Esercizi su una retta che interseca un'ellisse

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Versione italiana

Esercizi su una retta che interseca un’ellisse

Esercizio 1: La retta è secante all’ellisse

Dati

• Ellisse: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
• Retta: y = 2x - 1$y = 2x - 1$

Passaggi per la soluzione

1. Sostituire l’equazione della retta nell’equazione dell’ellisse:
   Sostituiamo y = 2x - 1$y = 2x - 1$ nell’equazione dell’ellisse:

   \frac{x^2}{4} + \frac{(2x - 1)^2}{9} = 1

   $$\frac{x^2}{4} + \frac{(2x - 1)^2}{9} = 1$$

2. Espandere e semplificare:
   Sviluppiamo l’equazione:

   \frac{x^2}{4} + \frac{4x^2 - 4x + 1}{9} = 1

   $$\frac{x^2}{4} + \frac{4x^2 - 4x + 1}{9} = 1$$

   Moltiplichiamo per 36 (il minimo comune multiplo di 4 e 9) per eliminare i denominatori:

   9x^2 + 4(4x^2 - 4x + 1) = 36

   $$9x^2 + 4(4x^2 - 4x + 1) = 36$$

   Semplificando otteniamo:

   9x^2 + 16x^2 - 16x + 4 = 36

   $$9x^2 + 16x^2 - 16x + 4 = 36$$

   25x^2 - 16x - 32 = 0

   $$25x^2 - 16x - 32 = 0$$

3. Calcolare il discriminante:
   Il discriminante è dato da:

   D = (-16)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-32) = 256 + 3200 = 3456

   $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-32) = 256 + 3200 = 3456$$

   Poiché il discriminante è positivo, ci sono due soluzioni.

4. Risolvere l’equazione quadratica:
   Utilizziamo la formula quadratica:

   x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{3456}}{50}

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{3456}}{50}$$

5. Trovare i corrispondenti valori di y$y$ utilizzando l’equazione della retta.

Risultato

I punti di intersezione possono essere calcolati ulteriormente, ma poiché abbiamo un discriminante positivo, possiamo concludere che ci sono due punti di intersezione.

Esercizio 2: La retta è tangente all’ellisse

Dati

• Ellisse: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
• Retta: y = -\frac{4}{5}x + k$y = -\frac{4}{5}x + k$ (dove k è un parametro che determineremo)

Passaggi per la soluzione

1. Sostituire l’equazione della retta nell’equazione dell’ellisse:
   Sostituiamo y = -\frac{4}{5}x + k$y = -\frac{4}{5}x + k$ nell’equazione dell’ellisse:

   \frac{x^2}{25} + \frac{\left(-\frac{4}{5}x + k\right)^2}{16} = 1

   $$\frac{x^2}{25} + \frac{\left(-\frac{4}{5}x + k\right)^2}{16} = 1$$

2. Espandere e semplificare:
   Espandiamo l’equazione:

   \frac{x^2}{25} + \frac{\left(\frac{16}{25}x^2 - \frac{8k}{5}x + k^2\right)}{16} = 1

   $$\frac{x^2}{25} + \frac{\left(\frac{16}{25}x^2 - \frac{8k}{5}x + k^2\right)}{16} = 1$$

   Moltiplichiamo per il minimo comune multiplo (400) per eliminare i denominatori.

3. Calcolare il discriminante:
   Per avere una tangente, il discriminante dell’equazione quadratica risultante deve essere zero.

Risultato

Troviamo il valore di k tale che il discriminante sia zero. Questo porterà a una situazione in cui la retta tocca l’ellisse in un solo punto.

Esercizio 3: La retta non interseca l’ellisse

Dati

• Ellisse: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
• Retta: y = -3x + 10$y = -3x + 10$

Passaggi per la soluzione

1. Sostituire l’equazione della retta nell’equazione dell’ellisse:
   Sostituiamo y = -3x + 10$y = -3x + 10$ nell’equazione dell’ellisse:

   \frac{x^2}{9} + \frac{(-3x + 10)^2}{4} = 1

   $$\frac{x^2}{9} + \frac{(-3x + 10)^2}{4} = 1$$

2. Espandere e semplificare:
   Espandiamo l’equazione:

   \frac{x^2}{9} + \frac{(9x^2 -60x +100)}{4}=1

   $$\frac{x^2}{9} + \frac{(9x^2 -60x +100)}{4}=1$$

3. Moltiplicare per il minimo comune multiplo (36) per eliminare i denominatori.

4. Calcolare il discriminante:
   Se il discriminante risulta negativo, concluderemo che non ci sono intersezioni.

Risultato

Poiché abbiamo un discriminante negativo, possiamo concludere che la retta non interseca l’ellisse.

