Esercizi su una retta che interseca una parabola

Esercizi su una retta che interseca una parabola

+Esercizi su una retta che interseca una parabola.

Versione italiana

Esercizi su una retta che interseca una parabola.

Esercizio 1: La retta è secante alla parabola

Dati

• Parabola: y = x^2 - 4$y = x^2 - 4$
• Retta: y = 2x + 1$y = 2x + 1$

Passaggi per la soluzione

1. Eguagliare le due equazioni:
   Sostituiamo l’equazione della retta in quella della parabola:

   x^2 - 4 = 2x + 1

   $$x^2 - 4 = 2x + 1$$

2. Spostare tutto a sinistra:

   x^2 - 2x - 5 = 0

   $$x^2 - 2x - 5 = 0$$

3. Calcolare il discriminante:
   Il discriminante è dato da:

   D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24

   $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$$

   Poiché il discriminante è positivo, ci sono due soluzioni.

4. Risolvere l’equazione quadratica:
   Utilizziamo la formula quadratica:

   x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$$

   Quindi, le soluzioni per x$x$ sono:

   x_1 = 1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{6}

   $$x_1 = 1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{6}$$

5. Trovare i corrispondenti valori di y$y$:
   Utilizziamo l’equazione della retta per trovare i valori di y$y$:

   • Per x_1 = 1 + \sqrt{6}$x_1 = 1 + \sqrt{6}$:

     y_1 = 2(1 + \sqrt{6}) + 1 = 3 + 2\sqrt{6}

     $$y_1 = 2(1 + \sqrt{6}) + 1 = 3 + 2\sqrt{6}$$

   • Per x_2 = 1 - \sqrt{6}$x_2 = 1 - \sqrt{6}$:

     y_2 = 2(1 - \sqrt{6}) + 1 = 3 - 2\sqrt{6}

     $$y_2 = 2(1 - \sqrt{6}) + 1 = 3 - 2\sqrt{6}$$

Risultato

I punti di intersezione sono:

(1 + \sqrt{6}, 3 + 2\sqrt{6}) \quad e \quad (1 - \sqrt{6}, 3 - 2\sqrt{6})

$$(1 + \sqrt{6}, 3 + 2\sqrt{6}) \quad e \quad (1 - \sqrt{6}, 3 - 2\sqrt{6})$$

Esercizio 2: La retta è tangente alla parabola

Dati

• Parabola: y = x^2 - 4x + 3$y = x^2 - 4x + 3$
• Retta: y = x - 1$y = x - 1$

Passaggi per la soluzione

1. Eguagliare le due equazioni:
   Sostituiamo l’equazione della retta in quella della parabola:

   x^2 - 4x + 3 = x - 1

   $$x^2 - 4x + 3 = x - 1$$

2. Spostare tutto a sinistra:

   x^2 - 5x + 4 = 0

   $$x^2 - 5x + 4 = 0$$

3. Calcolare il discriminante:
   Il discriminante è dato da:

   D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

   Poiché il discriminante è zero, c’è una sola soluzione.

4. Risolvere l’equazione quadratica:
   Utilizziamo la formula quadratica:

   x = \frac{-b}{2a} = \frac{5}{2}

   $$x = \frac{-b}{2a} = \frac{5}{2}$$

5. Trovare il corrispondente valore di y$y$:
   Utilizziamo l’equazione della retta per trovare il valore di y$y$:

   y = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}

   $$y = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$$

Risultato

L’unico punto di intersezione (tangente) è:

\left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \right)

$$\left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \right)$$

Esercizio 3: La retta non interseca la parabola

Dati

• Parabola: y = x^2 + 4x + 5$y = x^2 + 4x + 5$
• Retta: y = -x + 1$y = -x + 1$

Passaggi per la soluzione

1. Eguagliare le due equazioni:
   Sostituiamo l’equazione della retta in quella della parabola:

   x^2 + 4x + 5 = -x + 1

   $$x^2 + 4x + 5 = -x + 1$$

2. Spostare tutto a sinistra:

   x^2 + 5x + 4 = 0

   $$x^2 + 5x + 4 = 0$$

3. Calcolare il discriminante:
   Il discriminante è dato da:

   D = b^2 - 4ac = (5)^2 - (4)(1)(4) = 25 -16=9

   $$D = b^2 - 4ac = (5)^2 - (4)(1)(4) = 25 -16=9$$

   Poiché il discriminante è positivo, ci sono due soluzioni.

