l’energia totale:

E_{potenziale} = \frac{1}{2}(36)(0.5^2) = \frac{1}{2}(36)(0.25) = 4.5\, J

$$E_{potenziale} = \frac{1}{2}(36)(0.5^2) = \frac{1}{2}(36)(0.25) = 4.5\, J$$

Risultato:

L’energia totale del sistema è E_{totale} = 4.5\, J$E_{totale} = 4.5\, J$.

English version

Simple Harmonic Motion Exercises

Simple Harmonic Motion Theory (SHM)

Simple harmonic motion (SHM) is a type of oscillatory motion that occurs when an object is displaced from an equilibrium position and then released, oscillating about that position. It is characterized by a restoring force proportional to the displacement from equilibrium and directed toward it. The main characteristics of SHM include:

• Equilibrium position: the point at which the net force is zero.
• Amplitude (A): the maximum displacement from the equilibrium position.
• Period (T): the time required to complete one complete oscillation.
• Frequency (f): the number of complete oscillations in a unit of time, inversely proportional to the period (f = 1/T).
• Equation of motion: x(t) = A cos(ωt + φ), where ω is the pulsation and φ is the initial phase.

The pulsation ω is given by:

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

$$ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

where k is the spring constant and m is the mass of the object.

Simple Harmonic Motion Exercises

Exercise 1: Calculating the Period

An object of mass m = 0.5 \, kg$m = 0.5 \, kg$ is attached to a spring with spring constant k = 200 \, N/m$k = 200 \, N/m$. Calculate the period of the oscillation.

Procedure:

1. Let’s calculate the pulsation ω$ω$:

ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.5}} = \sqrt{400} = 20 \, rad/s

$$ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.5}} = \sqrt{400} = 20 \, rad/s$$

2. Let’s calculate the period T$T$:

T = \frac{2\pi}{ω} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0.314 \, s

$$T = \frac{2\pi}{ω} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0.314 \, s$$

Result:

The period of the oscillation is approximately 0.314 \, s$0.314 \, s$.

Exercise 2: Maximum Displacement

An oscillating system has a frequency f = 2 \, Hz$f = 2 \, Hz$ and an amplitude A = 0.1 \, m$A = 0.1 \, m$. Calculate the displacement of the object after t = 0.25 \, s$t = 0.25 \, s$.

Procedure:

1. Let’s calculate the pulsation ω$ω$:

ω = 2\pi f = 2\pi(2) = 4\pi \, rad/s

$$ω = 2\pi f = 2\pi(2) = 4\pi \, rad/s$$

2. Let’s use the equation of motion:

x(t) = A cos(ωt) = 0.1 cos(4\pi(0.25))

$$x(t) = A cos(ωt) = 0.1 cos(4\pi(0.25))$$

3. Let’s calculate ωt$ωt$:

ωt = 4\pi(0.25) = π

$$ωt = 4\pi(0.25) = π$$

4. Let’s calculate the displacement:

x(0.25) = 0.1 cos(π) = 0.1(-1) = -0.1 \, m

$$x(0.25) = 0.1 cos(π) = 0.1(-1) = -0.1 \, m$$

Result:

The displacement of the object after t = 0.25\, s$t = 0.25\, s$ is -0.1\, m$-0.1\, m$.

Exercise 3: Energy in Simple Harmonic Motion

An object in MAS has a mass of m = 1\, kg$m = 1\, kg$, an oscillation amplitude A = 0.5\, m$A = 0.5\, m$, and moves with a maximum velocity v_{max} = 3\, m/s$v_{max} = 3\, m/s$. Calculate the total energy of the system.

Procedure:

The total energy in a MAS system is given by the sum of the kinetic energy and the elastic potential energy:

E_{total} = E_{kinetic} + E_{potential}

$$E_{total} = E_{kinetic} + E_{potential}$$

The maximum potential energy when the object is at the end of the oscillation is:

E_{potential} = \frac{1}{2} k A^2

$$E_{potential} = \frac{1}{2} k A^2$$

Where k$k$ can be calculated using the relationship between maximum velocity and spring constant:

v_{max} = Aω

$$v_{max} = Aω$$

From which we get:

ω = \frac{v_{max}}{A} = \frac{3}{0.5} = 6\, rad/s

$$ω = \frac{v_{max}}{A} = \frac{3}{0.5} = 6\, rad/s$$

Now we can calculate k$k$:

k = mω^2 = 1(6^2) = 36\, N/m

$$k = mω^2 = 1(6^2) = 36\, N/m$$

Now let’s calculate the total energy:

E_{potential} = \frac{1}{2}(36)(0.5^2) = \frac{1}{2}(36)(0.25) = 4.5\, J

$$E_{potential} = \frac{1}{2}(36)(0.5^2) = \frac{1}{2}(36)(0.25) = 4.5\, J$$

Result:

The total energy of the system is E_{total} = 4.5\, J$E_{total} = 4.5\, J$.