Esercizi su una retta intersecante una circonferenza

Esercizi su una retta intersecante una circonferenza

+Esercizi su una retta intersecante una circonferenza

Versione italiana

Esercizi su una retta intersecante una circonferenza

Esercizio 1: La retta è secante alla circonferenza

Dati

• Circonferenza: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$
• Retta: y = x + 1$y = x + 1$

Passaggi per la soluzione

1. Riscrivere l’equazione della circonferenza:

   (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4

   $$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$$

   Questa è una circonferenza di centro (2, 3)$(2, 3)$ e raggio 2$2$.

2. Sostituire l’equazione della retta nell’equazione della circonferenza:
   Sostituiamo y = x + 1$y = x + 1$ nell’equazione della circonferenza:

   (x - 2)^2 + ((x + 1) - 3)^2 = 4

   $$(x - 2)^2 + ((x + 1) - 3)^2 = 4$$

   Semplificando:

   (x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 4

   $$(x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 4$$

   2(x - 2)^2 = 4

   $$2(x - 2)^2 = 4$$

   Dividendo entrambi i lati per 2$2$:

   (x - 2)^2 = 2

   $$(x - 2)^2 = 2$$

3. Risolvere l’equazione:
   Prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati:

   x - 2 = \pm\sqrt{2}

   $$x - 2 = \pm\sqrt{2}$$

   Quindi, abbiamo due soluzioni per x$x$:

   x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{2}

   $$x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{2}$$

4. Trovare i corrispondenti valori di y$y$:
   Utilizziamo l’equazione della retta:

   • Per x_1 = 2 + \sqrt{2}$x_1 = 2 + \sqrt{2}$:

     y_1 = (2 + \sqrt{2}) + 1 = 3 + \sqrt{2}

     $$y_1 = (2 + \sqrt{2}) + 1 = 3 + \sqrt{2}$$

   • Per x_2 = 2 - \sqrt{2}$x_2 = 2 - \sqrt{2}$:

     y_2 = (2 - \sqrt{2}) + 1 = 3 - \sqrt{2}

     $$y_2 = (2 - \sqrt{2}) + 1 = 3 - \sqrt{2}$$

Risultato

I punti di intersezione sono:

(2 + \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \quad e \quad (2 - \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2})

$$(2 + \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \quad e \quad (2 - \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2})$$

Esercizio 2: La retta è tangente alla circonferenza

Dati

• Circonferenza: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$
• Retta: y = x + 1$y = x + 1$

Passaggi per la soluzione

1. Riscrivere l’equazione della circonferenza:
   Completiamo il quadrato:

   (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0

   $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$$

   Questa è una circonferenza di centro (2, 2)$(2, 2)$ e raggio r = 0$r = 0$ (un punto).

2. Sostituire l’equazione della retta nell’equazione della circonferenza:
   Sostituiamo y = x + 1$y = x + 1$:

   (x - 2)^2 + ((x + 1) - 2)^2 = 0

   $$(x - 2)^2 + ((x + 1) - 2)^2 = 0$$

   Semplificando:

   (x - 2)^2 + (x - 1)^2 = 0

   $$(x - 2)^2 + (x - 1)^2 = 0$$

3. Risolvere l’equazione:
   Poiché la somma di due quadrati è zero solo se entrambi i quadrati sono zero, otteniamo:

   • Da (x-1)^2=0$(x-1)^2=0$, abbiamo x=1$x=1$
   • Da (x-1)=0$(x-1)=0$, abbiamo anche y=1+1=0$y=1+1=0$

Risultato

L’unico punto di intersezione è:

(1,0)

$$(1,0)$$

Esercizio 3: La retta non interseca la circonferenza

Dati

• Circonferenza: x^2 + y^2 -6x +8y -12=0$x^2 + y^2 -6x +8y -12=0$
• Retta: y=-x+5$y=-x+5$

Passaggi per la soluzione

1. Riscrivere l’equazione della circonferenza:
   Completiamo il quadrato:

   (x-3)^2+(y+4)^2=25

   $$(x-3)^2+(y+4)^2=25$$

   Questa è una circonferenza di centro (3,-4)$(3,-4)$ e raggio = 5.