English version

Exercises on a line that intersects an ellipse

Exercise 1: The line is secant to the ellipse

Data

• Ellipse: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
• Line: y = 2x - 1$y = 2x - 1$

Steps for the solution

1. Substitute the equation of the line into the equation of the ellipse:
   We substitute y = 2x - 1$y = 2x - 1$ into the equation of the ellipse:

\frac{x^2}{4} + \frac{(2x - 1)^2}{9} = 1

$$\frac{x^2}{4} + \frac{(2x - 1)^2}{9} = 1$$

2. Expand and simplify:
   We expand the equation:

\frac{x^2}{4} + \frac{4x^2 - 4x + 1}{9} = 1

$$\frac{x^2}{4} + \frac{4x^2 - 4x + 1}{9} = 1$$

We multiply by 36 (the least common multiple of 4 and 9) to eliminate the denominators:

9x^2 + 4(4x^2 - 4x + 1) = 36

$$9x^2 + 4(4x^2 - 4x + 1) = 36$$

Simplifying we get:

9x^2 + 16x^2 - 16x + 4 = 36

$$9x^2 + 16x^2 - 16x + 4 = 36$$

25x^2 - 16x - 32 = 0

$$25x^2 - 16x - 32 = 0$$

3. Calculate the discriminant:
   The discriminant is given by:

D = (-16)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-32) = 256 + 3200 = 3456

$$D = (-16)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-32) = 256 + 3200 = 3456$$

Since the discriminant is positive, there are two solutions.

4. Solve the quadratic equation:
   We use the quadratic formula:

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{3456}}{50}

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{3456}}{50}$$

5. Find the corresponding values ​​of y$y$ using the equation of the line.

Result

The intersection points can be calculated further, but since we have a positive discriminant, we can conclude that there are two intersection points.

Exercise 2: The line is tangent to the ellipse

Data

• Ellipse: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
• Line: y = -\frac{4}{5}x + k$y = -\frac{4}{5}x + k$ (where k is a parameter that we will determine)

Steps for the solution

1. Substitute the equation of the line into the equation of the ellipse:
   We substitute y = -\frac{4}{5}x + k$y = -\frac{4}{5}x + k$ into the equation of the ellipse:

\frac{x^2}{25} + \frac{\left(-\frac{4}{5}x + k\right)^2}{16} = 1

$$\frac{x^2}{25} + \frac{\left(-\frac{4}{5}x + k\right)^2}{16} = 1$$

2. Expand and simplify:
   We expand the equation:

\frac{x^2}{25} + \frac{\left(\frac{16}{25}x^2 - \frac{8k}{5}x + k^2\right)}{16} = 1

$$\frac{x^2}{25} + \frac{\left(\frac{16}{25}x^2 - \frac{8k}{5}x + k^2\right)}{16} = 1$$

We multiply by the least common multiple (400) to eliminate the denominators.

3. Calculate the discriminant:
   To have a tangent, the discriminant of the resulting quadratic equation must be zero.

Result

We find the value of k such that the discriminant is zero. This will lead to a situation where the line touches the ellipse at only one point.

Exercise 3: The line does not intersect the ellipse

Data

• Ellipse: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
• Line: y = -3x + 10$y = -3x + 10$

Steps to solve

1. Substitute the equation of the line into the equation of the ellipse:
   We substitute y = -3x + 10$y = -3x + 10$ into the equation of the ellipse:

\frac{x^2}{9} + \frac{(-3x + 10)^2}{4} = 1

$$\frac{x^2}{9} + \frac{(-3x + 10)^2}{4} = 1$$

3. Expand and simplify:
   We expand the equation:

\frac{x^2}{9} + \frac{(9x^2 -60x +100)}{4}=1

$$\frac{x^2}{9} + \frac{(9x^2 -60x +100)}{4}=1$$

4. Multiply by the least common multiple (36) to eliminate the denominators.

5. Calculate the discriminant:
   If the discriminant is negative, we conclude that there are no intersections.

Result

Since we have a negative discriminant, we can conclude that the line does not intersect the ellipse.