Esercizi sugli endomorfismi

Esercizi sugli endomorfismi

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Versione italiana

Esercizi sugli endomorfismi

Teoria degli Endomorfismi

Definizione

Un endomorfismo è un tipo di mappatura (o trasformazione) che agisce su uno spazio vettoriale e restituisce un altro vettore nello stesso spazio. Formalmente, se V$V$ è uno spazio vettoriale su un campo K$K$, un endomorfismo T: V \to V$T: V \to V$ è una funzione lineare tale che:

• Linearità: Per ogni u, v \in V$u, v \in V$ e a \in K$a \in K$, si ha:
  • T(u + v) = T(u) + T(v)$T(u + v) = T(u) + T(v)$
  • T(au) = aT(u)$T(au) = aT(u)$

Proprietà degli Endomorfismi

1. Matrice Associata: Ogni endomorfismo può essere rappresentato da una matrice rispetto a una base dello spazio vettoriale. Se T$T$ è un endomorfismo e B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$ è una base di V$V$, allora esiste una matrice A$A$ tale che:

   • [T(v_i)] = A[v_i]$[T(v_i)] = A[v_i]$

2. Determinante e Invertibilità: Un endomorfismo è invertibile se e solo se la sua matrice associata ha determinante diverso da zero.

3. Autovalori e Autovettori: Gli autovalori di un endomorfismo sono i valori scalari \lambda$\lambda$ per cui esiste un vettore non nullo v$v$ tale che:

   • T(v) = \lambda v$T(v) = \lambda v$

Esercizi sugli Endomorfismi

Esercizio 1: Verifica della Linearità

Sia T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definito da:

T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{pmatrix}

$$T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{pmatrix}$$

Verifica se T$T$ è un endomorfismo.

Soluzione:
Per verificare la linearità, controlliamo le due proprietà:

1. Additività:
   Siano u = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$u = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ e v = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$v = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$:

   T(u + v) = T\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} = 
   \begin{pmatrix} 2(x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) \\ 4(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) \end{pmatrix}

$$T(u + v) = T\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) \\ 4(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) \end{pmatrix}$$

   = 
   \begin{pmatrix} 2x_1 + 3y_1 \\ 4x_1 - y_1 \end{pmatrix} +
   \begin{pmatrix} 2x_2 + 3y_2 \\ 4x_2 - y_2 \end{pmatrix}

$$= \begin{pmatrix} 2x_1 + 3y_1 \\ 4x_1 - y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x_2 + 3y_2 \\ 4x_2 - y_2 \end{pmatrix}$$

   = T(u) + T(v)

$$= T(u) + T(v)$$

3. Omogeneità:
   Sia a \in \mathbb{R}$a \in \mathbb{R}$:

   T(a u) = T\begin{pmatrix} ax \\ ay \end{pmatrix} = 
   \begin{pmatrix} 2(ax) + 3(ay) \\ 4(ax) - (ay) \end{pmatrix}

   $$T(a u) = T\begin{pmatrix} ax \\ ay \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(ax) + 3(ay) \\ 4(ax) - (ay) \end{pmatrix}$$

   = a\begin{pmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{pmatrix}

   $$= a\begin{pmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{pmatrix}$$

   = aT(u)

   $$= aT(u)$$

Poiché entrambe le proprietà sono verificate, T$T$ è un endomorfismo.

Esercizio 2: Matrice Associata

Trova la matrice associata all’endormofismo definito da:

T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} x + 2y \\ 3y - z \\ z + x^2 - y^2\end{pmatrix}

$$T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 3y - z \\ z + x^2 - y^2\end{pmatrix}$$

Soluzione:
Per trovare la matrice associata, dobbiamo esprimere l’output di T(v_i)$T(v_i)$, dove i vettori della base canonica sono:

• v_1 = (1,0,0)^T, v_2 = (0,1,0)^T, v_3 = (0,0,1)^T$v_1 = (1,0,0)^T, v_2 = (0,1,0)^T, v_3 = (0,0,1)^T$.

Calcoliamo:

• T(v_1) = T(1,0,0)^T = (1,0,0)^T$T(v_1) = T(1,0,0)^T = (1,0,0)^T$
• T(v_2) = T(0,1,0)^T = (2,-1,0)^T$T(v_2) = T(0,1,0)^T = (2,-1,0)^T$
• T(v_3) = T(0,0,1)^T = (0,0,1)^T$T(v_3) = T(0,0,1)^T = (0,0,1)^T$

La matrice associata sarà quindi:

A = 
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0\\
0 & 3 & -1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Esercizio 3: Autovalori e Autovettori

Considera l’endomorfismo definito dalla matrice:

A =
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Trova gli autovalori e gli autovettori di questo endomorfismo.

