Esercizi sul metodo di Monte Carlo

Esercizi sul metodo di Monte Carlo

+Esercizi sul metodo di Monte Carlo

Versione italiana

Esercizi sul metodo di Monte Carlo

Teoria del Metodo di Monte Carlo

Il metodo di Monte Carlo è una tecnica statistica utilizzata per risolvere problemi matematici complessi attraverso la simulazione casuale. Questa metodologia si basa sull’uso di campioni casuali per stimare valori numerici e calcolare probabilità. È ampiamente utilizzato in vari campi, tra cui fisica, ingegneria, finanza e statistica.

Principi Fondamentali

1. Simulazione: Generare un gran numero di campioni casuali da una distribuzione nota.
2. Stima: Utilizzare i risultati delle simulazioni per stimare valori attesi, aree, volumi o probabilità.
3. Convergenza: Aumentando il numero di simulazioni, la stima tende a convergere verso il valore reale.

Esempio Classico

Un classico esempio di applicazione del metodo di Monte Carlo è la stima del valore di π. Si può considerare un quadrato con lato 2 e un cerchio inscritto di raggio 1. Generando punti casuali all’interno del quadrato e contando quanti cadono all’interno del cerchio, si può stimare π come:

\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{numero di punti nel cerchio}}{\text{numero totale di punti}}.

$$\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{numero di punti nel cerchio}}{\text{numero totale di punti}}.$$

Esercizi sul Metodo di Monte Carlo

Esercizio 1: Stima del Valore di π

Utilizzando il metodo di Monte Carlo, stima il valore di π generando 10.000 punti casuali all’interno di un quadrato con lato 2.

Svolgimento:

1. Genera punti casuali: Generiamo 10.000 punti (x, y) dove x e y sono numeri casuali compresi tra -1 e 1.

2. Controlla se i punti sono nel cerchio: Un punto (x, y) è all’interno del cerchio se:

   x^2 + y^2 \leq 1.

   $$x^2 + y^2 \leq 1.$$

3. Conteggio:

   • Supponiamo che dopo aver generato i punti, troviamo che 7.850 punti sono all’interno del cerchio.

4. Calcola la stima di π:

   \pi \approx 4 \cdot \frac{\text{numero di punti nel cerchio}}{\text{numero totale di punti}} = 4 \cdot \frac{7850}{10000} = 3.14.

   $$\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{numero di punti nel cerchio}}{\text{numero totale di punti}} = 4 \cdot \frac{7850}{10000} = 3.14.$$

Risultato:

La stima del valore di π è circa 3.14.

Esercizio 2: Stima dell’Area di un Cerchio

Utilizza il metodo di Monte Carlo per stimare l’area di un cerchio di raggio 1 inscritto in un quadrato con lato 2. Genera 5.000 punti casuali.

Svolgimento:

1. Genera punti casuali: Generiamo 5.000 punti (x, y) dove x e y sono numeri casuali compresi tra -1 e 1.

2. Controlla se i punti sono nel cerchio: Un punto (x, y) è all’interno del cerchio se:

   x^2 + y^2 \leq 1.

   $$x^2 + y^2 \leq 1.$$

3. Conteggio:

   • Supponiamo che dopo aver generato i punti, troviamo che 3.800 punti sono all’interno del cerchio.

4. Calcola l’area stimata:
   L’area del quadrato è:

   A_{quadrato} = L^2 = 2^2 = 4.

   $$A_{quadrato} = L^2 = 2^2 = 4.$$

   L’area del cerchio è quindi stimata come:

   A_{cerchio} \approx A_{quadrato} \cdot \frac{\text{numero di punti nel cerchio}}{\text{numero totale di punti}} = 4 \cdot \frac{3800}{5000} = 3.04.

   $$A_{cerchio} \approx A_{quadrato} \cdot \frac{\text{numero di punti nel cerchio}}{\text{numero totale di punti}} = 4 \cdot \frac{3800}{5000} = 3.04.$$

Risultato:

L’area stimata del cerchio è circa 3.04.

Esercizio 3: Stima della Media

Supponiamo che tu voglia stimare la media della funzione f(x) = x² nell’intervallo [0, 1] utilizzando il metodo di Monte Carlo con 1.000 campioni.

Svolgimento:

1. Genera punti casuali: Generiamo 1.000 numeri casuali uniformemente distribuiti nell’intervallo [0, 1].

2. Calcola f(x) per ciascun punto generato:

   • Supponiamo che i valori generati siano x_1, x_2, ..., x_{1000}$x_1, x_2, ..., x_{1000}$.
   • Calcoliamo f(x_i) = x_i^2$f(x_i) = x_i^2$ per ogni x_i$x_i$.

3. Calcola la media delle valutazioni della funzione:

   \bar{f} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) = \frac{1}{1000} \sum_{i=1}^{1000} x_i^2.

   $$\bar{f} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) = \frac{1}{1000} \sum_{i=1}^{1000} x_i^2.$$

4. Supponiamo che la somma dei quadrati sia stata calcolata come segue:

   • Somma dei quadrati = 333.33$= 333.33$.

