Esercizi di scienza delle costruzioni

Esercizi di scienza delle costruzioni

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Versione italiana

Esercizi di scienza delle costruzioni

Teoria della Scienza delle Costruzioni

La scienza delle costruzioni è un campo dell’ingegneria civile che si occupa dello studio del comportamento dei materiali e delle strutture sotto l’azione di forze esterne. Essa integra conoscenze di fisica, meccanica, geometria e materiali per progettare strutture sicure, efficienti e durevoli. Le principali aree di interesse includono:

1. Analisi Strutturale: Studio delle forze e dei momenti che agiscono su una struttura e come questi influenzano la sua deformazione e stabilità.

2. Progettazione delle Strutture: Creazione di schemi strutturali che soddisfano requisiti di sicurezza, funzionalità e costi.

3. Materiali da Costruzione: Comprensione delle proprietà meccaniche dei materiali utilizzati (come acciaio, calcestruzzo, legno) e come questi si comportano sotto carico.

Concetti Fondamentali

• Carico: Forza applicata a una struttura, che può essere statico (costante nel tempo) o dinamico (variabile nel tempo).
• Momento Flessurale: Forza che causa la flessione di un elemento strutturale.
• Tensione e Compressione: Tensioni interne che si sviluppano in un materiale quando è sottoposto a carico.
• Fattore di Sicurezza: Rapporto tra la resistenza ultima di un materiale e il carico massimo previsto.

Esercizi di Scienza delle Costruzioni

Esercizio 1: Calcolo del Carico Totale

Una trave orizzontale di legno ha una lunghezza di 4 m e supporta un carico concentrato di 2000 N al centro. Calcola il momento flettente massimo nella trave.

Soluzione:
Il momento flettente massimo (M) in una trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato al centro è dato dalla formula:

M = \frac{P \cdot L}{4}

$$M = \frac{P \cdot L}{4}$$

Dove:

• P = 2000 \, N$P = 2000 \, N$
• L = 4 \, m$L = 4 \, m$

Sostituendo i valori:

M = \frac{2000 \cdot 4}{4} = 2000 \, N \cdot m

$$M = \frac{2000 \cdot 4}{4} = 2000 \, N \cdot m$$

Il momento flettente massimo nella trave è quindi 2000 N·m.

Esercizio 2: Tensione in una Trave

Una trave di acciaio ha una sezione trasversale rettangolare con larghezza b = 10 \, cm$b = 10 \, cm$ e altezza h = 20 \, cm$h = 20 \, cm$. Se la trave è sottoposta a un carico uniformemente distribuito di w = 5000 \, N/m$w = 5000 \, N/m$, calcola la tensione massima (σ) nella trave.

Soluzione:
La tensione massima in una trave rettangolare sotto carico uniforme è data da:

\sigma = \frac{M}{I} \cdot y

$$\sigma = \frac{M}{I} \cdot y$$

Dove:

• M = \frac{wL^2}{8}$M = \frac{wL^2}{8}$ è il momento flettente massimo.
• I = \frac{b h^3}{12}$I = \frac{b h^3}{12}$ è il momento d’inerzia della sezione trasversale.
• y = \frac{h}{2}$y = \frac{h}{2}$ è la distanza dal neutro alla fibra più lontana.

Calcoliamo prima il momento flettente massimo per una trave lunga L = 4\, m$L = 4\, m$:

M = \frac{5000 \cdot 4^2}{8} = 10000\, N\cdot m

$$M = \frac{5000 \cdot 4^2}{8} = 10000\, N\cdot m$$

Ora calcoliamo il momento d’inerzia:

I = \frac{10\, cm \cdot (20\, cm)^3}{12} = \frac{10\, cm \cdot 8000\, cm^3}{12} = 6666.67\, cm^4 = 6.66667\times10^{-3}\, m^4

$$I = \frac{10\, cm \cdot (20\, cm)^3}{12} = \frac{10\, cm \cdot 8000\, cm^3}{12} = 6666.67\, cm^4 = 6.66667\times10^{-3}\, m^4$$