Soluzione:
Calcoliamo il polinomio caratteristico:

det(A - λI) =
det\begin{pmatrix}
4 - λ & 1\\
0 & 3 - λ
\end{pmatrix}
= (4 - λ)(3 - λ)

$$det(A - λI) = det\begin{pmatrix} 4 - λ & 1\\ 0 & 3 - λ \end{pmatrix} = (4 - λ)(3 - λ)$$

Impostiamo il determinante uguale a zero per trovare gli autovalori:

(4 - λ)(3 - λ) = 0

$$(4 - λ)(3 - λ) = 0$$

Gli autovalori sono:

• λ_1 = 4$λ_1 = 4$
• λ_2 = 3$λ_2 = 3$

Ora troviamo gli autovettori associati.

Per λ_1 = 4$λ_1 = 4$:

(A - 4I)v =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}= 
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix}

$$(A - 4I)v = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

Da cui otteniamo che gli autovettori sono della forma:

v_1 =
\begin{pmatrix}
t\\
0
\end{pmatrix}, t ≠ 0 

$$v_1 = \begin{pmatrix} t\\ 0 \end{pmatrix}, t ≠ 0$$

Per λ_2 = 3$λ_2 = 3$:

(A - 3I)v =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}= 
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix}

$$(A - 3I)v = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

Da cui otteniamo che gli autovettori sono della forma:

v_2 =
\begin{pmatrix}
-t\\
t
\end{pmatrix}, t ≠ 0 

$$v_2 = \begin{pmatrix} -t\\ t \end{pmatrix}, t ≠ 0$$

Esercizio 4: Composizione di Endomorfismi

Siano dati due endomorfismi in uno spazio vettoriale definito dalle seguenti matrici:

A =
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}, B =
\begin{pmatrix}
5 & 6\\
7 & 8
\end{pmatrix}.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix}.$$

Calcola la matrice dell’endomorfismo risultante dalla composizione C = B A$C = B A$.

Soluzione:
Calcoliamo il prodotto delle matrici:

C = BA =
\begin{pmatrix}
5 & 6\\
7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
5*1 +6*3 &5*2+6*4\\ 
7*1+8*3&7*2+8*4 
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
5+18&10+24\\ 
7+24&14+32 
\end{pmatrix}=
\begin {pmatrix}
23&34\\ 
31&46 
\end {pmatrix}

$$C = BA = \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5*1 +6*3 &5*2+6*4\\ 7*1+8*3&7*2+8*4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5+18&10+24\\ 7+24&14+32 \end{pmatrix}= \begin {pmatrix} 23&34\\ 31&46 \end {pmatrix}$$

La matrice dell’endomorfismo risultante dalla composizione è:

C =
\begin {pmatrix}
23 & 34 \\ 
31 & 46 
\end {pmatrix}

$$C = \begin {pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end {pmatrix}$$

English version

Endomorphism Exercises

Endomorphism Theory

Definition

An endomorphism is a type of mapping (or transformation) that acts on a vector space and returns another vector in the same space. Formally, if V$V$ is a vector space over a field K$K$, an endomorphism T: V \to V$T: V \to V$ is a linear function such that:

• Linearity: For every u, v \in V$u, v \in V$ and a \in K$a \in K$, we have:
• T(u + v) = T(u) + T(v)$T(u + v) = T(u) + T(v)$
• T(au) = aT(u)$T(au) = aT(u)$

Properties of Endomorphisms

1. Associated Matrix: Every endomorphism can be represented by a matrix with respect to a basis of the vector space. If T$T$ is an endomorphism and B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$ is a basis of V$V$, then there exists a matrix A$A$ such that:

• [T(v_i)] = A[v_i]$[T(v_i)] = A[v_i]$

2. Determinant and Invertibility: An endomorphism is invertible if and only if its associated matrix has a determinant other than zero.

3. Eigenvalues ​​and Eigenvectors: The eigenvalues ​​of an endomorphism are the scalar values ​​\lambda$\lambda$ for which there exists a non-zero vector v$v$ such that:

• T(v) = \lambda v$T(v) = \lambda v$

Exercises on Endomorphisms

Exercise 1: Checking Linearity

Let T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ defined by:

T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{pmatrix}

$$T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{pmatrix}$$

Check if T$T$ is an endomorphism.

