Esercizi sul calcolo combinatorio

Esercizi sul calcolo combinatorio

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Versione italiana

Esercizi sul calcolo combinatorio

Teoria del Calcolo Combinatorio

Il calcolo combinatorio è una branca della matematica che si occupa di contare, disporre e combinare oggetti in insiemi. È fondamentale per risolvere problemi di probabilità, statistica e informatica.

Concetti Fondamentali

1. Fattoriale: Il fattoriale di un numero intero non negativo n, denotato come n!, è il prodotto di tutti gli interi positivi fino a n.

   • Esempio: 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

2. Permutazioni: Le permutazioni sono disposizioni ordinate di un insieme di oggetti. Il numero di permutazioni di n oggetti distinti è dato da n!.

   • Formula: P(n) = n!$P(n) = n!$

3. Combinazioni: Le combinazioni sono selezioni di oggetti senza considerare l’ordine. Il numero di modi per scegliere k oggetti da un insieme di n oggetti è dato da:

   • Formula:

   C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

   $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Esercizi sul Calcolo Combinatorio

Esercizio 1: Calcolo del Fattoriale

Calcola il valore di 7!$7!$.

Svolgimento:

7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040.

$$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040.$$

Risultato:

7! = 5040$7! = 5040$.

Esercizio 2: Permutazioni

Quanti modi ci sono per disporre le lettere della parola “CANE”?

Svolgimento:

La parola “CANE” ha 4 lettere distinte. Il numero di permutazioni è dato da:

P(4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.

$$P(4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.$$

Risultato:

Ci sono 24 modi per disporre le lettere della parola “CANE”.

Esercizio 3: Combinazioni

In una classe ci sono 10 studenti e il professore deve scegliere un gruppo di 3 studenti per un progetto. Quanti gruppi diversi possono essere formati?

Svolgimento:

Utilizziamo la formula delle combinazioni:

C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}.

$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}.$$

Calcoliamo i fattoriali:

C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120.

$$C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120.$$

Risultato:

Possono essere formati 120 gruppi diversi di studenti.

Esercizio 4: Combinazioni con Ripetizione

Supponiamo che tu voglia scegliere un gelato da un assortimento di 5 gusti (cioccolato, vaniglia, fragola, limone, menta) e puoi scegliere lo stesso gusto più volte. Quanti modi diversi hai per scegliere un gelato con tre palline?

Svolgimento:

Quando si tratta di combinazioni con ripetizione, utilizziamo la formula:

C(n + k - 1, k) 

$$C(n + k - 1, k)$$

dove n è il numero di tipi (gusti) e k è il numero di scelte (palline).

In questo caso, abbiamo:

• n = 5 (gusti)
• k = 3 (palline)

Quindi:

C(5 + 3 - 1, 3) = C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!}.

$$C(5 + 3 - 1, 3) = C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!}.$$

Calcoliamo i fattoriali:

C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35.

$$C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35.$$

Risultato:

Ci sono 35 modi diversi per scegliere un gelato con tre palline.

Esercizio 4: Permutazioni con Elementi Ripetuti

Considera la parola “BALLO”. Quanti modi diversi ci sono per disporre le lettere della parola?

Svolgimento:

La parola “BALLO” ha:

• Lettere totali: n = 5
• Lettera L ripetuta: r_L = 2$r_L = 2$

La formula per le permutazioni con ripetizione è:

P(n; r_1, r_2, ..., r_k) = \frac{n!}{r_1! r_2! ... r_k!}

$$P(n; r_1, r_2, ..., r_k) = \frac{n!}{r_1! r_2! ... r_k!}$$

Applicando i valori:

P(5;2) = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60.

$$P(5;2) = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60.$$

Risultato:

Ci sono 60 modi diversi per disporre le lettere della parola “BALLO”.

English version

Combinatorial Calculus Exercises

Combinatorial Calculus Theory

Combinatorical calculus is a branch of mathematics that deals with counting, arranging, and combining objects into sets. It is essential for solving problems in probability, statistics, and computer science.

Fundamental Concepts

1. Factorial: The factorial of a nonnegative integer n, denoted as n!, is the product of all positive integers up to n.

• Example: 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

2. Permutations: Permutations are ordered arrangements of a set of objects. The number of permutations of n distinct objects is given by n!.

• Formula: P(n) = n!$P(n) = n!$

3. Combinations: Combinations are selections of objects without regard to order. The number of ways to choose k objects from a set of n objects is given by:

• Formula:

C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Combinatorial Exercises

Exercise 1: Factorial Calculation

Calculate the value of 7!$7!$.

Procedure:

7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040.

$$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040.$$

Result:

7! = 5040$7! = 5040$.

Exercise 2: Permutations

How many ways are there to arrange the letters of the word “DOG”?

Procedure:

The word “DOG” has 4 distinct letters. The number of permutations is given by:

P(4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.

$$P(4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.$$

Result:

There are 24 ways to arrange the letters of the word “DOG”.

Exercise 3: Combinations

There are 10 students in a class and the teacher must choose a group of 3 students for a project. How many different groups can be formed?

Procedure:

We use the combination formula:

C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}.

$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}.$$

Let’s calculate the factorials:

C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120.

$$C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120.$$

Result:

There can be formed 120 different groups of students.

Exercise 4: Combinations with Repetition

Suppose you want to choose an ice cream from an assortment of 5 flavors (chocolate, vanilla, strawberry, lemon, mint) and you can choose the same flavor multiple times. How many different ways do you have to choose an ice cream with three scoops?

Procedure:

When it comes to combinations with repetition, we use the formula:

C(n + k - 1, k)

$$C(n + k - 1, k)$$

where n is the number of types (flavors) and k is the number of choices (scoops).

In this case, we have:

• n = 5 (flavors)
• k = 3 (scoops)

So:

C(5 + 3 - 1, 3) = C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!}.

$$C(5 + 3 - 1, 3) = C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!}.$$

Let’s calculate the factorials:

C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35.

$$C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35.$$

Result:

There are 35 different ways to choose an ice cream with three scoops.

Exercise 4: Permutations with Repeated Elements

Consider the word “BALLO”. How many different ways are there to arrange the letters of the word?

Process:

The word “BALLO” has:

• Total letters: n = 5
• Repeated letter L: r_L = 2$r_L = 2$

The formula for permutations with repetition is:

P(n; r_1, r_2, ..., r_k) = \frac{n!}{r_1! r_2! ... r_k!}

$$P(n; r_1, r_2, ..., r_k) = \frac{n!}{r_1! r_2! ... r_k!}$$

Applying the values:

P(5;2) = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60.

$$P(5;2) = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60.$$

Result:

There are 60 different ways to arrange the letters of the word “BALLO”.