Esercizi di microfluidodinamica

Esercizi di microfluidodinamica

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Versione italiana

Esercizi di microfluidodinamica

Teoria della Microfluidodinamica

La microfluidodinamica è lo studio del comportamento dei fluidi in canali di dimensioni micrometriche, tipicamente inferiori a 100 micrometri di diametro. Questo campo è fondamentale per applicazioni come la biomedicina, la chimica analitica e la produzione di materiali nanostrutturati. Le caratteristiche principali della microfluidodinamica includono:

1. Flusso Laminare: A causa delle piccole dimensioni dei canali, il flusso è generalmente laminare, il che significa che le particelle del fluido si muovono in strati paralleli senza mescolarsi. Questo è descritto dal numero di Reynolds (Re), che è basso in queste scale.

2. Effetti della Tensione Superficiale: La tensione superficiale gioca un ruolo significativo nella microfluidica, influenzando il comportamento del fluido all’interfaccia tra diverse fasi (ad esempio, liquido-gas).

3. Trasferimento di Massa e Calore: In microfluidica, il rapporto superficie-volume è elevato, il che consente un rapido trasferimento di massa e calore, rendendo i processi molto efficienti.

4. Tecnologie Lab-on-a-Chip: I dispositivi microfluidici sono spesso utilizzati in sistemi lab-on-a-chip per eseguire esperimenti chimici e biologici su scala ridotta.

Equazioni Fondamentali

• Numero di Reynolds (Re):

  Re = \frac{\rho v D_h}{\mu}

  $$Re = \frac{\rho v D_h}{\mu}$$

  dove:

  • \rho$\rho$ = densità del fluido
  • v$v$ = velocità del fluido
  • D_h$D_h$ = diametro idraulico
  • \mu$\mu$ = viscosità dinamica

• Equazione di Continuità: Per un fluido incomprimibile:

  A_1 v_1 = A_2 v_2

  $$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

  dove A$A$ è l’area della sezione trasversale e v$v$ è la velocità.

Esercizi di Microfluidodinamica

Esercizio 1: Calcolo del Numero di Reynolds

Un fluido con una densità di \rho = 1000\, kg/m^3$\rho = 1000\, kg/m^3$ scorre attraverso un microcanale con un diametro idraulico di D_h = 0.01\, m$D_h = 0.01\, m$ a una velocità di v = 0.1\, m/s$v = 0.1\, m/s$. La viscosità dinamica del fluido è \mu = 0.001\, Pa\cdot s$\mu = 0.001\, Pa\cdot s$. Calcola il numero di Reynolds.

Soluzione:
Utilizzando la formula per il numero di Reynolds:

Re = \frac{\rho v D_h}{\mu}

$$Re = \frac{\rho v D_h}{\mu}$$

Sostituendo i valori:

Re = \frac{1000\, kg/m^3 \cdot 0.1\, m/s \cdot 0.01\, m}{0.001\, Pa\cdot s} = \frac{1}{0.001} = 1000

$$Re = \frac{1000\, kg/m^3 \cdot 0.1\, m/s \cdot 0.01\, m}{0.001\, Pa\cdot s} = \frac{1}{0.001} = 1000$$

Il numero di Reynolds è quindi 1000, indicando un flusso laminare.

Esercizio 2: Flusso Laminare in un Microcanale

Un microcanale ha una sezione trasversale rettangolare con larghezza w = 0.005\, m$w = 0.005\, m$ e altezza h = 0.002\, m$h = 0.002\, m$. Se il fluido scorre a una velocità media di v = 0.02\, m/s$v = 0.02\, m/s$, calcola la portata volumetrica Q$Q$.

Soluzione:
La portata volumetrica si calcola come:

Q = A v

$$Q = A v$$

dove l’area A$A$ è data da:

A = w \cdot h = 0.005\, m \cdot 0.002\, m = 1\times10^{-5}\, m^2

$$A = w \cdot h = 0.005\, m \cdot 0.002\, m = 1\times10^{-5}\, m^2$$

Sostituendo i valori:

Q = (1\times10^{-5}\, m^2)(0.02\, m/s) = 2\times10^{-7}\, m^3/s

$$Q = (1\times10^{-5}\, m^2)(0.02\, m/s) = 2\times10^{-7}\, m^3/s$$

La portata volumetrica è quindi 2×10⁻⁷ m³/s.