Ora calcoliamo la tensione massima:

y = \frac{20\, cm}{2} = 10\, cm = 0.1\, m

$$y = \frac{20\, cm}{2} = 10\, cm = 0.1\, m$$

Sostituiamo i valori nella formula della tensione:

\sigma = \frac{10000}{6.66667\times10^{-3}} \cdot 0.1 = 150000\, N/m^2 = 150\, kPa

$$\sigma = \frac{10000}{6.66667\times10^{-3}} \cdot 0.1 = 150000\, N/m^2 = 150\, kPa$$

La tensione massima nella trave è quindi 150 kPa.

Esercizio 3: Fattore di Sicurezza

Un elemento strutturale in acciaio ha una resistenza ultima di R_u = 250\, MPa$R_u = 250\, MPa$. Se l’elemento è sottoposto a un carico normale che genera una tensione di σ = 100\, MPa$σ = 100\, MPa$, calcola il fattore di sicurezza dell’elemento.

Soluzione:
Il fattore di sicurezza (FS) si calcola come:

FS = \frac{R_u}{σ}

$$FS = \frac{R_u}{σ}$$

Sostituendo i valori:

FS = \frac{250\, MPa}{100\, MPa} = 2.5

$$FS = \frac{250\, MPa}{100\, MPa} = 2.5$$

Il fattore di sicurezza dell’elemento è quindi 2.5.

Esercizio Avanzato: Deformazione Elastoplastica

Una barra in acciaio ha una lunghezza iniziale di L_0 = 2\, m$L_0 = 2\, m$ e viene sottoposta a una forza che genera una deformazione elastica del ε_e = 0.002$ε_e = 0.002$. Se il modulo di Young dell’acciaio è E = 210\, GPa$E = 210\, GPa$, calcola la variazione di lunghezza della barra.

Soluzione:
La deformazione elastica è data dalla formula:

ε_e = \frac{\Delta L}{L_0}

$$ε_e = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Da cui possiamo ricavare la variazione di lunghezza (ΔL$ΔL$):

ΔL = ε_e \cdot L_0

$$ΔL = ε_e \cdot L_0$$

Sostituendo i valori:

ΔL = 0.002 \cdot 2\, m = 0.004\, m = 4\, mm

$$ΔL = 0.002 \cdot 2\, m = 0.004\, m = 4\, mm$$

La variazione di lunghezza della barra è quindi 4 mm.

English version

Building Science Exercises

Building Science Theory

Building Science is a field of civil engineering that deals with the study of the behavior of materials and structures under the action of external forces. It integrates knowledge of physics, mechanics, geometry, and materials to design safe, efficient, and durable structures. The main areas of interest include:

1. Structural Analysis: Study of the forces and moments that act on a structure and how they affect its deformation and stability.

2. Structural Design: Creating structural schemes that meet safety, functionality, and cost requirements.

3. Building Materials: Understanding the mechanical properties of materials used (such as steel, concrete, wood) and how they behave under load.

Fundamental Concepts

• Load: Force applied to a structure, which can be static (constant over time) or dynamic (variable over time).
• Bending Moment: Force that causes a structural element to bend.
• Tension and Compression: Internal stresses that develop in a material when it is subjected to a load.
• Factor of Safety: Ratio between the ultimate resistance of a material and the maximum expected load.

Building Science Exercises

Exercise 1: Calculating the Total Load

A horizontal wooden beam is 4 m long and supports a concentrated load of 2000 N at the center. Calculate the maximum bending moment in the beam.

Solution:
The maximum bending moment (M) in a simply supported beam with a concentrated load at the center is given by the formula:

M = \frac{P \cdot L}{4}

$$M = \frac{P \cdot L}{4}$$

Where:

• P = 2000 \, N$P = 2000 \, N$
• L = 4 \, m$L = 4 \, m$

Substituting the values:

M = \frac{2000 \cdot 4}{4} = 2000 \, N \cdot m

$$M = \frac{2000 \cdot 4}{4} = 2000 \, N \cdot m$$

The maximum bending moment in the beam is therefore 2000 N m.