4. Risolvere l’equazione quadratica:
   Utilizziamo la formula quadratica:

   x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-5\pm3}{2}

   $$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-5\pm3}{2}$$

   Quindi, le soluzioni per x$x$ sono:

   x_1=-1, \quad x_2=-4

   $$x_1=-1, \quad x_2=-4$$

5. Trovare i corrispondenti valori di y$y$ utilizzando l’equazione della retta.

Risultato

Poiché abbiamo trovato due punti di intersezione, concludiamo che la retta interseca la parabola in due punti.

English version

Exercises on a line that intersects a parabola.

Exercise 1: The line is secant to the parabola

Data

• Parabola: y = x^2 - 4$y = x^2 - 4$
• Line: y = 2x + 1$y = 2x + 1$

Steps to solve

1. Make the two equations equal:
   We substitute the equation of the line into that of the parabola:

x^2 - 4 = 2x + 1

$$x^2 - 4 = 2x + 1$$

2. Move all the way to the left:

x^2 - 2x - 5 = 0

$$x^2 - 2x - 5 = 0$$

3. Calculate the discriminant:
   The discriminant is given by:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$$

Since the discriminant is positive, there are two solutions.

4. Solve the quadratic equation:
   We use the quadratic formula:

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$$

So, the solutions for x$x$ are:

x_1 = 1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{6}

$$x_1 = 1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{6}$$

5. Find the corresponding values ​​of y$y$:
   We use the equation of the line to find the values ​​of y$y$:

• For x_1 = 1 + \sqrt{6}$x_1 = 1 + \sqrt{6}$:

y_1 = 2(1 + \sqrt{6}) + 1 = 3 + 2\sqrt{6}

$$y_1 = 2(1 + \sqrt{6}) + 1 = 3 + 2\sqrt{6}$$

• For x_2 = 1 - \sqrt{6}$x_2 = 1 - \sqrt{6}$:

y_2 = 2(1 - \sqrt{6}) + 1 = 3 - 2\sqrt{6}

$$y_2 = 2(1 - \sqrt{6}) + 1 = 3 - 2\sqrt{6}$$

Result

The points of intersection are:

(1 + \sqrt{6}, 3 + 2\sqrt{6}) \quad and \quad (1 - \sqrt{6}, 3 - 2\sqrt{6})

$$(1 + \sqrt{6}, 3 + 2\sqrt{6}) \quad and \quad (1 - \sqrt{6}, 3 - 2\sqrt{6})$$

Exercise 2: The line is tangent to the parabola

Data

• Parabola: y = x^2 - 4x + 3$y = x^2 - 4x + 3$
• Line: y = x - 1$y = x - 1$

Steps to solve

1. Make the two equations equal:
   Let’s substitute the equation of the line in that of the parabola:

x^2 - 4x + 3 = x - 1

$$x^2 - 4x + 3 = x - 1$$

2. Move all the way to the left:

x^2 - 5x + 4 = 0

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

3. Calculate the discriminant:
   The discriminant is given by:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

Since the discriminant is zero, there is only one solution.

4. Solve the quadratic equation:
   We use the quadratic formula:

x = \frac{-b}{2a} = \frac{5}{2}

$$x = \frac{-b}{2a} = \frac{5}{2}$$

5. Find the corresponding value of y$y$:
   We use the equation of the line to find the value of y$y$:

y = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}

$$y = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$$

Result

The only point of intersection (tangent) is:

\left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \right)

$$\left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \right)$$

Exercise 3: The line does not intersect the parabola

Data

• Parabola: y = x^2 + 4x + 5$y = x^2 + 4x + 5$
• Line: y = -x + 1$y = -x + 1$

Solution steps

1. Make the two equations equal:
   We substitute the equation of the line into that of the parabola:

x^2 + 4x + 5 = -x + 1

$$x^2 + 4x + 5 = -x + 1$$

2. Move all the way to the left:

x^2 + 5x + 4 = 0

$$x^2 + 5x + 4 = 0$$

3. Calculate the discriminant:
   The discriminant is given by:

D = b^2 - 4ac = (5)^2 - (4)(1)(4) = 25 -16=9

$$D = b^2 - 4ac = (5)^2 - (4)(1)(4) = 25 -16=9$$

Since the discriminant is positive, there are two solutions.

4. Solve the quadratic equation:
   We use the quadratic formula:

x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-5\pm3}{2}

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-5\pm3}{2}$$

So, the solutions for x$x$ are:

x_1=-1, \quad x_2=-4

$$x_1=-1, \quad x_2=-4$$

5. Find the corresponding values ​​of y$y$ using the equation of the line.

Result

Since we have found two points of intersection, we conclude that the line intersects the parabola in two points.