Esercizi sul Calcolo del Rango di una Matrice

Esercizi sul Calcolo del Rango di una Matrice

Esercizi sul Calcolo del Rango di una Matrice

Versione italiana

Esercizi sul Calcolo del Rango di una Matrice

Esercizio 1: Matrice 2 \times 2$2 \times 2$

Trova il rango della matrice:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

Teoria

Il rango di una matrice è il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti. Per matrici piccole (2 \times 2$2 \times 2$), possiamo osservare se una riga è una combinazione lineare dell’altra:

• Se le righe (o colonne) sono proporzionali, il rango è 1$1$.
• Altrimenti, il rango è 2$2$.

Svolgimento

1. Confrontiamo le righe:
   • La seconda riga ([3, 6]$[3, 6]$) è il triplo della prima riga ([1, 2]$[1, 2]$):
     \text{Riga 2} = 3 \cdot \text{Riga 1} $\text{Riga 2} = 3 \cdot \text{Riga 1}$
2. Poiché le righe sono linearmente dipendenti, il rango è 1.

Risultato

Il rango di A$A$ è \mathbf{1}$\mathbf{1}$.

Esercizio 2: Matrice 3 \times 3$3 \times 3$

Trova il rango della matrice:

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Teoria

Per matrici 3 \times 3$3 \times 3$, possiamo ridurle alla forma a scala:

1. Applichiamo operazioni elementari sulle righe.
2. Contiamo il numero di righe non nulle: questo numero è il rango della matrice.

Svolgimento

1. La matrice è già in forma a scala:
   \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
2. Le prime due righe sono non nulle, mentre la terza riga è nulla.

Risultato

Il rango di B$B$ è \mathbf{2}$\mathbf{2}$.

Esercizio 3: Matrice 3 \times 3$3 \times 3$ con Righe Dipendenti

Trova il rango della matrice:

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} $C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

Teoria

Se le righe di una matrice sono linearmente dipendenti (combinazioni lineari tra loro), il rango è inferiore all’ordine della matrice. Procediamo riducendo la matrice alla forma a scala.

Svolgimento

1. Confrontiamo le righe:
   • La seconda riga è 2 \cdot \text{Riga 1}$2 \cdot \text{Riga 1}$:
     \text{Riga 2} = 2 \cdot \text{Riga 1} $\text{Riga 2} = 2 \cdot \text{Riga 1}$
   • La terza riga è 3 \cdot \text{Riga 1}$3 \cdot \text{Riga 1}$:
     \text{Riga 3} = 3 \cdot \text{Riga 1} $\text{Riga 3} = 3 \cdot \text{Riga 1}$
2. Riduciamo la matrice:
   \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
3. Solo la prima riga è non nulla.

Risultato

Il rango di C$C$ è \mathbf{1}$\mathbf{1}$.

Esercizio 4: Determinante e Rango

Trova il rango della matrice:

D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

Teoria

Per calcolare il rango di una matrice:

1. Verifica se il determinante della matrice è diverso da zero:
   • Se sì, il rango è uguale all’ordine della matrice (in questo caso 3$3$).
2. Se il determinante è 0$0$, cerca il determinante di sottomatrici di ordine inferiore.

Svolgimento

1. Calcoliamo il determinante di D$D$:
   \text{det}(D) = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) $\text{det}(D) = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$
   = 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35) $= 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)$
   = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 $= 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0$
   Poiché il determinante è 0$0$, \text{rango} \neq 3$\text{rango} \neq 3$.

2. Cerchiamo una sottomatrice 2 \times 2$2 \times 2$ con determinante diverso da zero:

   • Consideriamo la sottomatrice formata da \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$:
     \text{det} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $\text{det} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$
   • Poiché il determinante è diverso da zero, il rango è 2$2$.

Risultato

Il rango di D$D$ è \mathbf{2}$\mathbf{2}$.

English version

Exercises on Computing the Rank of a Matrix

Exercise 1: Matrix 2 \times 2$2 \times 2$

Find the rank of the matrix:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

Theory

The rank of a matrix is ​​the maximum number of linearly independent rows (or columns). For small matrices (2 \times 2$2 \times 2$), we can observe whether one row is a linear combination of the other:

• If the rows (or columns) are proportional, the rank is 1$1$.
• Otherwise, the rank is 2$2$.

Process

1. Let’s compare the rows:

• The second row ([3, 6]$[3, 6]$) is three times the first row ([1, 2]$[1, 2]$):
  \text{Row 2} = 3 \cdot \text{Row 1} $\text{Row 2} = 3 \cdot \text{Row 1}$

2. Since the rows are linearly dependent, the rank is 1.

Result

The rank of A$A$ is \mathbf{1}$\mathbf{1}$.

Exercise 2: Matrix 3 \times 3$3 \times 3$

Find the rank of the matrix:

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Theory

For matrices 3 \times 3$3 \times 3$, we can reduce them to ladder form:

1. We apply elementary operations on the rows.
2. We count the number of non-zero rows: this number is the rank of the matrix.

Process

1. The matrix is ​​already in ladder form:
   \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
2. The first two rows are non-zero, while the third row is zero.

Result

The rank of B$B$ is \mathbf{2}$\mathbf{2}$.

Exercise 3: Matrix 3 \times 3$3 \times 3$ with Dependent Rows

Find the rank of the matrix:

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} $C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

Theory

If the rows of a matrix are linearly dependent (linear combinations between them), the rank is less than the order of the matrix. Let’s proceed by reducing the matrix to the ladder form.

Process

1. Compare the rows:

• The second row is 2 \cdot \text{Row 1}$2 \cdot \text{Row 1}$:
  \text{Row 2} = 2 \cdot \text{Row 1} $\text{Row 2} = 2 \cdot \text{Row 1}$
• The third row is 3 \cdot \text{Row 1}$3 \cdot \text{Row 1}$:
  \text{Row 3} = 3 \cdot \text{Row 1} $\text{Row 3} = 3 \cdot \text{Row 1}$

2. Reduce the matrix:
   \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
3. Only the first row is non-zero.

Result

The rank of C$C$ is \mathbf{1}$\mathbf{1}$.

Exercise 4: Determinant and Rank

Find the rank of the matrix:

D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

Theory

To calculate the rank of a matrix:

1. Check if the determinant of the matrix is ​​different from zero:

• If so, the rank is equal to the order of the matrix (in this case 3$3$).

2. If the determinant is 0$0$, find the determinant of lower-order submatrices.

Process

1. Let’s calculate the determinant of D$D$:
   \text{det}(D) = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) $\text{det}(D) = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$
   = 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35) $= 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)$
   = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 $= 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0$
   Since the determinant is 0$0$, \text{rank} \neq 3$\text{rank} \neq 3$.

2. We look for a submatrix 2 \times 2$2 \times 2$ with nonzero determinant:

• Consider the submatrix formed by \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$:
  \text{det} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $\text{det} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$
• Since the determinant is nonzero, the rank is 2$2$.

Result

The rank of D$D$ is \mathbf{2}$\mathbf{2}$.