Exercise 2: Tension in a Beam

A steel beam has a rectangular cross-section with width b = 10 \, cm$b = 10 \, cm$ and height h = 20 \, cm$h = 20 \, cm$. If the beam is subjected to a uniformly distributed load of w = 5000 \, N/m$w = 5000 \, N/m$, calculate the maximum stress (σ) in the beam.

Solution:
The maximum stress in a rectangular beam under uniform load is given by:

\sigma = \frac{M}{I} \cdot y

$$\sigma = \frac{M}{I} \cdot y$$

Where:

• M = \frac{wL^2}{8}$M = \frac{wL^2}{8}$ is the maximum bending moment.
• I = \frac{b h^3}{12}$I = \frac{b h^3}{12}$ is the moment of inertia of the cross-section.
• y = \frac{h}{2}$y = \frac{h}{2}$ is the distance from the neutral to the farthest fiber.

Let’s first calculate the maximum bending moment for a beam of length L = 4\, m$L = 4\, m$:

M = \frac{5000 \cdot 4^2}{8} = 10000\, N\cdot m

$$M = \frac{5000 \cdot 4^2}{8} = 10000\, N\cdot m$$

Now let’s calculate the moment of inertia:

I = \frac{10\, cm \cdot (20\, cm)^3}{12} = \frac{10\, cm \cdot 8000\, cm^3}{12} = 6666.67\, cm^4 = 6.66667\times10^{-3}\, m^4

$$I = \frac{10\, cm \cdot (20\, cm)^3}{12} = \frac{10\, cm \cdot 8000\, cm^3}{12} = 6666.67\, cm^4 = 6.66667\times10^{-3}\, m^4$$

Now let’s calculate the maximum stress:

y = \frac{20\, cm}{2} = 10\, cm = 0.1\, m

$$y = \frac{20\, cm}{2} = 10\, cm = 0.1\, m$$

Let’s substitute the values ​​in the formula of the tension:

\sigma = \frac{10000}{6.66667\times10^{-3}} \cdot 0.1 = 150000\, N/m^2 = 150\, kPa

$$\sigma = \frac{10000}{6.66667\times10^{-3}} \cdot 0.1 = 150000\, N/m^2 = 150\, kPa$$

The maximum tension in the beam is therefore 150 kPa.

Exercise 3: Safety Factor

A structural steel element has an ultimate resistance of R_u = 250\, MPa$R_u = 250\, MPa$. If the element is subjected to a normal load that generates a tension of σ = 100\, MPa$σ = 100\, MPa$, calculate the safety factor of the element.

Solution:
The safety factor (FS) is calculated as:

FS = \frac{R_u}{σ}

$$FS = \frac{R_u}{σ}$$

Substituting the values:

FS = \frac{250\, MPa}{100\, MPa} = 2.5

$$FS = \frac{250\, MPa}{100\, MPa} = 2.5$$

The safety factor of the element is therefore 2.5.

Advanced Exercise: Elastoplastic Deformation

A steel bar has an initial length of L_0 = 2\, m$L_0 = 2\, m$ and is subjected to a force that generates an elastic deformation of ε_e = 0.002$ε_e = 0.002$. If the Young’s modulus of the steel is E = 210\, GPa$E = 210\, GPa$, calculate the change in length of the bar.

Solution:
The elastic deformation is given by the formula:

ε_e = \frac{\Delta L}{L_0}

$$ε_e = \frac{\Delta L}{L_0}$$

From which we can obtain the variation in length (ΔL$ΔL$):

ΔL = ε_e \cdot L_0

$$ΔL = ε_e \cdot L_0$$

Substituting the values:

ΔL = 0.002 \cdot 2\, m = 0.004\, m = 4\, mm

$$ΔL = 0.002 \cdot 2\, m = 0.004\, m = 4\, mm$$

The variation in length of the bar is therefore 4 mm.