2. Sostituire l’equazione della retta nell’equazione della circonferenza:
   Sostituiamo y=-x+5$y=-x+5$:

   ((x-3)^2+((-x+5)+4))^2=25

   $$((x-3)^2+((-x+5)+4))^2=25$$

   Risolvendo otteniamo un discriminante negativo, quindi non ci sono intersezioni.

Risultato

La retta non interseca la circonferenza.

English version

Exercises on a line intersecting a circle

Exercise 1: The line is secant to the circle

Data

• Circumference: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$
• Line: y = x + 1$y = x + 1$

Steps for the solution

1. Rewrite the equation of the circle:

(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4

$$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$$

This is a circle with center (2, 3)$(2, 3)$ and radius 2$2$.

2. Substitute the equation of the line into the equation of the circumference:
   We substitute y = x + 1$y = x + 1$ into the equation of the circumference:

(x - 2)^2 + ((x + 1) - 3)^2 = 4

$$(x - 2)^2 + ((x + 1) - 3)^2 = 4$$

Simplifying:

(x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 4

$$(x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 4$$

2(x - 2)^2 = 4

$$2(x - 2)^2 = 4$$

Dividing both sides by 2$2$:

(x - 2)^2 = 2

$$(x - 2)^2 = 2$$

3. Solve the equation:
   We take the square root of both sides:

x - 2 = \pm\sqrt{2}

$$x - 2 = \pm\sqrt{2}$$

So, we have two solutions for x$x$:

x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{2}

$$x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{2}$$

4. Find the corresponding values ​​of y$y$:
   We use the equation of the line:

• For x_1 = 2 + \sqrt{2}$x_1 = 2 + \sqrt{2}$:

y_1 = (2 + \sqrt{2}) + 1 = 3 + \sqrt{2}

$$y_1 = (2 + \sqrt{2}) + 1 = 3 + \sqrt{2}$$

• For x_2 = 2 - \sqrt{2}$x_2 = 2 - \sqrt{2}$:

y_2 = (2 - \sqrt{2}) + 1 = 3 - \sqrt{2}

$$y_2 = (2 - \sqrt{2}) + 1 = 3 - \sqrt{2}$$

Result

The points of intersection are:

(2 + \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \quad and \quad (2 - \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2})

$$(2 + \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \quad and \quad (2 - \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2})$$

Exercise 2: The line is tangent to the circumference

Data

• Circumference: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$
• Line: y = x + 1$y = x + 1$

Steps to solve

1. Rewrite the equation of the circumference:
   Let’s complete the square:

(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0

$$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$$

This is a circumference with center (2, 2)$(2, 2)$ and radius r = 0$r = 0$ (a point).

3. Substitute the equation of the line into the equation of the circumference:
   We substitute y = x + 1$y = x + 1$:

(x - 2)^2 + ((x + 1) - 2)^2 = 0

$$(x - 2)^2 + ((x + 1) - 2)^2 = 0$$

Simplifying:

(x - 2)^2 + (x - 1)^2 = 0

$$(x - 2)^2 + (x - 1)^2 = 0$$

4. Solve the equation:
   Since the sum of two squares is zero only if both squares are zero, we obtain:

• From (x-1)^2=0$(x-1)^2=0$, we have x=1$x=1$
• From (x-1)=0$(x-1)=0$, we also have y=1+1=0$y=1+1=0$

Result

The only point of intersection is:

(1,0)

$$(1,0)$$

Exercise 3: The line does not intersect the circumference

Data

• Circumference: x^2 + y^2 -6x +8y -12=0$x^2 + y^2 -6x +8y -12=0$
• Line: y=-x+5$y=-x+5$

Steps to solve

1. Rewrite the equation of the circumference:
   Let’s complete the square:

(x-3)^2+(y+4)^2=25

$$(x-3)^2+(y+4)^2=25$$

This is a circle with center (3,-4)$(3,-4)$ and radius = 5.

3. Substitute the equation of the line into the equation of the circumference:
   Let’s substitute y=-x+5$y=-x+5$:

((x-3)^2+((-x+5)+4))^2=25

$$((x-3)^2+((-x+5)+4))^2=25$$

Solving, we obtain a negative discriminant, so there are no intersections.

Result

The line does not intersect the circumference.