5. Calcola la media stimata:

   \bar{f} = \frac{333.33}{1000} = 0.3333.

   $$\bar{f} = \frac{333.33}{1000} = 0.3333.$$

Risultato:

La media stimata della funzione f(x) = x² nell’intervallo [0, 1] è circa 0.3333, che corrisponde a \frac{1}{3}$\frac{1}{3}$.

English version

Monte Carlo Method Exercises

Monte Carlo Method Theory

The Monte Carlo method is a statistical technique used to solve complex mathematical problems through random simulation. This methodology is based on the use of random samples to estimate numerical values ​​and calculate probabilities. It is widely used in various fields, including physics, engineering, finance, and statistics.

Fundamental Principles

1. Simulation: Generate a large number of random samples from a known distribution.
2. Estimation: Use the results of simulations to estimate expected values, areas, volumes, or probabilities.
3. Convergence: As the number of simulations increases, the estimate tends to converge towards the true value.

Classic Example

A classic example of an application of the Monte Carlo method is the estimation of the value of π. Consider a square with side 2 and an inscribed circle of radius 1. By generating random points inside the square and counting how many fall inside the circle, we can estimate π as:

\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{number of points in the circle}}{\text{total number of points}}.

$$\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{number of points in the circle}}{\text{total number of points}}.$$

Monte Carlo Method Exercises

Exercise 1: Estimating the Value of π

Using the Monte Carlo method, estimate the value of π by generating 10,000 random points inside a square with side length 2.

Procedure:

1. Generate random points: We generate 10,000 points (x, y) where x and y are random numbers between -1 and 1.
2. Check if the points are inside the circle: A point (x, y) is inside the circle if:

x^2 + y^2 \leq 1.

$$x^2 + y^2 \leq 1.$$

3. Count:

• Suppose that after generating the points, we find that 7,850 points are inside the circle.

4. Calculate the estimate of π:

\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{number of points in the circle}}{\text{total number of points}} = 4 \cdot \frac{7850}{10000} = 3.14.

$$\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{number of points in the circle}}{\text{total number of points}} = 4 \cdot \frac{7850}{10000} = 3.14.$$

Result:

The estimate of the value of π is approximately 3.14.

Exercise 2: Estimating the Area of ​​a Circle

Use the Monte Carlo method to estimate the area of ​​a circle of radius 1 inscribed in a square with side length 2. Generate 5,000 random points.

Process:

1. Generate random points: We generate 5,000 points (x, y) where x and y are random numbers between -1 and 1.
2. Check if points are in the circle: A point (x, y) is inside the circle if:

x^2 + y^2 \leq 1.

$$x^2 + y^2 \leq 1.$$

3. Count:

• Suppose after generating the points, we find that 3,800 points are inside the circle.

4. Calculate the estimated area:
   The area of ​​the square is:

A_{square} = L^2 = 2^2 = 4.

$$A_{square} = L^2 = 2^2 = 4.$$

The area of ​​the circle is then estimated as:

A_{circle} \approx A_{square} \cdot \frac{\text{number of points in the circle}}{\text{total number of points}} = 4 \cdot \frac{3800}{5000} = 3.04.

$$A_{circle} \approx A_{square} \cdot \frac{\text{number of points in the circle}}{\text{total number of points}} = 4 \cdot \frac{3800}{5000} = 3.04.$$

Result:

The estimated area of ​​the circle is approximately 3.04.

Exercise 3: Estimation of the Mean

Suppose you want to estimate the mean of the function f(x) = x² in the interval [0, 1] using the Monte Carlo method with 1,000 samples.

Procedure:

1. Generate random points: Let’s generate 1,000 random numbers uniformly distributed in the interval [0, 1].
2. Calculate f(x) for each generated point:

• Let’s assume that the generated values ​​are x_1, x_2, ..., x_{1000}$x_1, x_2, ..., x_{1000}$.
• Let’s calculate f(x_i) = x_i^2$f(x_i) = x_i^2$ for each x_i$x_i$.

3. Calculate the average of the function evaluations:

\bar{f} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) = \frac{1}{1000} \sum_{i=1}^{1000} x_i^2.

$$\bar{f} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) = \frac{1}{1000} \sum_{i=1}^{1000} x_i^2.$$

4. Suppose that the sum of squares was calculated as follows:

• Sum of squares = 333.33$= 333.33$.

5. Calculate the estimated mean:

\bar{f} = \frac{333.33}{1000} = 0.3333.

$$\bar{f} = \frac{333.33}{1000} = 0.3333.$$

Result:

The estimated mean of the function f(x) = x² in the interval [0, 1] is approximately 0.3333, which corresponds to \frac{1}{3}$\frac{1}{3}$.