Esercizio 3: Effetti della Viscosità

Un fluido con viscosità \mu = 0.002\, Pa\cdot s$\mu = 0.002\, Pa\cdot s$ scorre attraverso un microcanale con diametro idraulico D_h = 0.005\, m$D_h = 0.005\, m$. Se la densità del fluido è \rho = 950\, kg/m^3$\rho = 950\, kg/m^3$, calcola la velocità massima ammissibile per mantenere un numero di Reynolds inferiore a 2000.

Soluzione:
Utilizzando la formula per il numero di Reynolds e ponendo Re < 2000$Re < 2000$:

Re < \frac{\rho v D_h}{\mu}

$$Re < \frac{\rho v D_h}{\mu}$$

Sostituendo i valori:

2000 > \frac{950\, kg/m^3 \cdot v \cdot 0.005\, m}{0.002\, Pa\cdot s}

$$2000 > \frac{950\, kg/m^3 \cdot v \cdot 0.005\, m}{0.002\, Pa\cdot s}$$

Risolvendo per v$v$:

v < \frac{2000 \cdot 0.002}{950 \cdot 0.005} 
= \frac{4}{4.75} 
= 0.8421\, m/s

$$v < \frac{2000 \cdot 0.002}{950 \cdot 0.005} = \frac{4}{4.75} = 0.8421\, m/s$$

La velocità massima ammissibile per mantenere un numero di Reynolds inferiore a 2000 è quindi circa 0.84 m/s.

Esercizio Avanzato: Tempo di Diffusione

Calcola il tempo necessario affinché una molecola si diffonda attraverso una distanza di x = 2\, mm$x = 2\, mm$ in un fluido con un coefficiente di diffusione D = 1\times10^{-9}\, m^2/s$D = 1\times10^{-9}\, m^2/s$.

Soluzione:
Utilizzando l’equazione per il tempo medio di diffusione:

t ≈ \frac{x^2}{2D}

$$t ≈ \frac{x^2}{2D}$$

Convertiamo prima la distanza in metri:

x = 2\, mm = 0.002\, m

$$x = 2\, mm = 0.002\, m$$

Ora sostituiamo i valori:

t ≈ \frac{(0.002)^2}{2(1\times10^{-9})} 
= \frac{4\times10^{-6}}{2\times10^{-9}} 
= 2000\, s

$$t ≈ \frac{(0.002)^2}{2(1\times10^{-9})} = \frac{4\times10^{-6}}{2\times10^{-9}} = 2000\, s$$

Il tempo necessario affinché una molecola si diffonda attraverso una distanza di 2 mm è quindi 2000 s.

English version

Microfluidics Exercises

Microfluidics Theory

Microfluidics is the study of the behavior of fluids in micrometer-sized channels, typically less than 100 micrometers in diameter. This field is central to applications such as biomedicine, analytical chemistry, and the production of nanostructured materials. Key features of microfluidics include:

1. Laminar Flow: Due to the small size of the channels, the flow is generally laminar, meaning that the fluid particles move in parallel layers without mixing. This is described by the Reynolds number (Re), which is low at these scales.

2. Surface Tension Effects: Surface tension plays a significant role in microfluidics, influencing the behavior of the fluid at the interface between different phases (e.g., liquid-gas).

3. Mass and Heat Transfer: In microfluidics, the surface-to-volume ratio is high, which allows for rapid mass and heat transfer, making the processes very efficient.

4. Lab-on-a-Chip Technologies: Microfluidic devices are often used in lab-on-a-chip systems to perform small-scale chemical and biological experiments.

Fundamental Equations

• Reynolds Number (Re):

Re = \frac{\rho v D_h}{\mu}

$$Re = \frac{\rho v D_h}{\mu}$$

where:

• \rho$\rho$ = fluid density

• v$v$ = fluid velocity

• D_h$D_h$ = hydraulic diameter

• \mu$\mu$ = dynamic viscosity

• Continuity Equation: For an incompressible fluid:

A_1 v_1 = A_2 v_2

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

where A$A$ is the cross-sectional area and v$v$ is the velocity.

