Esercizi sul filtro di Čebyšëv

Esercizi sul filtro di Čebyšëv

+Esercizi sul filtro di Čebyšëv

Versione italiana

Esercizi sul filtro di Čebyšëv

Teoria del Filtro di Čebyšëv

Il filtro di Čebyšëv è un tipo di filtro analogico che offre una risposta in frequenza caratterizzata da ondulazioni nella banda passante, a differenza dei filtri di Butterworth che presentano una risposta monotona. Esistono due tipi principali di filtri di Čebyšëv:

1. Filtro di Čebyšëv di Tipo I: Presenta ondulazioni nella banda passante e una attenuazione più ripida nella banda di stop.
2. Filtro di Čebyšëv di Tipo II: Ha ondulazioni nella banda di stop, ma non presenta ondulazioni nella banda passante.

La risposta in frequenza dei filtri di Čebyšëv è influenzata da un parametro chiamato ripple, che determina l’ampiezza delle oscillazioni nella banda passante. Questi filtri sono particolarmente utili quando è richiesta una maggiore ripidità della curva di risposta rispetto ai filtri di Butterworth, ma a costo di una certa distorsione in banda passante.

Esercizi sul Filtro di Čebyšëv

Esercizio 1: Calcolo della Risposta in Frequenza

Un filtro passa-basso di Čebyšëv di tipo I ha una pulsazione di taglio \omega_c = 1000 \, \text{rad/s}$\omega_c = 1000 \, \text{rad/s}$ e un ripple massimo in banda passante di 1 \, \text{dB}$1 \, \text{dB}$. Calcola la risposta in frequenza H(j\omega)|$H(j\omega)|$ per \omega = 500 \, \text{rad/s}$\omega = 500 \, \text{rad/s}$.

Soluzione:
Utilizzando la formula per la risposta in frequenza del filtro di Čebyšëv, si può calcolare |H(j\omega)|$|H(j\omega)|$ utilizzando i polinomi di Čebyšëv. La formula generale per la risposta in frequenza è:

|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)}}

$$|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)}}$$

dove T_n$T_n$ è il polinomio di Čebyšëv e \epsilon = 10^{\frac{ripple}{20}} - 1$\epsilon = 10^{\frac{ripple}{20}} - 1$.

Esercizio 2: Progettazione del Filtro

Progetta un filtro passa-alto di Čebyšëv di tipo II con una frequenza di taglio f_c = 5000 \, \text{Hz}$f_c = 5000 \, \text{Hz}$ e un ripple massimo in banda attenuata di 0.5 \, \text{dB}$0.5 \, \text{dB}$. Determina i componenti necessari per realizzare il filtro.

Soluzione:
Per progettare il filtro, bisogna determinare l’ordine del filtro necessario per ottenere l’attenuazione desiderata e calcolare i valori dei componenti (resistori e condensatori) utilizzando le formule specifiche per il filtro passa-alto.

Esercizio 3: Analisi della Stabilità

Un filtro passa-basso di Čebyšëv ha un ordine n = 3$n = 3$. Discute la stabilità del sistema e come l’ordine del filtro influisce sulla risposta al transitorio.

Soluzione:
La stabilità del filtro è influenzata dalla posizione dei poli nel piano complesso. Per un filtro di ordine superiore, come nel caso n = 3$n = 3$, si può osservare che la risposta al transitorio avrà un maggiore overshoot e un tempo di assestamento più lungo. È importante analizzare i poli per assicurarsi che siano tutti nel semipiano sinistro per garantire la stabilità.

Esercizio 4: Confronto con Filtri Alternativi

Confronta le caratteristiche del filtro di Čebyšëv con quelle del filtro Butterworth e Bessel in termini di ripidità della curva di risposta e ondulazioni nella banda passante.

Soluzione:

• Filtro di Čebyšëv: Maggiore ripidità della curva in banda stop, ma presenta ondulazioni nella banda passante.
• Filtro Butterworth: Risposta monotona senza ondulazioni, ma meno ripido rispetto al filtro di Čebyšëv.
• Filtro Bessel: Ottima risposta al transitorio con una pendenza più dolce rispetto ai filtri precedenti, senza ondulazioni.

English version

Chebyshev Filter Exercises

Chebyshev Filter Theory

The Chebyshev filter is a type of analog filter that has a frequency response characterized by ripples in the passband, unlike Butterworth filters that have a monotonic response. There are two main types of Chebyshev filters:

1. Type I Chebyshev Filter: Has ripples in the passband and a steeper attenuation in the stopband.
2. Type II Chebyshev Filter: Has ripples in the stopband, but no ripples in the passband.

The frequency response of Chebyshev filters is affected by a parameter called ripple, which determines the amplitude of the oscillations in the passband. These filters are particularly useful when a steeper response curve is required than Butterworth filters, but at the cost of some distortion in the passband.

Chebyshev Filter Exercises

Exercise 1: Calculating the Frequency Response

A type I Chebyshev low-pass filter has a cutoff frequency of \omega_c = 1000 \, \text{rad/s}$\omega_c = 1000 \, \text{rad/s}$ and a maximum passband ripple of 1 \, \text{dB}$1 \, \text{dB}$. Calculate the frequency response H(j\omega)|$H(j\omega)|$ for \omega = 500 \, \text{rad/s}$\omega = 500 \, \text{rad/s}$.

Solution:
Using the formula for the frequency response of the Chebyshev filter, one can calculate |H(j\omega)|$|H(j\omega)|$ using the Chebyshev polynomials. The general formula for the frequency response is:

|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)}}

$$|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)}}$$

where T_n$T_n$ is the Chebyshev polynomial and \epsilon = 10^{\frac{ripple}{20}} - 1$\epsilon = 10^{\frac{ripple}{20}} - 1$.

Exercise 2: Filter Design

Design a Chebyshev type II high-pass filter with a cutoff frequency of f_c = 5000 \, \text{Hz}$f_c = 5000 \, \text{Hz}$ and a maximum ripple in the attenuated band of 0.5 \, \text{dB}$0.5 \, \text{dB}$. Determine the components needed to build the filter.

Solution:
To design the filter, you need to determine the filter order needed to achieve the desired attenuation and calculate the component values ​​(resistors and capacitors) using the specific formulas for the high-pass filter.

Exercise 3: Stability Analysis

A Chebyshev low-pass filter has an order n = 3$n = 3$. Discuss the stability of the system and how the filter order affects the transient response.

Solution:
The stability of the filter is affected by the position of the poles in the complex plane. For a higher order filter, such as the n = 3$n = 3$ case, you can see that the transient response will have a larger overshoot and a longer settling time. It is important to analyze the poles to ensure that they are all in the left half-plane to ensure stability.

Exercise 4: Comparison with Alternative Filters

Compare the characteristics of the Chebyshev filter with those of the Butterworth and Bessel filters in terms of the steepness of the response curve and ripples in the passband.

Solution:

• Chebyshev filter: Steeper curve in the stop band, but has ripples in the passband.
• Butterworth filter: Monotonic response without ripples, but less steep than the Chebyshev filter.
• Bessel filter: Excellent transient response with a gentler slope than the previous filters, without ripples.