Solution:
To check for linearity, we check the two properties:

1. Additivity:
   Let u = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$u = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ and v = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$v = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$:

 T(u + v) = T\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix} 2(x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) \\ 4(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) \end{pmatrix}

$$T(u + v) = T\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) \\ 4(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) \end{pmatrix}$$

 =
 \begin{pmatrix} 2x_1 + 3y_1 \\ 4x_1 - y_1 \end{pmatrix} +
 \begin{pmatrix} 2x_2 + 3y_2 \\ 4x_2 - y_2 \end{pmatrix}

$$= \begin{pmatrix} 2x_1 + 3y_1 \\ 4x_1 - y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x_2 + 3y_2 \\ 4x_2 - y_2 \end{pmatrix}$$

 = T(u) + T(v)

$$= T(u) + T(v)$$

3. Homogeneity:
   Let a \in \mathbb{R}$a \in \mathbb{R}$:

T(a u) = T\begin{pmatrix} ax \\ ay \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 2(ax) + 3(ay) \\ 4(ax) - (ay) \end{pmatrix}

$$T(a u) = T\begin{pmatrix} ax \\ ay \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(ax) + 3(ay) \\ 4(ax) - (ay) \end{pmatrix}$$

= a\begin{pmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{pmatrix}

$$= a\begin{pmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{pmatrix}$$

= aT(u)

$$= aT(u)$$

Since both properties are true, T$T$ is a endomorphism.

Exercise 2: Associated Matrix

Find the matrix associated with the endomorphism defined by:

T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x + 2y \\ 3y - z \\ z + x^2 - y^2\end{pmatrix}

$$T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 3y - z \\ z + x^2 - y^2\end{pmatrix}$$

Solution:
To find the associated matrix, we need to express the output of T(v_i)$T(v_i)$, where the canonical basis vectors are:

• v_1 = (1,0,0)^T, v_2 = (0,1,0)^T, v_3 = (0,0,1)^T$v_1 = (1,0,0)^T, v_2 = (0,1,0)^T, v_3 = (0,0,1)^T$.

Let’s calculate:

• T(v_1) = T(1,0,0)^T = (1,0,0)^T$T(v_1) = T(1,0,0)^T = (1,0,0)^T$
• T(v_2) = T(0,1,0)^T = (2,-1,0)^T$T(v_2) = T(0,1,0)^T = (2,-1,0)^T$
• T(v_3) = T(0,0,1)^T = (0,0,1)^T$T(v_3) = T(0,0,1)^T = (0,0,1)^T$

The associated matrix will then be:

A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0\\
0 & 3 & -1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Exercise 3: Eigenvalues ​​and Eigenvectors

Consider the endomorphism defined by the matrix:

A =
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Find the eigenvalues ​​and the eigenvectors of this endomorphism.

Solution:
Let’s calculate the characteristic polynomial:

det(A - λI) =
det\begin{pmatrix}
4 - λ & 1\\
0 & 3 - λ
\end{pmatrix}
= (4 - λ)(3 - λ)

$$det(A - λI) = det\begin{pmatrix} 4 - λ & 1\\ 0 & 3 - λ \end{pmatrix} = (4 - λ)(3 - λ)$$

Let’s set the determinant equal to zero to find the eigenvalues:

(4 - λ)(3 - λ) = 0

$$(4 - λ)(3 - λ) = 0$$

The eigenvalues ​​are:

• λ_1 = 4$λ_1 = 4$
• λ_2 = 3$λ_2 = 3$

Now let’s find the associated eigenvectors.

For λ_1 = 4$λ_1 = 4$:

(A - 4I)v =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix}

$$(A - 4I)v = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

From which we obtain that the eigenvectors are of the form:

v_1 =
\begin{pmatrix}
t\\
0
\end{pmatrix}, t ≠ 0

$$v_1 = \begin{pmatrix} t\\ 0 \end{pmatrix}, t ≠ 0$$

For λ_2 = 3$λ_2 = 3$:

(A - 3I)v =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix}

$$(A - 3I)v = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

From which we obtain that the eigenvectors are of the form:

v_2 =
\begin{pmatrix}
-t\\
t
\end{pmatrix}, t ≠ 0

$$v_2 = \begin{pmatrix} -t\\ t \end{pmatrix}, t ≠ 0$$

Exercise 4: Composition of Endomorphisms

Let two endomorphisms be given in a vector space defined by the following matrices:

A =
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}, B =
\begin{pmatrix}
5 & 6\\
7 & 8
\end{pmatrix}.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix}.$$

Compute the endomorphism matrix resulting from the composition C = B A$C = B A$.

Solution:
Let’s calculate the product of the matrices:

C = BA =
\begin{pmatrix}
5 & 6\\
7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
5*1 +6*3 &5*2+6*4\\
7*1+8*3&7*2+8*4
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
5+18&10+24\\
7+24&14+32
\end{pmatrix}=
\begin {pmatrix}
23&34\\
31&46
\end {pmatrix}

$$C = BA = \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5*1 +6*3 &5*2+6*4\\ 7*1+8*3&7*2+8*4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5+18&10+24\\ 7+24&14+32 \end{pmatrix}= \begin {pmatrix} 23&34\\ 31&46 \end {pmatrix}$$

The endomorphism matrix resulting from the composition is:

C =
\begin {pmatrix}
23 & 34 \\
31 & 46
\end {pmatrix}

$$C = \begin {pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end {pmatrix}$$