Microfluid Dynamics Exercises

Exercise 1: Calculating the Reynolds Number

A fluid with a density of \rho = 1000\, kg/m^3$\rho = 1000\, kg/m^3$ flows through a microchannel with a hydraulic diameter of D_h = 0.01\, m$D_h = 0.01\, m$ at a velocity of v = 0.1\, m/s$v = 0.1\, m/s$. The dynamic viscosity of the fluid is \mu = 0.001\, Pa\cdot s$\mu = 0.001\, Pa\cdot s$. Calculate the Reynolds number.

Solution:
Using the formula for the Reynolds number:

Re = \frac{\rho v D_h}{\mu}

$$Re = \frac{\rho v D_h}{\mu}$$

Substituting the values:

Re = \frac{1000\, kg/m^3 \cdot 0.1\, m/s \cdot 0.01\, m}{0.001\, Pa\cdot s} = \frac{1}{0.001} = 1000

$$Re = \frac{1000\, kg/m^3 \cdot 0.1\, m/s \cdot 0.01\, m}{0.001\, Pa\cdot s} = \frac{1}{0.001} = 1000$$

The Reynolds number is therefore 1000, indicating laminar flow.

Exercise 2: Laminar Flow in a Microchannel

A microchannel has a rectangular cross-section with width w = 0.005\, m$w = 0.005\, m$ and height h = 0.002\, m$h = 0.002\, m$. If the fluid flows at an average speed of v = 0.02\, m/s$v = 0.02\, m/s$, calculate the volumetric flow rate Q$Q$.

Solution:
The volumetric flow rate is calculated as:

Q = A v

$$Q = A v$$

where the area A$A$ is given by:

A = w \cdot h = 0.005\, m \cdot 0.002\, m = 1\times10^{-5}\, m^2

$$A = w \cdot h = 0.005\, m \cdot 0.002\, m = 1\times10^{-5}\, m^2$$

Substituting the values:

Q = (1\times10^{-5}\, m^2)(0.02\, m/s) = 2\times10^{-7}\, m^3/s

$$Q = (1\times10^{-5}\, m^2)(0.02\, m/s) = 2\times10^{-7}\, m^3/s$$

The volumetric flow rate is therefore 2×10⁻⁷ m³/s.

Exercise 3: Effects of Viscosity

A fluid with viscosity \mu = 0.002\, Pa\cdot s$\mu = 0.002\, Pa\cdot s$ flows through a microchannel with hydraulic diameter D_h = 0.005\, m$D_h = 0.005\, m$. If the fluid density is \rho = 950\, kg/m^3$\rho = 950\, kg/m^3$, calculate the maximum allowable velocity to maintain a Reynolds number less than 2000.

Solution:
Using the Reynolds number formula and setting Re < 2000$Re < 2000$:

Re < \frac{\rho v D_h}{\mu}

$$Re < \frac{\rho v D_h}{\mu}$$

Substituting the values:

2000 > \frac{950\, kg/m^3 \cdot v \cdot 0.005\, m}{0.002\, Pa\cdot s}

$$2000 > \frac{950\, kg/m^3 \cdot v \cdot 0.005\, m}{0.002\, Pa\cdot s}$$

Solving for v$v$:

v < \frac{2000 \cdot 0.002}{950 \cdot 0.005}
= \frac{4}{4.75}
= 0.8421\, m/s

$$v < \frac{2000 \cdot 0.002}{950 \cdot 0.005} = \frac{4}{4.75} = 0.8421\, m/s$$

The maximum allowable velocity to maintain a Reynolds number less than 2000 is therefore about 0.84 m/s.

Advanced Exercise: Diffusion Time

Calculate the time required for a molecule to diffuse through a distance of x = 2\, mm$x = 2\, mm$ in a fluid with a diffusion coefficient D = 1\times10^{-9}\, m^2/s$D = 1\times10^{-9}\, m^2/s$.

Solution:
Using the equation for the average diffusion time:

t ≈ \frac{x^2}{2D}

$$t ≈ \frac{x^2}{2D}$$

First convert the distance to meters:

x = 2\, mm = 0.002\, m

$$x = 2\, mm = 0.002\, m$$

Now substitute the values:

t ≈ \frac{(0.002)^2}{2(1\times10^{-9})}
= \frac{4\times10^{-6}}{2\times10^{-9}}
= 2000\, s

$$t ≈ \frac{(0.002)^2}{2(1\times10^{-9})} = \frac{4\times10^{-6}}{2\times10^{-9}} = 2000\, s$$

The time required for a molecule to diffuse through a distance of 2 mm is therefore 2000 s.